专题1.3 三角形的内角【十大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

专题1.3三角形的内角【十大题型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三角形内角和定理的证明】 1【题型2应用三角形内角和定理求角度】 4【题型3三角形内角和与平行线的综合应用】 6【题型4三角形内角和与角平分线的综合应用】 10【题型5三角形折叠中的角度问题】 16【题型6应用三角形内角和定理解决三角板问题】 20【题型7应用三角形内角和定理探究角的数量关系】 25【题型8三角形内角和定理与新定义问题综合】 32【题型9直角三角形的判定】 37【题型10应用直角三角形的性质倒角】 40【知识点1三角形的内角及内角和定理】（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．【题型1三角形内角和定理的证明】【例1】（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°．已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．求证：∠C+∠D+∠CED=180°．有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【答案】C【分析】根据平行线的性质得出∠2=∠D，∠1+∠BEC=180°，即可推出结论．【详解】解：证明：如图，作点E作直线AB，使得AB∥∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等），∴∠1+∠BEC=180°，∴∠1+∠D+∠CED=180°．①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；②@表示∠BEC，故②正确，符合题意；③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；综上：正确的有②④，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图,将铅笔放置在三角形ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了．【答案】三角形内角和等于180°【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，∵笔尖方向变为点B到点A的方向，∴旋转角度之和为180°，∴这种变化说明三角形内角和等于180°．故答案为：三角形内角和等于180°．【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．【详解】解：①．由EF∥AB，则∠ECA=∠A，∠②．由CE∥AB，则∠A=∠FCE，∠③．由CD⊥AB于D，则∠ADC④．由DF∥AC，得∠EDF=∠AED，∠A=∠FDB．由ED∥BC，得共有：①②④符合条件，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．【变式1-3】（2023春·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考阶段练习）在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．已知：如图，△ABC求证：证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．∵DE∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）．∵DF∥AC，∴∠1＝∠3【答案】∠A+∠B+∠C=180°，两直线平行，同位角相等，后续证明见解析．【分析】首先过点D作AB、AC的平行线，利用两直线平行，同位角相等，可将△ABC的三个角放到一个平角里面，根据平角=180°即可证明；【详解】已知：如图，△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．∵DE∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：两直线平行，同位角相等）．∵DF∥AC，∴∠1＝∠3∴∠3=∠A又∵DF∥AC∴∠4=∠C又∵∠4+∠3+∠2=180°∴∠A+∠B+∠C=180°．【点睛】本题考查平行线的性质定理和三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质和平角的度数为180°是解决本题的关键．【题型2应用三角形内角和定理求角度】【例2】（2023春·江苏·八年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为【答案】30°或150°【分析】根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．【详解】根据题意得：AB=AC,BD⊥AC，如图（1）所示，∠ABD=60°，则∠A=30°，即顶角为30°；如图（2）所示，∠ABD=60°，则∠DAB=30°，∴∠BAC=150°，即顶角为150°；故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的内角和定理，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．【变式2-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若△ABC的三个内角之比为1:3:5，那么△ABC中最大角的度数为．【答案】100°【分析】三角形的内角和为180°，然后按比例分配即可．【详解】解：由题意得，最大角为180°×5故答案为：100°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．【变式2-2】（2023春·广东江门·八年级校考阶段练习）在△ABC中，∠C=40∘，且∠B:∠A=4:3，则∠B的度数为【答案】80°【分析】根据三角形的内角和为180°即可进行解答．【详解】解：∵∠C=40∴∠B+∠A=180°-40°=140°，∴∠B=140°×4故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°．【变式2-3】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数．

【答案】101°【分析】连接AD，如图所示，根据三角形内角和定理列出等式，从而根据题中已知条件作差即可得到答案．【详解】解：连接AD，如图所示：

在△ABC中，∠ABC+∠A+∠ACB=180°①，在△BCD中，∠DBC+∠D+∠DCB=180°②，∴由①-②得∠A-∠D+∠ABC-∠DBC+∠ACB-∠DCB∵∠A=51°，∠ABD=20°，∠ACD=30°，∴51°-∠D+20°+30°=0，即∠D=101°．【点睛】本题考查求角度问题，涉及三角形内角和定理，数形结合，找到各个角之间的关系是解决问题的关键．【题型3三角形内角和与平行线的综合应用】【例3】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若∠B=97°，∠C=40°，则∠GHC的度数为（）

A．147° B．40° C．97° D．43°【答案】D【分析】根据三角形内角和定义可得∠A=43°，再根据平移性质可得∠D=∠A，AC∥DF，得到【详解】解：∵∠B=97°，∠C=40°，∴∠A=180°-97°-40°=43°，由平移的性质可知∠D=∠A=43°，AC∥∴∠GHC=∠D=43°，故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定义、平移的性质，熟练掌握三角形内角和等于180°以及平移的性质是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B岛的视角∠ACB为多少？【答案】90°【分析】根据题意在图中标注方向角，得到有关角的度数，根据三角形内角和定理和平行线的性质解答即可．【详解】解：由题意得，∠DAB＝80°，∵DA∥EB，∴∠EBA＝180°﹣∠DAB＝100°，又∠EBC＝40°，∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝60°，∵∠DAB＝80°，∠DAC＝50°，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝90°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．【变式3-2】（2023春·八年级单元测试）如图，防城港市的一条公路修到海边时，需要拐弯绕海而过，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，则∠C度数为．【答案】150°【分析】法一：过B作BD∥AE，运用平行线性质及已知条件，可得∠ABD=∠A=130°，BD∥法二：延长AB、FC，交于点D，运用平行线性质及已知条件，可得∠A=∠BDC=130°，结合三角形内角和定理，求得∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=30°，从而求得∠BCF．【详解】解：法一，如图，过B作BD∥∵BD∥AE，∴∠ABD=∠A=130°．∵BD∥AE，∴BD∥∵∠ABC=160°，∠ABD=130°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=160°-130°=30°．∵BD∥∴∠DBC+∠C=180°，∵∠DBC=30°，∴∠C=180°-∠DBC=150°．法二，如图，延长AB、FC，交于点D，∵AE∥CD，∴∠A=∠BDC=130°．∵∠ABC=160°，∴∠CBD=180°-∠ABC=20°，在△CBD中，∵∠CBD=20°，∠BDC=130°，∴∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=30°，∴∠BCF=180°-∠BCD=150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，构造恰当的辅助线是解题的关键．【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求证：AB//CD；（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）108°【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．【详解】证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC∴∠AEG=∠C

∴AB//CD（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°∴∠DGC+∠AHF=180°∴EC//BF

∴∠B=∠AEG由（1）得∠AEG=∠C

∴∠B=∠C（3）由（2）得EC//BF∴∠BFC+∠C=180°∵∠BFC=4∠C

∴∠C=36°

∴∠DGC=36°∵∠C+∠DGC+∠D=180°

∴∠D=108°【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．【题型4三角形内角和与角平分线的综合应用】【例4】（2023春·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）如图，∠A=70°，P是△ABC内一点，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为（）

A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】C【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的性质求出∠PBC+∠PCB的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°-55°=125°．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的相关计算，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．【变式4-1】（2023春·广东东莞·八年级统考期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度数．

【答案】40°【分析】利用角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°．∵∠C=50°，∴∠DAC=90°-∠C=40°，∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠EAC=45°．∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=50°，∴∠B=90°-∠BAD=40°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理及其推论，直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，熟练利用三角形的内角和定理解答是解题的关键．【变式4-2】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与EF交于点G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．(1)求证：AB∥(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度数．【答案】(1)见解析(2)∠C=50°【分析】（1）由角平分线的定义可得∠DEF=∠CED，结合∠AGE=∠CED可得∠AGE=∠DEF，根据“内错角相等，两直线平行”可证AB∥（2）由ED平分∠CEF可得∠CEF=2∠CED=100°，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：∵ED平分∠CEF，∴∠DEF=∠CED，∵∠AGE=∠CED，∴∠AGE=∠DEF，∴AB∥（2）解：∵∠AGE=∠CED，∴∠CED=50°，∵ED平分∠CEF，∴∠CEF=2∠CED=100°，∵∠C+∠CEF+∠F=180°，∠F=30°，∴∠C=180°-【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握平行线的判定方法，牢记三角形内角和为180度．【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、(3)若∠A=x°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代数式表示）；(4)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．【答案】(1)115，25(2)不发生变化，理由见解析(3)90+12(4)45°，60°，120°，135°【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（3）将（2）中∠A=50°换成∠A=x°，同理即可求解；（4）设∠A=x°，由（3）可知∠QPC=(90-12x)°，∠Q=12x°．再由∠PCQ=90°不变，即可分类讨论①当∠PCQ=3∠CPQ时，②当∠PCQ=3∠Q时，③当∠CPQ=3∠Q时和④当3∠CPQ=∠Q【详解】（1）∵∠A=50°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=70°．∵CP平分∠ACB，∴∠BCP=∠ACP=1∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=35°．∵DP平分∠ADE，∴∠PDG=1∴∠DPC=180°-∠PDG-∠PGD=115°；∵∠DPC=115°，∴∠QPC=180°-115°=65°．∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，∴∠ACP=12∠ACB∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠ACP+∠ACQ=90°，即∠PCQ=90°，∴∠Q=90°-∠QPC=25°．故答案为：115，25；（2）当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数不发生变化理由如下：∵∠A=50°，∴∠ACB+∠B=130°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，∴∠PDE=12∠ADE=∴∠DPC=180°-=180°-=180°-=115°．∴∠QCP=65°由（1）可知∠PCQ=90°不变，∴∠Q=90°-∠QPC=25°．∴当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数不发生变化；（3）∵∠A=x°，∴∠ACB+∠B=180°-x°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，∴∠PDE=12∠ADE=∴∠DPC=180°-=180°-=180°-=(90+1∴∠QPC=180°-(90+1由（1）可知∠PCQ=90°不变，∴∠Q=90°-∠QPC=90°-(90-1故答案为：(90+12x)（4）设∠A=x°，由（3）可知∠QPC=(90-12x)°∵∠PCQ=90°，∴可分类讨论：①当∠PCQ=3∠CPQ时，∴(90-1解得：x=120，∴∠A=120°；②当∠PCQ=3∠Q时，∴12解得：x=60，∴∠A=60°；③当∠CPQ=3∠Q时，∴(90-12解得：x=90，x=45∴∠A=45°；④当3∠CPQ=∠Q时，∴3×(90-12解得：x=135，∴∠A=135°．综上可知∠A=45°或60°或120°或135°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．【题型5三角形折叠中的角度问题】【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°A．66° B．23° C．46° D．69°【答案】D【分析】根据翻折后对应角相等得到∠ABC'=∠C'【详解】解：由题意可得∠ABC'=∠设∠ABC=x，则∠ABC∵三角形的内角和等于180°，∴在△ABC中，∠A+∠ABC=180°-∠C，即20°+x=180°-∠C；在△BCE中，∠CEB+∠CBE=180°-∠C，即66°+1∴20°+x=66°+1解得：x=69°，故选：D．【点睛】本题考查翻折后对应角相等，利用三角形的内角和等于180°，设未知数并建立等量关系是解题的关键，本题的难点是∠C是两个三角形的公共角，由此列方程求解．【变式5-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．若∠A'EC=70°，则∠A'DE的度数为（

）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】C【分析】根据折叠的性质，得到∠A'DE=∠ADE，∠A'ED=∠AED，结合∠A'EC=70°，得到【详解】．根据折叠的性质，得到∠A'DE=∠ADE，因为∠A'EC=70°，所以∠A'ED=因为∠A=60°，所以∠A'DE=故选C．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键．【变式5-2】（2023春·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、A．22° B．21° C．20° D．19°【答案】C【分析】根据∠A＝20°，∠B＝60°，点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点【详解】因为∠A＝20°，∠B＝60°，点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点所以∠A=因为∠ACB=所以100°=解得∠NCF=故选C．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．【变式5-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．(1)如图，若∠B=50°，则∠AEF+∠FDC=______；(2)在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．【答案】(1)100°；(2)∠AEF+∠FDC=2∠B，证明见解析．【分析】（1）先由三角形内角和求出∠BDE+∠BED=130°，再由折叠的性质得∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°，进而可求出∠AEF+∠FDC的度数；（2）先由三角形内角和求出∠BDE+∠BED=180°-∠B，再由折叠的性质得∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°-∠B，进而可求出∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系．【详解】（1）在△BDE中，∠B=50°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=180由折叠的性质，可知：∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED，∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°．又∵∠∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°，∴∠AEF+∠FDC=180°-(∠BED+∠FED)+180°-(∠BDE+∠FDE)=360°-(∠BDE+∠BED)-(∠FDE+∠FED)=360°-130°-130°=100°．故答案为：100°；（2）∠AEF+∠FDC=2∠B．证明：在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B．由折叠的性质，可知：∠FDE=∠BDE,∠FED=∠BED，∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°-∠B．又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°,∠BED+∠FED+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠FDC=180°-(∠BED+∠FED)+180°-(∠BDE+∠FDE)=360°-(∠BDE+∠BED)-(∠FDE+∠FED)=360°-(180°-∠B)-(180°-∠B)=2∠B，即∠AEF+∠FDC=2∠B．【点睛】本题考查了三角形内角和，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．【题型6应用三角形内角和定理解决三角板问题】【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54'，则A．103°6' B．104°6' C．【答案】C【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，∵直角三角板含一个45°的锐角，∴该三角板为等腰三角形，∴∠4=45°，∵∠1=58°54′，又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，∵∠3+∠5=180°，∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，∵a∥∴∠2=∠3，∴∠2=103°54′，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．【变式6-1】（2023春·八年级单元测试）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．(1)若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB=°，∠DBC+∠DCB=°，∠ABD+∠ACD=°．(2)若∠A=55°，则∠ABD+∠ACD=°．(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．【答案】(1)140；90；50(2)35(3)∠ABD+∠ACD=90°-∠A【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，进而整理可求出∠ABD+∠ACD的度数；（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=125°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，进而整理可求出∠ABD+∠ACD的度数；（3）根据三角形内角和定理有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°，整理得∠ABD+∠ACD=90°-∠A．【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∵在△DBC中，∠BDC=90∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°-90°=50°．故答案为：140；90；50．（2）解：∵在△ABC中，∠A=55°，∴∠ABC+∠ACB=180°-55°=125°，∵在△DBC中，∠BDC=90∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=125°-90°=35°．故答案为：35．（3）解：∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．证明如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=180°-∠A-90°，∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°．【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：①如果∠2=30°，则AC∥②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，则④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；∵BC∥AD，∠B＝∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③错误；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正确；所以其中正确的结论有①②④共3个，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【变式6-3】（2023春·八年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究(1)如图（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，直接写出∠2的度数；若∠1=m°，直接写出∠2的度数（用含(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点A，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边b重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边a上，求∠1的度数．【答案】(1)130º，(90+m)º(2)15º【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，以及平角的定义来解决此题；（2）如图，先由两直线平行同旁内角互补得出∠DBA+∠FCA=180º，再根据三角板中各角的度数计算拼接后图形中有关角的度数，再通过三角形内角和等于180度计算即可．【详解】（1）解：∵a∥∴∠2+∠3=180°，由题意和图知，∠1+∠3=90º，∠1=40º∴∠2=180º-（90º-∠1）=90º+∠1=90º+40º=130º；若∠1=m°，那么∠2=（90+m）º（2）解：如图，把图中各点标上字母，延长CA交直线a于点B，由题意知，∵a∥∴∠DBA+∠FCA=180º，∵∠FCA=60º，∴∠DBA=120º，∵∠DAE=45º，∠FAC=90º，∴∠BAD=180º-∠DAE-∠FAC=45º在△ABD中，∠1+∠DBA+∠BAD=180º，∴∠1=180º-45º-120º=15º；【点睛】此题考查了平行线的性质和三角板中的角度计算问题，解题的关键是数形结合．【题型7应用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例7】（2023春·广东潮州·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；

(1)如图1，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数；(2)如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，直接写出∠EFD、∠C、∠B的数量关系．【答案】(1)10°(2)∠EFD=【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°-12(∠C+∠B)，外角的性质得出∠AEC=90°+12【详解】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，∴∠BAC=180°-50°-30°=100°．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=50°．在△ACE中∠AEC=80°，在Rt△ADE中∠EFD=90°-80°=10°（2）∠EFD=证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+90°-∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°．∴∠EFD=90°-[90°+∴∠EFD=1【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB∥CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x-1+(1)求n的值．(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况）【答案】(1)n＝45(2)见解析(3)①当P在线段AD上时，∠PEC+∠APE＝225°②当P在A点左边时，∠PEC﹣∠APE＝45°【分析】（1）根据非负数的性质可求x＝1，y＝3，再代入n＝15xy计算可求n的值．（2）作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠APF＝135°，再根据平行线的性质得到∠PEC＝∠FPE，根据等量关系即可求解；（3）分两种情况：①当P在线段AD上时；②当P在A点左边时；进行讨论即可求解．【详解】（1）解：∵x-1+∴x﹣1＝0，y﹣3＝0，∴x＝1，y＝3，∴n＝15×1×3＝45；（2）证明：如图1，过P作PF∥AB，则∠APF＝180°﹣∠BAD＝135°∵AB∥CD，∴CD∥PF，∴∠PEC＝∠FPE，∴∠PEC﹣∠APE＝∠APF＝135°；（3）解：分两种情况：①当P在线段AD上时，如图2，∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝45°，∴∠DPE+∠DEP＝180°﹣45°＝135°，∴∠PEC+∠APE＝360°﹣135°＝225°；②当P在A点左边时，如图3，∵∠PEC＝∠APE+∠PDE，∴∠PEC﹣∠APE＝∠PDE＝45°．【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．【变式7-2】（2023春·河南漯河·八年级校考期末）已知△ABC．（1）如图（1），∠C>∠B，若AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B，∠C之间的数量关系吗？并说明理由．（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，∠EFM与∠B，∠C之间有何数量关系？并说明理由．【答案】（1）∠EAD=12(∠C-∠B)；理由见解析；（2）∠EFM=12(∠C－∠B)【分析】（1）分析题意，观察图形可知∠EAD=∠EAC-∠DAC，即若用∠B、∠C分别表示出∠EAC、∠DAC即可；首先根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可用∠B、∠C表示出∠EAV，再根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC=90°-∠C，据此可解答；对于（2）过点A作AD⊥BC于D，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再结合（1）的结论进行解答即可【详解】解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC=12(180º－∠B－又∵AD⊥BC，∴∠DAC=90º－∠C，∴∠EAD=∠EAC－∠DAC=12(180º－∠B－∠C)－(90º－∠C)=12(∠C－即∠EAD=12(∠C-∠B)；（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，∵FM⊥BC，∴AD∥FM，∴∠EFM=∠EAD=12(∠C－【点睛】本题的关键是利用三角形内角和的关系用∠A表示出其他角【变式7-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝12∠ECH请直接写出∠MNB与∠A【答案】(1)见解析；(2)∠ACE=40°；(3)∠MNB=135°-∠A【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算∠A与∠CME，即可得出结论；（2）过点F作FM//AB，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；（3）延长CM交AN的延长线于点F，设∠ACH=x，则∠ECH=2x，ECM=∠DCM=y，利用垂直的定义得到x+y=45°；利用三角形的内角和定理分别用x，y的代数式表示出∠MNB与∠A，计算∠MNB+∠A即可得出结论．【详解】（1）证明：∵EM⊥CE，∴∠CEM=90°．∵∠AEC+∠CEM+∠BEM=180°，∴∠AEC+∠BEM=90°．∵AB//CD，∴∠AEC=∠ECD，∠CME=∠BEM．∴∠ECD+∠CME=90°．∴2∠ECD+2∠CME=180°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD．∴∠ACD+2∠CME=180°．∵AB//CD，∴∠ACD+∠A=180°．∴∠A=2∠CME．（2）解：过点F作FM//AB，如图，∵AB//CD，∴FM//AB//CD．∴∠AFM=∠BAF，∠CFM=∠DCF．∴∠AFM+∠CFM=∠BAF+∠DCF．即∠AFC=∠BAF+∠DCF．∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，∴∠CAB=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF．∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC．∵∠AFC=70°，∴∠CAB+∠DCE=140°．∵AB//CD，∴∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°．∴∠ACE=180°-(∠CAB+∠DCE)=180°-140°=40°．（3）解：∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB=135°-∠A．延长CM交AN的延长线于点F，如图，∵MN⊥CM，∴∠NMF=90°．∴∠MNB=90°-∠F．同理：∠HCF=90°-∠F．∴∠MNB=∠HCF．∵∠ACH=1∴设∠ACH=x，则∠ECH=2x．∵CM平分∠DCE，∴设∠ECM=∠DCM=y．∴∠MNB=∠HCF=2x+y．∵AB//CD，CH⊥AB，∴CH⊥CD．∴∠HCD=90°．∴∠ECH+∠ECD=90°．∴2x+2y=90°．∴x+y=45°．∵CH⊥AB，∴∠A=90°-∠ACH=90°-x．∴∠A+∠MNB=90°-x+2x+y=90°+x+y=135°．∴∠MNB=135°-∠A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的意义，过点F作FM//AB是解题的关键．【题型8三角形内角和定理与新定义问题综合】【例8】（2023春·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”.例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”.(2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数.【答案】(1)2(2)18°或54°【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．【详解】（1）解：在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，故答案为：2；（2）解：∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB＝12∠BAC，∠DBA＝12∠∴∠DAB+∠DBA＝12×144°＝72°∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．【点睛】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解n倍角三角形的定义是解题的关键．【变式8-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是（

）A．99° B．99°或49.5° C．99°或54° D．99°或49.5°或54°【答案】C【分析】根据题意设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，由题意得α=99°或m=99°或n=99°，分这三种情况讨论即可．【详解】解：设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，当α=99°，则m=49.5°,n=31.5°,当m=99°，则α=2m=198°（舍去）,当n=99°，则m+α=180°-n=81°,∴3m=81°,∴m=27°,∴α=2m=54°．综上：倍角α的度数为99°或54°．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理即三角形内角和是180°是解决本题的关键，注意分类讨论方法的运用．【变式8-2】（2023·全国·八年级专题练习）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.【简单应用】如图1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO＝，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【答案】【简单应用】：（1）18°，是；（2）详见解析；【应用拓展】：∠B=30°【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ABO=18°，由∠MON=4∠ABO，故为完美三角形；（2）根据垂直的性质与三角形的内角和求出∠OAC，即可得出△AOC是“完美三角形”（3）先由∠EFC+∠BDC=180°证得AD∥EF，DE∥BC，再根据△BCD是“完美三角形”，得出∠BDC=4∠B，再根据三角形的内角和求出∠B的度数.【详解】（1）∠ABO=90°-∠MON=18°，∵∠MON=4∠ABO∴△AOB是“完美三角形”；（2）证明：∵∠MON=72°,∠ACB=90°,∴ΔAOC是“完美三角形”（3）∵∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+∠BDC=180°∵ΔBCD是“完美三角形”∴∠BDC=4∠B【点睛】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知平行线的性质与角平分线的性质.【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，则∠B=_____°；(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度数．【答案】(1)17(2)①△ABD是“准互余三角形”，理由见解析；②121°或118°．【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义可得2∠B+∠A=90°，代入数据求出∠B即可；（2）①由直角三角形的性质可得∠CAB+∠ABC=90°，结合角平分线的定义可得2∠DAB+∠ABC=90°，进而可得△ABD是“准互余三角形”；②根据△ABE是“准互余三角形”可得2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，求出∠EAB=31°或∠EAB=34°，然后分别利用三角形内角和定理计算即可．【详解】（1）解：∵∠C>90°，∠A=56°，且△ABC是“准互余三角形”，∴2∠B+∠A=90°，∴∠B=17°，故答案为：17；（2）解：①△ABD是“准互余三角形；理由：∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAB=2∠DAB，∴2∠DAB+∠ABC=90°，∴△ABD是“准互余三角形”；②∵点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，∵∠ABC=28°，∴2∠EAB+28°=90°或∠EAB+2×28°=90°，∴∠EAB=31°或∠EAB=34°，当∠EAB=31°，∠ABC=28°时，∠AEB=180°-31°-28°=121°，当∠EAB=34°，∠ABC=28°时，∠AEB=180°-34°-28°=118°，∴∠AEB的度数为：121°或118°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．【知识点2直角三角形的判定】有两个角互余的三角形是直角三角形．【题型9直角三角形的判定】【例9】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）如图，∠C=90°，∠1=∠2，求证△ADE是直角三角形．【答案】见解析【分析】由∠C=90°，推出∠A+∠2＝90°．再由∠1=∠2，得出∠A+∠1＝【详解】∵∠C=90°，∴∠A+∠2＝∵∠1=∠2，∴∠A+∠1＝∴∠ADE＝∴△ADE是直角三角形．【点睛】本题考查的是直角三角形的判断，解题的关键是掌握直角三角形的定义和三角形的内角和定理．【变式9-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若一个三角形三个内角度数的比为2:3:5，那么这个三角形是（

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数之比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进行判断即可．【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为2:3:5∴三个内角分别为：22+3+5∴三角形是直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和和三角形的分类，熟练掌握三角形的内角和是180°和三角形的分类是解题的关键．【变式9-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）在下列条件：①∠A+∠B+∠C=180∘；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=∠B=2∠C；④∠A=12∠B=13∠C；A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案．【详解】解：①∠A+∠B+∠C=180∘不能确定△ABC为直角三角形，故②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴∠A=30°，∴△ABC为直角三角形，故②正确，符合题意；③∵∠A=∠B=2∠C，设∠A=2x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴∠A=∠B=72°，∴△ABC不是直角三角形，故③错误，不符合题意；④∵∠A=1设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+3x=180°，解得：x=30°，∴∠A=30°，∴△ABC为直角三角形，故④正确，符合题意；⑤∵∠A=∠B=1设∠A=∠B=x，则∠C=2x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴∠A=45°，∴△ABC为直角三角形，故⑤正确，符合题意；∴②④⑤说法正确，故选：C．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．【变式9-3】（2023春·八年级课时练习）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点【答案】△AED，△AEB，△DEC【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理