宁夏2022年中考数学复习针对性训练-全国真题·提技能第十八讲　解直角三角形

1．(2021·云南中考)在△ABC中，∠ABC＝90°.若AC＝100，sinA＝eq\f(3,5)，则AB的长是(D)A．eq\f(500,3)B．eq\f(503,5)C．60D．802．(2021·长春中考)如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A，B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度(BC的长)为(A)A．30sinα米B．eq\f(30,sinα)米C．30cosα米D．eq\f(30,cosα)米3．(2021·玉林中考)如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有(A)A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能4．(2021·金华中考)如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为(A)A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．eq\f(4,cosα)米5．(2021·武汉中考)如图，海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是__10.4__nmile(eq\r(3)≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1).6．(2021·长春中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝eq\f(1,3)AD，连接BE交AC于点M.(1)求AM的长；(2)tan∠MBO的值为________．【解析】(1)在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴eq\f(AM,CM)＝eq\f(AE,BC)，∵AE＝eq\f(1,3)AD，∴AE＝eq\f(1,3)BC，∴eq\f(AM,CM)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,3)，∴AM＝eq\f(1,3)CM＝eq\f(1,4)AC＝1；(2)∵AO＝eq\f(1,2)AC＝2，BO＝eq\f(1,2)BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝eq\f(1,2)AO＝1，∴tan∠MBO＝eq\f(OM,BO)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)7．(2021·安顺中考)随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m(点A，E，B，C在同一平面内).(1)求仰角α的正弦值；(2)求B，C两点之间的距离(结果精确到1m).(sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)【解析】(1)如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，∴四边形BDFE为矩形，∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，∴AF＝AD－DF＝41.6－1.6＝40(m)，在Rt△AEF中，sin∠AEF＝eq\f(AF,AE)＝eq\f(40,50)＝eq\f(4,5)，即sinα＝eq\f(4,5).答：仰角α的正弦值为eq\f(4,5).(2)在Rt△AEF中，EF＝eq\r(AE2－AF2)＝eq\r(502－402)＝30(m)，在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6，∵tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，∴CD＝eq\f(41.6,tan63°)≈eq\f(41.6,1.96)≈21.22(m)，∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51(m).答：B，C两点之间的距离约为51m．1．(2021·宜宾中考)如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是(A)A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(\r(6),3)D．eq\f(\r(6),4)2．(2021·随州中考)如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝eq\f(3,5)，则梯子顶端上升了(C)A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米3．(2021·泰安中考)如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1∶2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：eq\r(3)≈1.732)(A)A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米4．(2021·常州中考)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D，E分别在CA，CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝_eq\f(\r(10),10)．5．(2021·仙桃中考)如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是__20__m(eq\r(3)≈1.732，结果保留整数).6．(2021·广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.(1)若AE＝1，求△ABD的周长；(2)若AD＝eq\f(1,3)BD，求tan∠ABC的值．【解析】(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，C△ABD＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC，∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC＋CE＝AE＝1；故△ABD的周长为1.(2)设AD＝x，∴BD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD＋CD＝4x，在Rt△ABD中，AB＝eq\r(BD2－AD2)＝eq\r(（3x）2－x2)＝2eq\r(2)x.∴tan∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(4x,2\r(2)x)＝eq\r(2).7．(2021·大庆中考)小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．(结果保留0.1km.参考数据eq\r(3)≈1.732)【解析】过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，∴∠NAC＝75°，∴∠CAM＝15°，∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，∴∠MAB＝45°，∴∠MBA＝45°，∵C点在B点的北偏西45°方向，∴∠CBM＝45°，∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，∵C点在D点的北偏东22.5°方向，∴∠PDC＝22.5°，∴∠DCB＝67.5°，∴∠BDC＝180°－67.5°－45°＝67.5°，∴BD＝BC，由题可得DB＝2km，∴BC＝2km，在Rt△ABC中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，BC＝2，∴AC＝eq\f(4\r(3),3)≈2.3km.8．(2021·威海中考)在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为27°.若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度(结果精确到0.1米).(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin27°＝0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)【解析】过点A作AF⊥MN于点F，交PQ于点E，设CE＝x，在Rt△CPE中，PE＝x·tan27°≈0.51x，∵BD＝10米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，∴AE＝(x＋10)米，AF＝2(x＋10)米，在Rt△AMF中，MF＝2(x＋10)·tan10°≈0.36(x＋10)米，∵PE＝MF，∴0.51x＝0.36(x＋10)，解得：x＝24，∴PE≈0.51×24＝12.24(米)，∴PQ＝PE＋EQ＝PE＋AB＝12.24＋1.2＝13.44≈13.4(米)，答：路灯的高度约为13.4米．9．(2021·铜仁中考)如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E处．在点A处测得点E的俯角∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠FAM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？(eq\r(3)≈1.73)【解析】根据题意可知：四边形ABDM是矩形，∴AB＝MD＝120m，在Rt△AME中，ME＝AMtan45°＝AM，在Rt△AMF中，MF＝AMtan60°＝eq\r(3)AM，∵EF＝MF－ME＝40m，∴eq\r(3)AM－AM＝40m，∴AM≈54.8(m)，∴MF≈54.8×1.73≈94.80(m)，∴DF＝120－94.80＝25.2(m)，25.2÷3＝8.4，∴至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．【素养提升题】(2021·永州中考)已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).(1)如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝eq\f(5\r(3),14)，求景观桥CD的长度．【解析】(1)∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴eq\f(6,sin60°)＝eq\f(b,sin45°)，∴b＝2eq\r(6)；(2)∵eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴eq\f(10,\f(5\r(3),14))＝eq\f(1