宁夏2022年中考数学复习针对性训练-全国真题·提技能第二十三讲　圆的有关计算

1．(2021·云南中考)如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD的长是(B)A．eq\f(π,2)B．πC．eq\f(3π,2)D．2π2．(2021·柳州中考)如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A′，则此时线段CA扫过的图形的面积为(D)A．4eq\r(3)B．6C．eq\f(4,3)πD．eq\f(8,3)π3．(2021·绥化中考)一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__40__cm.4．(2021·台州中考)如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC.若AB＝12，则点B经过的路径eq\o(BC,\s\up8(︵))长度为__2π__．(结果保留π)5．(2021·盐城中考)设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为__6π__．6．(2021·河南中考)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在eq\o(AD,\s\up8(︵))上，∠BAC＝22.5°，则eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为____．7．(2021·吉林中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为____(结果保留π).1．(2021·青海中考)如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是(B)A．eq\f(17,12)πm2B．eq\f(77,12)πm2C．eq\f(25,4)πm2D．eq\f(17,6)πm22．(2021·遂宁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4eq\r(3)，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为(A)A．16π－12eq\r(3) B．16π－24eq\r(3)C．20π－12eq\r(3) D．20π－24eq\r(3)3．(2021·聊城中考)用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面(接缝忽略不计)，那么这个扇形铁片的面积为__80π__cm2.4．(2021·东营中考)如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为____．5．(2021·济宁中考)如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是____．6．(2021·邵阳中考)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1∶2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小；(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【解析】(1)设∠BAC＝n°.由题意得π·DE＝eq\f(nπ·AD,180)，AD＝2DE，∴n＝90，∴∠BAC＝90°；(2)∵AD＝2DE＝10(cm)，∴S阴＝eq\f(1,2)·BC·AD－S扇形AEF＝eq\f(1,2)×10×20－eq\f(90π·102,360)＝(100－25π)cm2.7.(2021·丽水中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E.(1)求证：∠ACB＝2∠ADE；(2)若DE＝3，AE＝eq\r(3)，求eq\o(CD,\s\up8(︵))的长．【解析】(1)连接OD，CD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ODC＋∠EDC＝90°，∵BC为⊙O直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠ODC，∵AC＝BC，∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ACB＝2∠ADE；(2)由(1)知，∠ADE＋∠EDC＝90°，∠ADE＝∠DCE，∴∠AED＝90°，∵DE＝3，AE＝eq\r(3)，∴AD＝eq\r(32＋（\r(3)）2)＝2eq\r(3)，tanA＝eq\r(3)，∴∠A＝60°，∵AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4eq\r(3)，∴∠COD＝2∠B＝120°，OC＝2eq\r(3)，∴eq\o(CD,\s\up8(︵))的长为eq\f(nπr,180)＝eq\f(120·π×2\r(3),180)＝eq\f(4\r(3)π,3).8.(2021·襄阳中考)如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．【解析】(1)连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；(2)∵DF是⊙O的直径，∴∠DCF＝90°，∵FC∥OA，∴∠DGO＝∠DCF＝90°，∴OG⊥CD，∴DG＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×6＝3，∵OD＝OC，∴∠DOG＝∠COG，∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝eq\f(1,3)×180°＝60°，在Rt△ODG中，∵sin∠DOG＝eq\f(DG,OD)，cos∠DOG＝eq\f(OG,OD)，∴OD＝eq\f(DG,sin∠DOG)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3)，OG＝OD·cos∠DOG＝2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，∴S阴影＝S扇形ODE－S△DOG＝eq\f(60π·（2\r(3)）2,360)－eq\f(1,2)×eq\r(3)×3＝2π－eq\f(3\r(3),2).【素养提升题】(2021·随州中考)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为__________，其内切圆的半径长为________；(2)①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知eq\f(1,2)a(h1＋h2＋h3)＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1＋h2＋h3＝__________________；(结果用含a的式子表示)②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1＋h2＋h3＋h4＋h5的值．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：tan36°≈\f(8,11)，tan54°≈\f(11,8)))(3)①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为__________；(结果保留π)②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由．【解析】(1)如图所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r(32＋42)＝5，设斜边上高为h，由等面积法可知：AC·BC＝h·AB，h＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)；设其内切圆半径为r，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：S△ABC＝S△ACO＋S△BCO＋S△ABO.即3×4÷2＝eq\f(1,2)AC·r＋eq\f(1,2)BC·r＋eq\f(1,2)AB·r，即eq\f(1,2)r(AC＋BC＋AB)＝6，∴r＝eq\f(12,AC＋BC＋AB)＝eq\f(12,3＋4＋5)＝1.答案：eq\f(12,5)1(2)①：由已知图可知，△ABC的面积为eq\f(1,2)a·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),4)a2，由等面积法，易知eq\f(1,2)a(h1＋h2＋h3)＝S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，解得：h1＋h2＋h3＝eq\f(\r(3),2)a.答案：eq\f(\r(3),2)a②：类比①中方法可知eq\f(1,2)a(h1＋h2＋h3＋h4＋h5)＝S五边形ABCDE，设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，如图2，易知S五边形ABCDE＝5S△OAB，过O作OQ⊥AB于点Q，∠EAB＝eq\f(1,5)×180°×(5－2)＝108°，故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ·tan54°＝eq\f(1,2)atan54°，故eq\f(1,2)a(h1＋h2＋h3＋h4＋h5)＝5×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)atan54°，从而得到：h1＋h2＋h3＋h4＋h5＝eq\f(5,2)atan54°≈eq\f(55,16)a.(3)①：若以BC作为△OCB和△ACB的底，则△OCB和△ACB等高，∴S△OCB＝S△ACB.∴图中阴影部分的面积即为扇形OCB的面积．∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA＝90°，又OB＝2，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝∠AOB＝60°，∴△OCB