宁夏2022年中考数学复习针对性训练-全国真题·提技能第二十讲　矩形、菱形、正方形

1．(2021·连云港中考)如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D1，C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于(A)A．128°B．130°C．132°D．136°2．(2021·柳州中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为(B)A．9B．10C．11D．123．(2021·玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是(C)A．仅①B．仅③C．①②D．②③4．(2021·无锡中考)如图，D，E，F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是(C)A．△BDE和△DCF的面积相等B．四边形AEDF是平行四边形C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形5．(2021·威海中考)如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2.连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F.若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为(B)A．eq\r(5)B．2eq\r(5)C．6D．2eq\r(13)6．(2021·龙东中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__AB＝AD(或AC⊥BD答案不唯一)__，使矩形ABCD是正方形．7．(2021·连云港中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为__eq\f(12,5)__．8.(2021·长沙中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4.(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)求AD的长．【解析】(1)∵△AOB为等边三角形，∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，∵四边形ABCD是平行四边形∴OB＝OD＝eq\f(1,2)BD，OA＝OC＝eq\f(1,2)AC，∴BD＝AC，∴▱ABCD是矩形；(2)∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠ADB＝90°－60°＝30°，∴AD＝eq\r(3)AB＝4eq\r(3).9.(2021·扬州中考)如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC.(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；(2)若∠BAC＝90°，且AD＝2eq\r(2)，求四边形AFDE的面积．【解析】(1)四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EDA＝∠EAD，∴AE＝DE，∴平行四边形AFDE是菱形；(2)∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD＝2eq\r(2)，∴AF＝DF＝DE＝AE＝eq\f(2\r(2),\r(2))＝2，∴四边形AFDE的面积为2×2＝4.1．(2021·烟台中考)如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为(－1，0)，∠BCD＝120°，则点D的坐标为(D)A．(2，2)B．(eq\r(3)，2)C．(3，eq\r(3))D．(2，eq\r(3))2．(2021·宿迁中考)如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB＝8，AD＝4，则MN的长是(B)A．eq\f(5,3)eq\r(5)B．2eq\r(5)C．eq\f(7,3)eq\r(5)D．4eq\r(5)3．(2021·贵港中考)如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则eq\f(S△AMD,S△MBN)＝(A)A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．1D．eq\f(1,2)4．(2021·山西中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为__eq\f(5,2)__．5．(2021·扬州中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶点D，E在AB上，点F，G分别在BC，AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长为__eq\f(12,5)__．6.(2021·恩施中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE.求证：OE⊥AD.【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OD.∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形．∵OA＝OD，∴平行四边形AODE为菱形．∴OE⊥AD.7.(2021·云南中考)如图，四边形ABCD是矩形，E，F分别是线段AD，BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若ED＝2AE，AB·AD＝3eq\r(3)，求EF·BD的值．【解析】(1)将△BED沿BD折叠，使E，F重合，∴OE＝OF，EF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，在△OBF和△ODE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OBF＝∠ODE，,∠BOF＝∠DOE，,OF＝OE，))∴△OBF≌△ODE(AAS)，∴OB＝OD，∵OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．(2)∵AB·AD＝3eq\r(3)，∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(3,2)eq\r(3)，∵ED＝2AE，∴ED＝eq\f(2,3)AD，∴S△BDE∶S△ABD＝2∶3，∴S△BDE＝eq\r(3)，∴菱形BEDF的面积为eq\f(1,2)EF·BD＝2S△BDE＝2eq\r(3)，∴EF·BD＝4eq\r(3).【素养提升题】(2021·临沂中考)如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC.(1)求证：AG＝GH；(2)若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；(3)当点E在BC边上(端点除外)运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？【解析】(1)∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，∴∠BAG＝∠GAF＝eq\f(1,2)∠BAF，B，F关于直线AE对称，∴AG⊥BF，∴∠AGF＝90°，∵AH平分∠DAF，∴∠FAH＝eq\f(1,2)∠FAD，∴∠EAH＝∠GAF＋∠FAH＝eq\f(1,2)∠BAF＋eq\f(1,2)∠FAD＝eq\f(1,2)(∠BAF＋∠FAD)＝eq\f(1,2)∠BAD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAH＝eq\f(1,2)∠BAD＝45°，∵∠HGA＝90°，∴GA＝GH；(2)如图1，连接DH，DF，交AH于点N，由(1)可知AF＝AD，∠FAH＝∠DAH，∴AH⊥DF，FN＝DN，∴DH＝HF，∠FNH＝∠DNH＝90°，又∵∠GHA＝45°，∴∠NFH＝45°＝∠NDH＝∠DHN，∴∠DHF＝90°，∴DH的长为点D到直线BH的距离，由(1)知AE2＝AB2＋BE2，∴AE＝eq\r(AB2＋BE2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，∵∠BAE＋∠AEB＝∠BAE＋∠ABG＝90°，∴∠AEB＝∠ABG，又∠AGB＝∠ABE＝90°，∴△AEB∽△ABG，∴eq\f(AG,AB)＝eq\f(AB,AE)，eq\f(BG,BE)＝eq\f(AB,AE)，∴AG＝eq\f(AB2,AE)＝eq\f(9,\r(10))＝eq\f(9\r(10),10)，∴BG＝eq\f(AB·BE,AE)＝eq\f(3×1,\r(10))＝eq\f(3\r(10),10)，由(1)知GF＝BG，AG＝GH，∴GF＝eq\f(3\r(10),10)，GH＝eq\f(9\r(10),10)，∴DH＝FH＝GH－GF＝eq\f(9\r(10),10)－eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(3\r(10),5).即点D到直线BH的距离为eq\f(3\r(10),5)；(3)不变．理由如下：方法一：连接BD，如图2，在Rt△HDF中，eq\f(DH,DF)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△BCD中，eq\f(CD,BD)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(DH,DF)＝eq\f(CD,BD