江西省2022年中考数学总复习教学案-专题三　实物情景应用题

专题三实物情景应用题■■专题三实物情景应用题考情分析实物情景应用题是图形应用性问题，是江西省中考的创新题型，也是必考题型；除2015年在填空(第13题)中出现外，其余年份均在解答题中出现．其特征是从一实物抽象出数学模型、转化成数学图形问题，综合相关的几何知识将问题解决．常考类型有：①直角三角形模型；②特殊四边形模型；③圆模型.直角三角形模型eq\a\vs4\al([例1])如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．(1)转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE；(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？(精确到0.1cm，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)解：(1)如图4中，作BO⊥DE于O.∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形．∴∠OBA＝90°.∴∠DBO＝150°－90°＝60°.∴OD＝BD·sin60°＝20eq\r(3)(cm)．∴DE＝OD＋OE＝OD＋AB＝20eq\r(3)＋5≈39.6(cm)．(2)如图5中，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H.则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°.∵∠BCD＝165°，∠DCP＝45°，∴CH＝BCsin60°＝10eq\r(3)(cm)，DP＝CDsin45°＝10eq\r(2)(cm)．∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝(10eq\r(2)＋10eq\r(3)＋5)(cm)．∴下降高度为DE－DF＝20eq\r(3)＋5－10eq\r(2)－10eq\r(3)－5＝10eq\r(3)－10eq\r(2)≈3.2(cm)．∴高度减少了，减少了3.2cm.eq\a\vs4\al(方法总结)解决此类问题要了解边角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，若当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．[跟踪训练]1．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A．(54eq\r(3)＋10)cm B．(54eq\r(2)＋10)cmC．64cm D．54cm解析：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则在Rt△ACE中，AE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×54＝27(cm)，同理，可得BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27＋10＋27＝64(cm)．答案：C2．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图，MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，AB始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC绕着转轴B旋转．已知连接杆BC的长度为20cm，BD＝4eq\r(3)cm，压柄与托板的长度相等．(1)当托板与压柄的夹角∠ABC＝30°时，如图1点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；(2)当压柄BC从(1)中的位置旋转到与底座垂直，如图2.求这个过程中，点E滑动的距离．(结果保留根号)解：(1)如图，作DH⊥BE于H.在Rt△BDH中，∵∠DHB＝90°，BD＝4eq\r(3)cm，∠ABC＝30°，∴DH＝eq\f(1,2)BD＝2eq\r(3)(cm)，BH＝eq\r(3)DH＝6(cm)．∵AB＝CB＝20cm，AE＝2cm，∴EH＝20－2－6＝12(cm)．∴DE＝eq\r(DH2＋EH2)＝eq\r(2\r(3)2＋122)＝2eq\r(39)(cm)．(2)在题图2的Rt△BDE中，∵DE＝2eq\r(39)cm，BD＝4eq\r(3)cm，∠DBE＝90°，∴BE＝eq\r(DE2－BD2)＝6eq\r(3)(cm)．∴这个过程中，点E滑动的距离为(18－6eq\r(3))cm.特殊四边形模型eq\a\vs4\al([例2])图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置(如图2所示)．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．(1)求点D′到BC的距离；(2)求E，E′两点的距离．解：(1)过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°.在Rt△AD′F中，D′F＝AD′·sin∠DAD′＝90×sin60°＝45eq\r(3)(厘米)．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE＋CE＝70(厘米)．∴D′H＝D′F＋FH＝(45eq\r(3)＋70)厘米．答：点D′到BC的距离为(45eq\r(3)＋70)厘米．(2)连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形．∴EE′＝AE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°.在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30(厘米)，∴AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝30eq\r(10)厘米．∴EE′＝30eq\r(10)厘米．答：E，E′两点的距离是30eq\r(10)厘米．eq\a\vs4\al(方法总结)要解决这类问题大家应该善于用数学的眼光去观察实物、分析日常生活中的问题，将实物抽象成特殊四边形模型，进而根据已知条件，结合特殊四边形的相关几何性质，将一般情况转化为直角三角形问题来解决．[跟踪训练]3．小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝eq\f(1,3)，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6m，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．(1)求BC的长度；(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边)，MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点)，求障碍物的高度．解：(1)由题意，得∠ABC＝α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα＝eq\f(1,3)，∴BC＝eq\f(AC,tan∠ABC)＝eq\f(1.6,\f(1,3))＝4.8(m)．答：BC的长度为4.8m.(2)如图，过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6m.∵点M是线段BC的中点，∴BM＝CM＝2.4m.∴EM＝BM－BE＝1.8m.∵MN⊥BC，∴MN∥DH.∴△EMN∽△EHD.∴eq\f(MN,DH)＝eq\f(EM,EH).∴eq\f(MN,1.6)＝eq\f(1.8,4.8).∴MN＝0.6m.答：障碍物的高度为0.6米．圆模型eq\a\vs4\al([例3])图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2.已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切，切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝eq\f(3,5).(1)求点M离地面AC的高度BM；(2)设人站立点C与点A的水平距离AC＝55cm，求铁环钩MF的长度．解：(1)如图，过点M作MD⊥OA交OA于点D，在Rt△ODM中，sinα＝eq\f(DM,OM)＝eq\f(3,5)，∴DM＝15cm，∴OD＝20cm.∴AD＝BM＝5cm.(2)如图，延长DM交CF于点E，易得∠FME＝∠AOM＝α.∵ME＝AC－DM＝55－15＝40(cm)，∵cosα＝eq\f(ME,MF)＝eq\f(4,5).∴MF＝50cm.eq\a\vs4\al(方法总结)对于“圆模型”问题，先要对实物进行仔细观察、分析、抽象成数学模型；如果题中提供了几何图形，那就要侧重于几何图形本身的分析，有时需要转化成解直角三角形、特殊四边形等问题去解决．[跟踪训练]4．如图1是广场健身的三联漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，漫步机踏板静止时，其侧面示意图可以抽象为如图2，其中，AB＝AC＝120cm，BC＝80cm，AE＝90cm.(1)求点A到地面BC的高度；(2)如图3，当踏板从点E旋转到E′处时，测得∠E′AE＝37°，求此时点E′离地面BC的高度(结果精确到1cm)．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，eq\r(2)≈1.41)解：(1)如图，延长AE交BC于H.∵AB＝AC＝120cm，AH⊥BC，∴BH＝CH＝40cm.∴AH＝eq\r(1202－402)≈113(cm)．答：点A到地面BC的高度是113cm.(2)如图，作E′F⊥AH于F.在Rt△AE′F中，AF＝AE′·cos37°≈72(cm)，∴FH＝AH－AF＝113－72＝41(cm)．答：此时点E′离地面BC的高度为41cm.授课提示：对应学生用书第112页1．(2021·南昌一模)图1是某保温杯的实物图和平面抽象示意图，点A，B是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD与两个活动环AD，BC相连，现测得AD＝BC＝2.6cm，AB＝17cm，如图2，当A，D，C三点共线时，恰好AC⊥BC.(1)求把手CD的长；(2)如图3，当CD∥AB时，求∠ADC的度数．(参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.538，tan57.5°≈1.570，eq\r(282.24)＝16.8)解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(172－2.62)＝16.8(cm)．∴CD＝AC－AD＝16.8－2.6＝14.2(cm)．(2)如图，分别过C，D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F.∵CD∥AB，∴∠CDE＝90°＝∠DEF＝∠CFE.∴四边形CDEF是矩形．∴DE＝CF，EF＝CD.又∵AD＝BC，∴Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)．∴AE＝BF＝eq\f(1,2)(AB－EF)＝eq\f(1,2)(17－14.2)＝1.4(cm)．∴cos∠DAE＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1.4,2.6)＝eq\f(7,13)≈0.538.∴∠DAE≈57.5°.∵CD∥AB，∴∠ADC＝180°－∠DAE＝122.5°.2．(2021·石城一模)图1是某酒店的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，两扇门的大小相同(即AB＝CD)，且AB＋CD＝AD，现将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转67°(如图2)．(1)求点C到直线AD的距离；(2)将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向外面旋转，设旋转角为α(如图3)，问α为多少度时，点B，C之间的距离最短．(参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan29.6°≈0.57，tan19.6°≈0.36，sin29.6°≈0.49)解：(1)如图2，过点C作CH⊥AD于H.由题意，得∠D＝67°，CD＝eq\f(1,2)AD＝1(米)，∴CH＝CD·sin67°≈0.92(米)．答：点C到直线AD的距离约为0.92米．(2)当A，B，C三点共线时，B，C之间的距离最短，如图3，过C作CH⊥AD于H.由题意，得∠D＝67°，CD＝eq\f(1,2)AD＝1(米)，∴CH＝CD·sin67°≈0.92(米)，DH＝CD·cos67°≈0.39(米)．∴AH＝2－0.39＝1.61(米)．在Rt△ACH中，tanα＝eq\f(CH,AH)＝eq\f(0.92,1.61)≈0.57，∴α≈29.6°.答：当α为29.6°时，点B，C之间的距离最短．3．(2021·江西模拟)图1是一个演讲台，图2是演讲台的侧面示意图，支架BC是一段圆弧，台面与两支架的连接点A，B间的距离为30cm，CD为水平地面，∠ADC＝75°，∠DAB＝60°，BD⊥CD.(1)求BD的长(结果保留整数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，eq\r(3)≈1.7)；(2)如图3，若圆弧BC所在圆的圆心O在CD的延长线上，且OD＝CD，求支架BC的长(结果保留根号)．解：(1)如图2，过点B作BE⊥AD于点E，在Rt△ABE中，AB＝30cm，∠DAB＝60°，∴BE＝AB·sin∠DAB＝30×eq\f(\r(3),2)＝15eq\r(3)(cm)．∵BD⊥DC，∠ADC＝75°，∴∠ADB＝15°.∴∠EBD＝75°.在Rt△DBE中，BD＝eq\f(BE,cos∠EBD)≈eq\f(15\r(3),0.26)≈98(cm)．(2)如图3，连接BC，OB.∵BD⊥OC，OD＝CD，∴BC＝OB.又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．∴∠BOC＝60°.∴OB＝eq\f(BD,sin∠BOC)＝eq\f(98,sin60°)＝eq\f(196\r(3),3)(cm)．∴Beq\x\to(C)的长为eq\f(60π×196\r(3),180×3)＝eq\f(196\r(3)π,9)(cm)．∴支架BC的长为eq\f(196\r(3)π,9)cm.4．(2021·南昌模拟)如图(1)是一辆竖直放在水平地面上的电动滑板车，图(2)是其截面示意图．已知车杆AB＝75cm，前、后车轮的圆心分别为点D，E，且半径均为6cm，点A，B，D在同一条直线上，点D，C，E在同一水平线上．若BC＝20cm，∠ABC＝130°，∠BCE＝120°，求把手A到地面的距离．(结果精确到1cm.参考数据：eq\r(3)≈1.73，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)解：如图，过点A作AM⊥CE，垂足为M，交地面于点N，则MN＝6cm，∵∠ABC＝130°，∠BCE＝120°，∴∠DBC＝180°－130°＝50°，∠BCD＝180°－120°＝60°.在Rt△BCF中，BC＝20cm，∠BCD＝60°，∴FC＝eq\f(1,2)×20＝10(cm)，BF＝eq\f(\r(3),2)×20＝10eq\r(3)(cm)．∴∠D＝