江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-第四章第六节　锐角三角函数及其应用

[基础过关]1．2sin60°的值等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：2sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案：C2．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝eq\f(2,3)，BC＝4，则AB长为()A．6B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(8,3)D．2eq\r(13)解析：如图所示．∵sinA＝eq\f(2,3)，BC＝4，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,3)＝eq\f(4,AB).解得AB＝6.答案：A3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝eq\f(2,5)，则此斜坡的水平距离AC为()A．75mB．50mC．30mD．12m解析：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝eq\f(2,5)，BC＝30m，∴tan∠BAC＝eq\f(2,5)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(30,AC).解得AC＝75m.答案：A4．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于()A．asinx＋bsinxB．acosx＋bcosxC．asinx＋bcosxD．acosx＋bsinx解析：如图，作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x.∴∠FBA＝x.∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB＋BO＝a·cosx＋b·sinx.答案：D5．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝eq\f(1,4)，则sinB的值为()A.eq\f(\r(10),2) B.eq\f(\r(15),3)C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(10),4)解析：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA·cosC＝1，∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(15)，在Rt△ABD中，BD＝CB－CD＝3，AD＝eq\r(15)，∴AB＝eq\r(BD2＋AD2)＝2eq\r(6).∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(10),4).答案：D6．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A．30eq\r(3)nmileB．60nmileC．120nmileD．(30＋30eq\r(3))nmile解析：如图，过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60.在Rt△ACD中，cos∠ACD＝eq\f(CD,AC)，sin∠ACD＝eq\f(AD,AC).∴CD＝AC·cos∠ACD＝60×eq\f(\r(3),2)＝30eq\r(3).AD＝AC·sin∠ACD＝60×eq\f(1,2)＝30.在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30eq\r(3).∴AB＝AD＋BD＝30＋30eq\r(3).答案：D7．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)()A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米解析：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∴BF＝3＋x.∵tan65°＝eq\f(OF,DF)，∴OF＝xtan65°.∵tan35°＝eq\f(OF,BF)，∴OF＝(3＋x)tan35°.∴2.1x＝0.7(3＋x)．∴x＝1.5.∴OF＝1.5×2.1＝3.15.∴OE＝3.15＋1.5＝4.65≈4.7.答案：C8．(2021·江西模拟)如图①是钓鱼伞，为遮挡不同方向的阳光，钓鱼伞可以在撑杆AN上的点O处弯折并旋转任意角，图②是钓鱼伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨AB，AC与水平方向的夹角∠ABC＝∠ACB＝30°，伞骨AB与AC水平方向的最大距离BC＝2m，BC与AN交于点M，撑杆AN＝2.2m，固定点O到地面的距离ON＝1.6m.(1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点B到地面的距离；(2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将钓鱼伞倾斜与铅垂线HN成30°夹角，如图③.①求此时点B到地面的距离；②若斜射阳光与BC所在直线垂直时，求BC在水平地面上投影的长度．(说明：eq\r(3)≈1.732，结果精确到0.1m)解：(1)点B到地面的距离即为MN的长度，MN＝AN－AM＝AN－BMtan30°＝2.2－eq\f(\r(3),3)≈1.6(m)．答：点B到地面的距离约为1.6m.(2)①如图①，过点A，B分别作地面的垂线，垂足分别为Q，T，∵∠AOH＝30°，∴∠OAQ＝30°.∵∠ABC＝30°，∴∠BAO＝90°－∠ABC＝60°，∴∠BAQ＝∠BAO－∠OAQ＝30°，∴∠ABS＝30°，∴BS＝BM＝1，∴BT＝OP＋ON－SB＝OAcos30°＋ON－SB＝0.6×eq\f(\r(3),2)＋1.6－1≈1.1(m)．答：此时点B到地面的距离约为1.1m.②如图②，依题意，可知BC⊥CD，∠CBD＝30°.∵BC＝2，∴BD＝eq\f(4\r(3),3)≈2.3(m)．答：BC在水平地面上投影的长度约为2.3m.9．(2021·会昌模拟)如图，海面上甲、乙两船分别从A，B两处同时出发，由西向东行驶，甲船的速度为24nmile/h，乙船的速度为15nmile/h，出发时，测得乙船在甲船北偏东50°方向，且AB＝10nmile，经过20分钟后，甲、乙两船分别到达C，D两处．(参考值：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)(1)求两条航线间的距离；(2)若两船保持原来的速度和航向，还需要多少时间才能使两船的距离最短？(精确到0.01)解：(1)如图，过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝50°，AB＝10，∴AE＝AB·cos50°≈10×0.643＝6.43(nmile)．答：两条航线间的距离为6.43nmile；(2)当甲、乙两船的位置垂直时，两船之间的距离最短，如图，过C作CF⊥BD于F.∵BE＝AB·sin50°≈7.66，AC＝24×eq\f(1,3)＝8，BD＝15×eq\f(1,3)＝5，∴DF＝BD＋BE－AC＝4.66.设还需要t小时才能使两船的距离最短，则有24t－15t＝4.66，解得t≈0.52.答：还需要0.52h才能使两船的距离最短．[能力提升]10．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()A．asinα＋asinβ B．acosα＋acosβC．atanα＋atanβ D.eq\f(a,tanα)＋eq\f(a,tanβ)解析：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝eq\f(BC,AB)，tanβ＝eq\f(BD,AB)，∴BC＝atanα，BD＝atanβ，∴CD＝BC＋BD＝atanα＋atanβ.答案：C11．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°(点A，B，C，D，E在同一平面内)．斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么建筑物AB的高度约为()(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)A．65.8米 B．71.8米C．73.8米 D．119.8米解析：如图，过点E作EM⊥AB于点M，延长ED交BC于点G，∵斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x米，则CG＝2.4x米．在Rt△CDG中，∵DG2＋CG2＝DC2，即x2＋(2.4x)2＝522，解得x＝20或x＝－20(舍去)，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20＋0.8＝20.8(米)，BG＝52＋48＝100(米)．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM·tan27°≈100×0.51＝51(米)，∴AB＝AM＋BM＝51＋20.8＝71.8(米)．答案：B12．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为________米．(sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)解析：由题意，可得∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(AO,6)≈0.94.解得AO＝5.64m，∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝eq\f(CO,6)≈0.77.解得CO＝4.62m，则AC＝5.64－4.62＝1.02(m)，故答案为1.02.答案：1.0213．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为________米．(结果保留根号)解析：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM＋AB＝12米，∠MBC＝30°，∴CM＝MB·tan30°＝12×eq\f(\r(3),3)＝4eq\r(3)(米)．在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，∴∠MAD＝∠MDA＝45°，∴MD＝AM＝4米，∴CD＝CM－DM＝(4eq\r(3)－4)米．故答案为(4eq\r(3)－4)．答案：(4eq\r(3)－4)14．(2021·玉山一模)一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？解：如图，作PD⊥AB交AB延长线于D点，∵∠PBC＝30°，∠PAB＝15°，∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝15°.∴PB＝AB＝20×2＝40(海里)．在Rt△BPD中，PD＝eq\f(1,2)PB＝20海里．∵20＞18，∴不会触礁．15．(2021·金溪一模)图1是一台用保护套套好的带键盘的平板电脑实物图，图2是它的示意图，忽略平板电脑的厚度，支架BE分别固定在平板电脑AD背面中点B处，桌面E处，EB可以绕点E转动，当点D在线段EF上滑动时，可调节平板电脑AD的倾斜角∠ADC，经测量，CE＝24cm，CF＝9cm，支架BE＝eq\f(1,2)AD＝10.5cm.(1)连接AE，求证：AE⊥CE；(2)当∠ADC＝120°时，求A，E两点间的距离；(3)当点D滑到距离F点1cm处时，视觉效果最好，求此时倾斜角∠ADC的度数．(参考数据：eq\r(3)≈1.73，sin48.19°≈0.75，cos48.19°≈0.67，tan48.19°≈1.12，结果保留一位小数)解：(1)证明：如图，连接AE.∵BE＝eq\f(1,2)AD，B是AD中点，∴AB＝BE＝BD，∴∠A＝∠AEB，∠ADE＝∠DEB.在△ADE中，∠A＋∠AEB＋∠ADE＋∠DEB＝180°，∴2(∠AEB＋∠DEB)＝180°，∴∠AEB＋∠DEB＝90°.即∠AED＝90°.∴AE⊥CE；(2)∵∠ADC＝120°，∴∠ADE＝60°.在Rt△ADE中，AE＝AD·sin∠ADE＝eq\f(\r(3),2)AD.∵eq\f(1,2)AD＝10.5cm，∴AD＝21cm，∴AE＝eq\f(21\r(3),2)≈18.2(cm)；(3)∵DF＝1，CE＝24，CF＝9，∴DE＝CE－CF－DF＝14.在Rt△ADE中，cos∠ADE＝eq\f(DE,AD)＝eq\f(14,21)＝eq\f(2,3)≈0.67，∴∠ADE≈48.2°.∴∠ADC＝180°－∠ADE≈131.8°.16．(2021·江西模拟)如图是一个桌面会议话筒