江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-第二章第三节　一元二次方程及其应用

[基础过关]1．下列方程中，关于x的一元二次方程是()A．ax2＋bx＋c＝0 B.eq\f(1,x2)＋eq\f(1,x)－2＝0C．x(x－3)＝2＋x2 D.eq\r(5)x2－7＝eq\r(2)x解析：A.当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；B．是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意；C．x(x－3)＝2＋x2化简后为－3x－2＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意；D．是一元二次方程，故此选项符合题意．答案：D2．已知关于x的方程(m＋1)x2－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是()A．m＞－1 B．m≠0C．m≤－1 D．m≠－1解析：由题意，得m＋1≠0，解得m≠－1.答案：D3．将方程x(x－2)＝x＋3化成一般形式后，二次项系数和常数项分别为()A．－3,3 B．－1，－3C．1,3 D．1，－3解析：方程x(x－2)＝x＋3化成一般形式是x2－3x－3＝0，它的二次项系数是1，一次项系数是－3，常数项是－3.答案：D4．若a是方程x2－x－1＝0的一个根，则－a3＋2a＋2020的值为()A．2020 B．－2020C．2019 D．－2019解析：∵a是方程x2－x－1＝0的一个根，∴a2－a－1＝0.∴a2－a＝1.∴－a3＋2a＋2020＝－a(a2－a)－a2＋2a＋2020＝－a2＋a＋2020＝－1＋2020＝2019.答案：C5．根据所给的表格，估计一元二次方程x2＋12x－15＝0的近似解x，则x的整数部分是()x0123x2＋12x－15－15－21330A.1B．2C．3 D．4解析：根据表格中的数据，知：方程的一个解x的范围是1＜x＜2，所以方程的其中一个解的整数部分是1.答案：A6．下列方程中，有两个不相等的实数根的是()A．x2＝0 B．x－3＝0C．x2－5＝0 D．x2＋2＝0解析：A.由x2＝0，得x1＝x2＝0，不符合题意；B．由x－3＝0，得x＝3，不符合题意；C．由x2－5＝0，得x1＝eq\r(5)，x2＝－eq\r(5)，符合题意；D．x2＋2＝0无实数根，不符合题意．答案：C7．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝1，那么这个方程是()A．x2＝1 B．x2＋1＝0C．(x－1)2＝0 D．(x＋1)2＝0解析：A.x2＝1的根为x1＝1，x2＝－1；B．x2＋1＝0无实数根；C．(x－1)2＝0的根为x1＝x2＝1；D．(x＋1)2＝0的根为x1＝x2＝－1.答案：C8．用配方法解一元二次方程3x2－6x－5＝0时，下列变形正确的是()A．(x－1)2＝eq\f(8,3) B．(x－1)2＝eq\f(2,3)C．(x－1)2＝8 D．(x－1)2＝6解析：∵3x2－6x＝5，∴x2－2x＝eq\f(5,3).则x2－2x＋1＝eq\f(5,3)＋1，即(x－1)2＝eq\f(8,3).答案：A9．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程x2－10x＋21＝0的一个根，则这个三角形的周长为()A．7 B．3或7C．15 D．11或15解析：∵x2－10x＋21＝0，∴(x－3)(x－7)＝0.∴x＝3或x＝7.当x＝3时，∵2＋3＜6，∴2,3,6不能组成三角形．当x＝7时，∵2＋6＞7，∴2,6,7能够组成三角形．∴这个三角形的周长为2＋6＋7＝15.答案：C10．(2021·黔西南州)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是()A．m＜2 B．m≤2C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1解析：∵关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≠0，,Δ＝22－4×1×m－1≥0.))解得m≤2且m≠1.答案：D11．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2018年为a万人次，2020年为b万人次．设参观人次的年平均增长率为x，则()A．a(1＋x)＝bB．a(1－x)＝bC．a(1＋x)2＝bD．a[(1＋x)＋(1＋x)2]＝b解析：由题意，得a(1＋x)2＝b.答案：C12．(2021·南昌模拟)若方程x2－4x＋2＝0的两个根为x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为________．解析：根据题意，得x1＋x2＝4，x1·x2＝2，∴x1(1＋x2)＋x2＝x1＋x2＋x1·x2＝4＋2＝6.故答案为6.答案：613．(2021·江西一模)能使6|k＋2|＝(k＋2)2成立的k值为__________．解析：6|k＋2|＝(k＋2)2，6|k＋2|－|k＋2|2＝0，∴|k＋2|(6－|k＋2|)＝0.∴|k＋2|＝0或6－|k＋2|＝0.解得k＝－2或k＝4或k＝－8.故答案为－2或4或－8.答案：－2,4或－814．(2021·江西模拟)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝________.解析：∵x1x2＝k2，两根互为倒数，∴k2＝1.解得k＝1或k＝－1，∵方程有两个实数根，∴Δ＞0.当k＝1时，Δ＜0，舍去．故k的值为－1.故答案为－1.答案：－115．(2021·南昌模拟)解方程：3x(x－2)＝2(2－x)．解：∵3x(x－2)＋2(x－2)＝0，∴(x－2)(3x＋2)＝0.则x－2＝0或3x＋2＝0，解得x＝2或x＝－eq\f(2,3).16．关于x的一元二次方程x2＋(2a＋1)x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求a的取值范围；(2)若a为满足条件的负整数，写出a的值，并求出x1＋x2的值．解：(1)Δ＝(2a＋1)2－4(a2－1)＝4a＋5＞0，∴a＞－eq\f(5,4).(2)由(1)，可知a＞－eq\f(5,4)，∴a＝－1.∴x1＋x2＝－(2a＋1)＝1.[能力提升]17．已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2－16x＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是()A．24或2eq\r(5) B．24C．8eq\r(5) D．24或8eq\r(5)解析：x2－16x＋60＝0，(x－6)(x－10)＝0，x－6＝0或x－10＝0，所以x1＝6，x2＝10，当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高＝eq\r(62－42)＝2eq\r(5)，此时三角形的面积＝eq\f(1,2)×8×2eq\r(5)＝8eq\r(5)，当第三边长为10时，三角形为直角三角形，此时三角形的面积＝eq\f(1,2)×8×6＝24.答案：D18．关于x的方程ax2＋(1－a)x－1＝0，下列结论正确的是()A．当a＝0时，方程无实数根B．当a＝－1时，方程只有一个实数根C．当a＝1时，有两个不相等的实数根D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根解析：A.当a＝0时，方程为x－1＝0，解得x＝1，故当a＝0时，方程有一个实数根，不符合题意；B．当a＝－1时，关于x的方程为－x2＋2x－1＝0，∵Δ＝4－4＝0，∴当a＝－1时，方程有两个相等的实数根，故不符合题意；C．当a＝1时，关于x的方程为x2－1＝0，故当a＝1时，有两个不相等的实数根，符合题意；D．当a≠0时，Δ＝(1－a)2＋4a＝(1＋a)2≥0，∴当a≠0时，方程有两个不相等或有两个相等的实数根，故不符合题意．答案：C19．某市发出生活垃圾分类的号召后，实现生活垃圾分类的社区由第一季度的1250个，迅速增加到第三季度的1800个，照此速度增加，今年第四季度实现生活垃圾分类的社区可以达到()A．2140个B．2160个C．2180个D．2200个解析：设平均每个季度的增长率为x，∴1250(1＋x)2＝1800.∴1＋x＝±eq\f(6,5).∴x＝eq\f(1,5)或x＝－eq\f(11,5)(舍去)．∴第四季度实现生活垃圾分类的社区达到1800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))＝2160(个)．答案：B20．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为()A．(30－x)(20－x)＝eq\f(3,4)×20×30B．(30－2x)(20－x)＝eq\f(1,4)×20×30C．30x＋2×20x＝eq\f(1,4)×20×30D．(30－2x)(20－x)＝eq\f(3,4)×20×30解析：由题意，得(30－2x)(20－x)＝eq\f(3,4)×20×30.答案：D21．(2021·江西模拟)已知一元二次方程x2＋(a－2)x＋3－a＝0的两根是x1，x2.若x1(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，则a的值为______________．解析：由于Δ＝(a－2)2－4(3－a)＝a2－8≥0，∴a≤－2eq\r(2)或a≥2eq\r(2).∴x1＋x2＝－(a－2)≠0.由题意，可知x1＝0或x1－x2＝0，当x1＝0时，此时3－a＝0，∴a＝3.当x1＝x2时，Δ＝0，∴a＝±2eq\r(2).故答案为a＝3或a＝±2eq\r(2).答案：a＝3或a＝±2eq\r(2)22．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是该方程的两个实数根，且eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝1，求k的值．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴判别式Δ＝4－4(2k－4)＞0.解得k<eq\f(5,2).∴k的取值范围是k<eq\f(5,2)；(2)由根与系数关系，得x1＋x2＝－2，x1·x2＝2k－4，∴eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－2,2k－4)＝1，解得k＝1，经检验，k＝1是原方程的解．故k的值是1.23．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m