类型十五、因式分解的几何应用（解析版）

类型十五、因式分解的几何应用【解惑】2m2+5mn+2n2可以因式分解为方法：与前面类型几何类似。用割补的方式把图形分成几份，用等面积法两种方法表示，构造等式。【融会贯通】1．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图形，根据图形因式分解即可．【详解】解：如下图：，2．如图2所示的是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则长方体的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：∵S主视图=x2+2x=x（x+2），S左视图=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2．所以长方体的表面积为：3．如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵四边形是一个长方形，∴该长方形的面积=，∵该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成，∴该图形的面积=，∴=，4．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（）米．A．a+bB．b+cC．a+cD．a+b+c【答案】C【详解】解：原来四块地的总面积是a2＋bc＋ac＋ab＝a（a＋c）＋b（a＋c）＝（a＋c）（a＋b），则交换之后的土地长是（a＋c）米．5．如图：边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（

）A．35 B．70 C．40 D．90【答案】B【详解】根据题意得：a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab(a+b)=70.6．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是（

）A．20 B．30 C．40 D．10【答案】A【详解】试题分析：根据图形可得：阴影部分的面积====×（100－60）=20．7．如图，中，，将沿方向平移个单位得（其中的对应点分别是），设交于点，若的面积比的大，则代数式的值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴，由平移可知，AD=b，∴，∵的面积比的大，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【知不足】8．如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．观察图形，发现多项式可因式分解为____________．【答案】【详解】解：结合图形，可得长方形的面积为，长方形的面积也可以为，∴=．9．如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为_____．【答案】【详解】解：∵长方形ABCD的面积=m2+2mn，长方形ABCD的面积=m（m+2n），∴m2+2mn=m（m+2n）．10．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．（2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和______．【答案】

42cm【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积，由图知还可用求面积，∴=．（2）由题知，，，∴，∵，∴，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为，即42cm．11．如图，用四个完全一样的长、宽分别为x，y的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤．正确的是_____________（填序号）．【答案】①②④⑤【详解】解：由图形可得，，故①②正确；∴，故③错误；，故④正确；∵小长方形的面积，∴，故⑤正确；12．如图，整个大长方形的面积用式子表示为a2+3ab+2b2，观察图形，将这个式子分解因式为_____．【答案】a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）．【详解】解：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）13．已知a=2015x+2013，b=2015x+2015，c=2015x+2017，则多项式a2b2c2abbcac的值是_____.【答案】12【详解】解：∵a=2015x+2013，b=2015x+2015，c=2015x+2017，∴a-b=-2，b-c=-2，a-c=-4，则原式=14．已知则___________________【答案】0【详解】解：x=-1原式=1-1+1-1+1-1+1=015．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体(a>b)(1)如图①所示的几何体的体积是_______.(2)用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解.比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式____________________.【答案】

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.【详解】（1）由题意可得：a3-b3．（2）根据几何体体积的不同表示方法可得：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b316．已知a＝+2012，b＝+2013，c＝+2014，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是_____．【答案】6【详解】∵a=+2012，b=+2013，c=+2014，∴a−b=−1，b−c=−1，c−a=2，c−b=1，∴2(a2+b2+c2−ab−bc−ac)=2[a(a−b)+b(b−c)+c(c−a)]=2(−a−b+2c)=2[(c−a)+(c−b)]=2×3=6.17．如果x-y=1，xy=2，那么x3y-2x2y2+xy3=____【答案】2【详解】解：当x-y=1，xy=2时，18．已知a5﹣a4b﹣a4+a﹣b﹣1=0，且2a﹣3b=1，则a3+b3的值是_____【答案】9【详解】∵a5-a4b-a4+a-b-1=0，∴（a5+a）-（a4b+b）-（a4+1）=0，∴a（a4+1）-b（a4+1）-（a4+1）=0，∴（a-b-1）（a4+1）=0，∵a4+1＞0，∴a-b-1=0①又∵2a-3b=1②由①②可得a=2，b=1，∴a3+b3=23+1=9，19．利用分解因式计算：（1）22005﹣22004=____；（2）（﹣2）51+（﹣2）50=____．【答案】

22004

﹣250【详解】本题考查了因式分解的应用，要熟悉提公因式法等基本因式分解的方法，解答此题的关键是找到公因式．（1）将22005化为2×22004，再提公因式22004即可；（2）将（﹣2）51化为（﹣2）×（﹣2）50，再提公因式（﹣2）50即可．解：（1）22005﹣22004=2×22004﹣22004=22004×（2﹣1）=22004；（2）（﹣2）51+（﹣2）50=（﹣2）×（﹣2）50+（﹣2）50=（﹣2）50×（﹣2+1）=﹣250；20．若a2﹣4a+b2﹣10b+29=0，则a=_____，b=_____．【答案】

2

5【详解】∵a2﹣4a+b2﹣10b+29=0，∴（a﹣2）2+（b﹣5）2=0，∴a﹣2=0，b﹣5=0，解得a=2，b=5．21．已知则代数式的值为_________．【答案】45【详解】==∵∴原式=22．若x，y是大于3的质数，但能使得x2+5xy+4y2为完全平方数，这样的质数对（x，y）是_____．【答案】（5，11）或（7，5）【详解】解：∵x2+5xy+4y2为完全平方数，∴设x2+5xy+4y2＝k2，k是正整数，∴（x+2y）2+xy＝k2，∴（k+x+2y）（k﹣x﹣2y）＝xy，∵x，y是大于3的质数，∴k+x+2y＞k﹣x﹣2y，且k+x+2y＞x，∴，①﹣②得2x+4y＝xy﹣1，即xy﹣2x﹣4y﹣1＝0，∴x（y﹣2）﹣4（y﹣2）﹣8﹣1＝0，即（x﹣4）（y﹣2）＝9，∵x，y是大于3的质数，∴，，，解得，，（舍去）．23．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：____________．（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且，则“跟斗数”b=____________．（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则____________．【答案】

5

26

19【详解】解：（1）（2）∵一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k＋1)，且，∴解得k=2，∴2(k＋1)=6，∴b=26．（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m＋n=100，设m=10x＋y，则n=10(9-x)＋(10-y)，∴24．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且=4．求的值为____．【答案】1【详解】解：∵=4，∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，整理，得xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0．∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠0，∴xyz﹣（x+y+z）=0，∴xyz=x+y+z，∴，即的值为1．25．阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．①若，求对称式的值；②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．【答案】（1）①③；（2）①＝6；②的最小值为．【详解】解：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是①③．（2）∵x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n∴a+b＝m，ab＝n．①a+b＝﹣2，ab＝，＝＝＝＝6；②＝＝（a+b）2﹣2ab+＝m2+8+＝m2+，∵m2≥0，∴的最小值为．26．已知(2019－a)(2017－a)＝1000，请猜想(2019－a)2＋(2017－a)2＝______【答案】2004【详解】解:(2019－a)2＋(2017－a)2===2004【一览众山小】27．阅读与思考：下面是小华同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．年月日星期日巧用数学思想，妙解数学问题．今天，我去书店买书，无意间发现一本书上记录了这样一段有趣的话：“整体思想”是中学数学解题思路中一种重要的思维方法，贯穿于中学数学的全过程，在多项式的化简与求值中应用极为广泛，比如整体代入，整体换元，整体约分，整体求和，整体构造，……，很多问题若从局部求解，各个击破，多数很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，再复杂的问题也能迎刃而解．有这样一道题：如果时，求的值，它的解题过程如下：方法一：当时，原式．方法二：将当做一个整体，那么当时，原式．通过对比两种方法，我得到了这样一个结论：巧用数学思想解题，不仅有助于加深对代数式结构的理解，而且还能提高我们做题的效率，同时也能培养我们的创新思维．尝试应用：(1)根据“方法二”，将代数式进行化简；拓展探究：(2)已知，那么的值为___．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）解：；（2）解：∵∴∵∴原式．28．【实践探究】小明在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成一个大长方体，如图2，据此写出一个多项式的因式分解：________________．【问题解决】(2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，需要②号长方体________个，③号长方体_____个，据此写出一个多项式的因式分解：____________________．【拓展与延伸】(3)如图3，在一个边长为的正方体中挖出一个边长为的正方体，据此写出______________．【答案】(1)(2)，，(3)【详解】（1）解：从图中1中选择①②拼接，①是一个边长都为的正方体，②是长，宽为，高为的长方体，∴体积为：，图2中体积为：，∵体积相等，∴，（2）解：①号是长，宽，高为的正方体，②号是长，宽为，高为的长方体，③号长方体的长为，宽，高为的长方体，④号是长，宽，高为的正方体，要拼成棱长为的正方体，∴棱长为的正方体，长，宽，高都为，体积为，∵①号的体积为，②号的体积为，③号的体积为，④号的体积为，∴①号需要个，②号需要个，③号需要个，④号需要个，∴个①号正方体的体积是，个②号长方体的体积是，个③号长方体的体积是，个④号正方体的体积是，∴①②③④号组成的体积是：，棱长为的正方体的体积是：，∵体积相等，∴，（3）解：边长为的正方体的体积是：，边长为的正方体的体积是：，∴挖去后的体积为：，如图所示，过，把正方体分割为部分，∴部分的体积为：，部分的体积为：，部分的体积为：，∴，∵体积相等，∴，29．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式________；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(3)小明同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，5张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？(4)小明同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么________．【答案】(1)(2)(3)(4)2016【详解】（1）解：正方形的面积，正方形的面积各个矩形的面积之和，所以，（2）解：由（1）知，因此；（3）解：长方形的面积，所以长方形的边长为和，因为，所以较长的一边的边长为；（4）解：因为长方形的面积，所以，，，所以．30．如图，将一块边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为（）的小正方形．试用含a，b的代数式表示剩余部分的面积，并利用因式分解求当，时，剩余部分的