人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第03讲 1.3集合的基本运算（含解析）

第03讲1.3集合的基本运算课程标准学习目标①理解并集、交集的概念，能进行交、并的混合运算.②理解全集与补集的意义，能求在给定全集下任何子集的补集1．能综合运用集合的运算性质，并能正确地进行交、并、补集的综合运算.2．理解集合运算的思想，能运用补集思想解题.知识点01：并集一般地，由所有属于集合SKIPIF1<0或属于集合SKIPIF1<0的元素组成的集合称为集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0的并集，记作SKIPIF1<0（读作：SKIPIF1<0并SKIPIF1<0）.记作：SKIPIF1<0.并集的性质：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.高频性质：若SKIPIF1<0.图形语言对并集概念的理解(1)SKIPIF1<0仍是一个集合,SKIPIF1<0由所有属于集合SKIPIF1<0或属于集合SKIPIF1<0的元素组成.(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”包括下列三种情况:①SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.可用下图所示形象地表示.【即学即练1】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0}，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为集合SKIPIF1<0}，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0知识点02：交集一般地，由既属于集合SKIPIF1<0又属于集合SKIPIF1<0的所有元素组成的集合即由集合SKIPIF1<0和集合SKIPIF1<0的相同元素组成的集合，称为集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0的交集，记作SKIPIF1<0（读作：SKIPIF1<0交SKIPIF1<0）.记作：SKIPIF1<0.交集的性质：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.高频性质：若SKIPIF1<0.图形语言对交集概念的理解(1)SKIPIF1<0仍是一个集合,SKIPIF1<0由所有属于集合SKIPIF1<0且属于集合SKIPIF1<0的元素组成.(2)对于“SKIPIF1<0”,包含以下两层意思:①SKIPIF1<0中的任一元素都是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公共元素;②SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公共元素都属于SKIPIF1<0,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,而不是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0没有公共元素时,不能说集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0没有交集,而是SKIPIF1<0.(4)当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0和SKIPIF1<0同时成立.【即学即练2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C知识点03：全集与补集全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用SKIPIF1<0表示，全集包含所有要研究的这些集合.补集：设SKIPIF1<0是全集，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个子集（即SKIPIF1<0）,则由SKIPIF1<0中所有不属于集合SKIPIF1<0的元素组成的集合，叫做SKIPIF1<0中子集SKIPIF1<0的补集，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.补集的性质：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【即学即练3】（2023·天津·统考高考真题）已知集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A知识点04：德摩根律(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0知识点05：容斥原理一般地，对任意两个有限集SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0进一步的：SKIPIF1<0题型01交集的概念及运算【典例1】（2023·浙江·二模）若集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【变式1】（2023·河北承德·统考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A题型02根据交集的运算结果求集合或参数【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值可以是（）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】ABC【详解】由题意，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足题意；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.综上：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：ABC.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，此时方程SKIPIF1<0的两个根需满足小于等于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知集合SKIPIF1<0非空，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：B.【变式2】（2023·山东济宁·统考二模）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不满足集合中元素的互异性，舍去；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足集合中元素的互异性，舍去；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足题意，所以SKIPIF1<0，故选：D．题型03并集的概念及运算【典例1】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）若集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：D.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D．【变式1】（2023·北京·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】根据并集的运算可知，SKIPIF1<0.故选：A.题型04根据并集的运算结果求集合或参数【典例1】（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上所述实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值集合.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合题意；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.综上，a的取值集合是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值所成的集合是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足条件．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．综上可得：实数SKIPIF1<0的取值所成的集合是SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0．故选：D【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数m的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型05补集的概念及运算【典例1】（2023秋·湖北孝感·高一统考期末）设全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】根据集合SKIPIF1<0的定义，绝对值的意义可知，逐一带入SKIPIF1<0到SKIPIF1<0中，只有SKIPIF1<0符合，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意可知，SKIPIF1<0，可知集合SKIPIF1<0表示的是SKIPIF1<0的奇数倍，而由SKIPIF1<0可知，集合SKIPIF1<0表示的是SKIPIF1<0的整数倍，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【变式1】（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）如果全集SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意可得：SKIPIF1<0，结合补集的定义可知SKIPIF1<0.本题选择C选项.题型06根据补集的运算结果求集合或参数【典例1】（2023·陕西商洛·校考三模）设全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．0 B．-1 C．2 D．0或2【答案】A【详解】由集合SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，全集SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经验证SKIPIF1<0满足条件，所以实数SKIPIF1<0的值为0.故选：A【典例2】（多选）（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）设全集SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】ABC【详解】U＝{3，5}，若a＝0，则SKIPIF1<0，此时A＝U；若a≠0，则SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.此时SKIPIF1<0＝3或SKIPIF1<0＝5，∴a＝SKIPIF1<0或a＝SKIPIF1<0.综上a的值为0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：ABC【变式1】（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则集合B＝___．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．题型07交集、并集、补集的混合运算【典例1】（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，选A．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】答案见解析.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式1】（2023·天津南开·统考二模）已知全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B．题型08根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数【典例1】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<02或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】（2023春·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）条件选择见解析，SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，列出不等式组，即可求解；【详解】（1）当SKIPIF1<0时，集合SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．【变式1】（2023秋·云南玉溪·高一统考期末）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）

SKIPIF1<0：所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，

则满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．

题型09容斥原理【典例1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（

）A．70％ B．56％ C．40％ D．30％【答案】C【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x，则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56％＋74％－x，所以56％＋74％－x＝90％，解得SKIPIF1<0％，故选：C.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合SKIPIF1<0叫做有限集，用SKIPIF1<0表示有限集合SKIPIF1<0中元素的个数.例如，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有SKIPIF1<0三类，那么，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】设集合SKIPIF1<0{参加足球队的学生}，集合SKIPIF1<0{参加排球队的学生}，集合SKIPIF1<0{参加游泳队的学生}，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设三项都参加的有SKIPIF1<0人，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，三项都参加的有4人，故选：C.【变式1】（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）某高中学生运动会，某班SKIPIF1<0名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有SKIPIF1<0人，参加径赛的有SKIPIF1<0人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题可得参加比赛的学生共有30人，设参加田赛的学生为集合A，参加径赛的学生为集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，因为SKIPIF1<0，所以田赛和径赛都参加的学生人数为SKIPIF1<0.故选：C.题型10根据并、交、补集性质求参数（解答题）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知全集SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【典例2】（2023·高一单元测试）已知全集为SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）解不等式SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0；(2)若______求实数SKIPIF1<0的取值范围.①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0从这三个条件选一个填入横线处，并求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)无论选哪个条件，SKIPIF1<0的取值范围都是SKIPIF1<0.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0（2）若选①：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以不符合题意，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.若选②：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以不符合题意，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.若选③：SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以不符合题意，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【典例5】（2023秋·四川成都·高一成都七中校考期末）设集合SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，利用韦达定理得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，利用韦达定理得到SKIPIF1<0，无解；当SKIPIF1<0时，根据韦达定理得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；综上，实数a的取值范围是：SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求实数a的取值范围；(2)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求实数a的值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】（1）由题意得方程SKIPIF1<0有实数解，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式2】（2023·河北·高三学业考试）设全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由数轴法得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；综上：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.题型11新定义题【典例1】（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合SKIPIF1<0，对于它的任一非空子集SKIPIF1<0，可以将SKIPIF1<0中的每一个元素SKIPIF1<0都乘SKIPIF1<0再求和，例如SKIPIF1<0，则可求得和为SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0所有非空子集，这些和的总和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为元素SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在集合SKIPIF1<0的所有非空子集中分别出现SKIPIF1<0次，则对SKIPIF1<0的所有非空子集中元素SKIPIF1<0执行乘SKIPIF1<0再求和，则这些和的总和是SKIPIF1<0．故选：B.【典例2】（多选）（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集SKIPIF1<0中，被5除所得余数为SKIPIF1<0的所有整数组成一个“类”，记为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．以下判断正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0属同一类【答案】ACD【详解】A选项，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，A正确；B选项，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，B错误；C选项，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，故SKIPIF1<0，C正确；D选项，由题意可知SKIPIF1<0能被5整除，故SKIPIF1<0分别被5除的余数相同，故整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0属同一类，D正确.故选：ACD【变式1】（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，我们把集合SKIPIF1<0记作SKIPIF1<0.若集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中元素的个数为SKIPIF1<0故选：C本节重点方法（图的应用）【典例1】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）设全集SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则图中阴影部分为SKIPIF1<0.故选：D【典例2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是全集SKIPIF1<0的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，图中阴影部分表示的集合为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示的Venn图中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是非空集合，定义集合SKIPIF1<0为阴影部分表示的集合．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由韦恩图可知，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：D.本节数学思想方法（分类讨论法）【典例1】（2021秋·福建泉州·高一校考阶段练习）设集合SKIPIF1<0.(1)讨论集合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值.【答案】(1)答案见解析(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集.（2）当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，符合题意.当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0符合题意.综上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【典例2】（2022秋·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若集合SKIPIF1<0中仅有一个整数元素，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【详解】（1）SKIPIF1<0集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0；（2）由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0集合SKIPIF1<0中仅有一个整数元素，由于集合A中只有两个整数元素：SKIPIF1<0和0，若集合SKIPIF1<0中仅有一个整数元素SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，若集合SKIPIF1<0中仅有一个整数元素0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．本节易错题【典例1