山东省金科大联考2024届高三上学期9月质量检测数学试题(（解析版）)

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省金科大联考2024届高三上学期9月质量检测数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意解不等式，得，所以；由二次根式有意义的条件知，解得，所以.所以，所以.故选：A.2.复数的模为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，则，则，则.故选：B.3.已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为是上的奇函数，所以，又函数，令，即，所以，所以函数的图象恒过点.故选：D.4.某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（）A.64 B.65 C.66 D.67〖答案〗C〖解析〗由图可知，，即第40百分位数位于区间，设第40百分位数为，则.故选：C.5.如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗如图：因为,所以故选：6.过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（）A.3 B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗因为圆心在直线上，所以设圆的圆心、半径分别为，则圆的方程为，将，代入圆的方程有，解得，所以圆的方程为，在圆的方程中令得，解得，所以.故选：C.7.已知函数在上单调递增，在上单调递减，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数在上单调递增，在上单调，所以，即，解得，由题意，，因为函数为偶函数，，所以，解得.故选：D.8.如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，易知，则，，又，所以.故选：C.二、多项选择题9.已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（）A. B.C.是数列中的项 D.取得最大值时，〖答案〗AC〖解析〗由题意可得，，则.显然A正确，B错误；令，即C正确；结合二次函数的对称性及单调性可知或，取得最大值，即D错误.故选：AC10.如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（）A.圆台的侧面积为 B.直线与下底面所成的角的大小为C.圆台的体积为 D.异面直线和所成的角的大小为〖答案〗ABD〖解析〗由题意可得上底面半径为，下底面圆半径为，母线，则圆台的侧面积为，故A正确；做圆台的轴截面如图所示，做，则直线与下底面所成的角为，且，则，且，则，所以，故B正确；因为上底面圆的面积，圆台的高，则圆台的体积为，故C错误；取中点，连接，由为弧的中点，可得，过点，作，连接，则，且，且，则四边形为平行四边形，所以，则异面直线和所成的角即为与所成角，即为，又，，所以，在中，，，则为等腰直角三角形，则，故D正确；故选：ABD.11.已知函数，则（）A.当时，函数的最小值为B.当时，函数的极大值点为C.存在实数使得函数在定义域上单调递增D.若恒成立，则实数的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗因为函数，则，其中，当时，则，令，可得，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，当时，有极小值，即最小值，故A正确；当时，则，令，可得，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误；假设存在实数使得函数在定义域上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因为的值域为，所以函数无最小值，故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误；若恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确；故选：AD.12.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（）A. B.当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为C. D.〖答案〗ACD〖解析〗如下图所示：对于A选项：由题意焦点的坐标以及准线方程分别为，所以焦点到准线的距离为，因此A选项符合题意；对于B选项：由题意设点的坐标为，又由A选项分析可知，抛物线方程为，所以线段的中点坐标为，将其代入抛物线方程得，解得，此时点的坐标为，因此B选项不符合题意；对于C选项：由题意设点的坐标为，切线的方程为，将其代入抛物线方程得，整理得，所以，因为，所以解得，所以切线的斜率为，又因为点的坐标为，，所以直线的斜率为，所以，所以，因此C选项符合题意；对于D选项：由C选项分析可知，又，所以有，解得，将其代入切线的方程，解得，所以切点的坐标为，又因为，，，所以，，，，所以，即，因此D选项符合题意.故选：ACD.三、填空题13.3名男生和3名女生站成一排照相，则男生站在一起，且女生站在一起的概率为______.〖答案〗〖解析〗一方面：先将男生捆绑在一起，一共有种排法，同理再将女生捆绑在一起，也有种排法，且注意到男生整体与女生整体的相对位置关系有种，因此符合题意的排法数有；另一方面：注意到6个人的全排列数为，因此男生站在一起，且女生站在一起的概率为.故〖答案〗为：.14.曲线过原点的切线方程为______.〖答案〗或.〖解析〗由题意可得，设切点为，则，所以函数过原点的切线方程为，解之得，则，此时切线方程为，若切点为原点，则，此时切线方程为.故〖答案〗为：或.15.已知，，则______.〖答案〗〖解析〗由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：，当，此时，不合题意；当，符合题意；所以.故〖答案〗为：16.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，分别为，，的中点，点在棱上，且平面，则三棱锥的外接球的表面积为______.〖答案〗〖解析〗如图所示，由题意可将四棱锥补形为长方体，延长交于两点，连接，过点作交于点，易知此时平面，则由平行线分线段成比例及已知条件可得：，由长方体的外接球性质可知，三棱锥的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为对角线，设球半径为，则.故〖答案〗为：.四、解答题17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若的面积为，，求的值.解：（1）因为，所以，即，所以，又，所以.（2）由正弦定理知，，所以，所以，解得，所以.18.在前项和为的等比数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）记，将数列和数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求数列的前50项的和.解：（1）设数列的公比为，若，则，与题意不符；若，则，解得，所以；（2）由（1）知：，将数列和数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，因为，所以新的数列的前50项中数列有6项，数列有44项，所以数列的前50项的和.19.零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：零件直径（单位：厘米）零件个数1025302510已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.（1）分别求，的值；（2）试估计这批零件直径在的概率；（3）随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数.参考数据：；若随机变量，则，，.解：（1）由平均数与方差计算公式分别得：故，.（2）设表示零件直径，则，即.，由对称性得，，即.同理，，，即..故这批零件直径在的概率为0.8186.（3）由（2）知，，所以在这2000个零件中，零件直径在的有个.20.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，，，，.（1）若平面，求的值；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）分别取中点，连接，由已知底面是直角梯形，，，，易得，∵平面平面，平面平面，∴，以为中心，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由题意知为等腰直角三角形，，,则，∴，∵，∴，显然是平面的一个法向量，若平面，则，即；（2）由（1）知，，当时，∴，设分别为平面与平面的一个法向量，则有，，不妨令，则，则，设平面与平面的夹角为，故,即平面与平面的夹角的余弦值为.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围.解：（1）由题意可得，①若，则，即函数在R上单调递增，②若，令，即，令或，即函数在上单调递减，在和上单调递增，综上：时，函数在R上单调递增；时，函数在上单调递减，在和上单调递增.（2）由（1）知，欲满足题意则需：，当时，当时，，即函数存在三个零点从小到大分布在区间上，故实数的取值范围为.22.如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线，斜率分别为，，求的值；（3）证明：直线过定点.（1）解：因为点和点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）解：由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，设，联立，整理得，若，即，直