2023-2024学年福建省厦门市高三上册第一次月考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年福建省厦门市高三上册第一次月考数学模拟试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若z，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度4．“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．下列函数中，在区间上为减函数的是A． B． C． D．6．如图，正方形中,为的中点,若,则的值为()A． B． C． D．7．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题是真命题的是（

）A．，使函数在R上为偶函数B．，函数的值恒为正数C．，D．，10．在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有30000人参加考试.为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照的分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间的人数为16，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（

）

A．B．C．考生成绩的第70百分位数为76D．估计该市全体考生成绩的平均分为7111．如图，在正四棱柱，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下面结论一定成立的是（

）A．EF与A1C1平行 B．BC1与AB1所成角大小为C．EF与BB1垂直 D．EF与BD垂直12．定义在上的函数满足，是偶函数，，则（

）A．是奇函数 B．C．的图象关于直线对称 D．三、填空题13．若幂函数在在上单调递增，则.14．某校表演队的演员中，会演歌唱节目的有6人，会演舞蹈节目的有5人，当中同时能歌能舞的只有2人，现在从中选派4人参加校际演出队，要求至少有2人能演舞蹈节目，那么不同选派方法共有.（用数字作答）15．若一个圆台的轴截面是腰长为的等腰梯形，下底边长为，对角线长为，则这个圆台的体积为.16．已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数m的取值范围为四、解答题17．已知，，分别是的三个内角，，的对边，且（1）求证：；（2）若，求.18．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值.19．已知等差数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式及；(2)设，求数列的前n项和.20．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间和极值；(2)若在上是单调增函数，求实数的取值范围.21．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内（）个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计．若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为．(1)求的值；(2)若一次抽取4个城市，（i）假设抽取出的小城市的个数为，求的概率分布列；（ii）若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率．22．已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，是原点，求的面积，1．B【分析】首先求解集合，再求集合的交集即可.【详解】因为，所以，又集合，所以，故选：B.2．D【分析】由复数除法运算法则，求出，即可求解.【详解】，在复平面内对应的点在第四象限.故选:D.本题考查复数的代数运算及几何意义，属于基础题.3．C利用对数的运算法则先进行化简，结合函数的图象变换法则进行判断即可．【详解】解：，故只需将函数的图象向上平移1个单位长度，即可得到，故选：．本题主要考查函数的图象与变换，结合对数的运算法则是解决本题的关键，属于基础题．4．C【分析】首先看函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数时，能否推出，反之，再看时函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx是否为奇函数，即可得答案.【详解】函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数,则，化简得：，故，当时，f(x)＝sinx是奇函数，因此“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”充要条件，故选:C.5．D【详解】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.考点：函数增减性6．D【详解】因为E是DC的中点，所以，∴，∴，．考点：平面向量的几何运算7．D【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列8．B【分析】由条件转化为有解，求出与的切点，数形结合求解即可.【详解】由题意，，即有解，先求与相切时，过定点，的导数，设切点为，则由导数可知，所以，解得，即切点为，此时切线斜率，作出函数图象，如图，

由图象可知，当时，存在存在，使得成立.故选：B9．AC【分析】对AC例说明其正确性，对BD可举例说明其是错误的．【详解】对A，当时，函数为，满足，即函数为偶函数，正确；对B，当时，，B错；对C，当时，，正确；对D，当时，，而，D错．故选：AC．10．AC【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可判断A，根据成绩落在区间内的人数和频率可判断B，根据百分位数的定义和平均数的定义可判断CD．【详解】对于A，因为，解得，故A正确；对于B，因为成绩落在区间内的人数为16，所以样本容量，故B错误；对于C，因为，，所以考生成绩的第70百分位数落在区间，设考生成绩的第70百分位数为,则，解得，即考生成绩的第70百分位数为76，故C正确；对于D，学生成绩平均分为,故D错误．故选:AC．11．ACD【分析】连结，利用中位线的性质，即可证明，再利用平行，垂直关系的转化，即可判断选项.【详解】A.连结，即点是与的交点，点分别是的中点，所以，故A正确；B.连结，因为，所以是异面直线BC1与AB1所成角，因为四棱柱是正四棱柱，所以不一定是等边三角形，所以BC1与AB1所成角不一定为，只有正四棱柱是正方体时，BC1与AB1所成角为，故B错误；C.因为平面，所以，又因为，，故C正确；D.因为，，所以，又因为，所以，故D正确.故选：ACD12．ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项，∵是偶函数，∴，∴函数关于直线对称，∴，∵，∴，∴是奇函数，则正确；对于选项，∵，∴，∴,∴的周期为，∴，则正确；对于选项，若的图象关于直线对称，则，但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；对于选项，将代入，得，将，代入，得，同理可知，又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，∴，则正确.故选：ABD.13．1【分析】幂函数系数为1，在上单调递增上递增，有，可求解.【详解】幂函数在在上单调递增可得解得故14．105【分析】将演员分为两类，会演舞蹈节目的有5人，不会表演舞蹈的有4人，然后从问题的反面思考，将从9人中任选4人的基本事件中排除对立事件没有或者1人会表演舞蹈，计算事件个数即可；【详解】根据题意，某校表演队的演员中，会演歌唱节目的有6人，会演舞蹈节目的有5人，当中同时能歌能舞的只有2人，则该表演队一共有9人，不会表演舞蹈的有4人，从9人中任选4人，有种选法，至少有2人能演舞蹈节目对立事件：其中4人都不会表演舞蹈的有种情况，只有1人会表演舞蹈的有种情况，则至少有2人能演舞蹈节目，有种.故105.15．作出圆台的轴截面，根据平面几何知识求出圆台的高和上下底面半径，根据圆台体积公式即可求解.【详解】圆台的轴截面如图，由，可知.分别过点作，所以，所以，所以，所以圆台的体积为.故此题考查求圆台的体积，关键在于根据圆台的轴截面准确求出高和底面半径，依据公式准确计算.16．【分析】根据，为开口向下的二次函数，而时，利用导数求解单调性，进而可得极值，结合三个零点即可得，进而可求解.【详解】当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；此时最大值为，当时，，则当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减,此时函数极大值为，且当时，，由于，所以函数恰有3个不同零点，则，所以．故答案为.17．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用两角和的正弦公式以及正弦定理的边角互化即可证明.（2）由（1）可得，再由余弦定理即可求解.【详解】（1）由，得，即.因为，所以，由正弦定理得.（2）由（1）知，代入，得.由余弦定理得，因为，所以.18．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，证明，再根据线面垂直的判定定理即可得解；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得解；（3）利用向量法从而可得出答案.【详解】（1）证明：因为为的中点，，所以，因为平面，，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，因为，，所以，则，则，设为平面的一条法向量，则，令，则，所以，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；（3）解：，因为平面，，所以平面，则即为平面的一条法向量，由（2）的平面的一条法向量，则，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.19．(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用等差数列前n项和公式求出；（2）求得，利用裂项相消法即可求得.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，解得，所以，故数列的通项公式，；（2）由（1）可得，所以，所以.20．(1)答案见解析；(2)[-7，+∞)【分析】（1）求出函数的定义域.当a=-8时，求出函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调区间和极值；（2）求出函数g(x)的解析式以及函数的导数，利用函数g(x)在[2，+∞)上是单调递增函数，得到不等式，然后构造函数利用单调性求出新函数的最值，即可求出a的范围.【详解】（1）当a=-8时，函数的定义域为(0，+∞)，.当x∈(0，2)时，，函数是减函数；x∈(2，+∞)，，函数是增函数.所以单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，+∞).所以的极小值为，无极大值.（2），.要使函数g(x)在（2，+∞）上是单调递增函数，只需在(2，+∞)上恒成立，即在上恒成立.令.因为在（2，+∞）上是单调递减，在（2，+∞）上是单调递减，所以在（2，+∞）上是单调递减，所以.所以.即实数a的取值范围为[-7，+∞).21．(1)7(2)（i）01234（ii）【分析】（1）一次抽取2个城市，全是小城市的个数和从个城市中一次抽取2个城市的情况用组合数表达出来，列出方程，求出的值；（2）（i）用超几何分布求出分布列，（ii）把抽取的4个城市是同一类城市，全为超大城市和全为小城市的情况均求出来，进而求出全为超大城市的概率.【详解】（1）（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，解得（2）（i）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，则的概率分布列为01234（ii）若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为．22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.