2023-2024学年广西壮族自治区柳州市新高三摸底考试数学试题（含解析）

2023-2024学年广西壮族自治区柳州市新高三摸底考试数学试题第I卷（选择题，共60分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点为，则（

）A． B． C． D．3．已知向量满足，且，则向量在向量上的向量为（

）A．1 B．-1 C． D．4．根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为（

）A．0.5 B．0.625 C．0.8 D．0.95．已知，，则（

）A．25 B．5 C． D．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.用2个阳爻，4个阴爻，可以组成（

）种不同的重卦.A．6 B．15 C．20 D．247．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．8．设函数的导数为，且为偶函数，，则不等式成立的是（

）A． B．C． D．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知，则（

）A． B．C． D．10．已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，将的图像沿x轴向右平移个单位得到函数的图像，则（

）A． B．是图像的一个对称中心C．是奇函数 D．在区间上的值域为11．已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（

）A． B． C． D．12．如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转得到的，设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则（

）

A．存在点，使得B．不存在点，使得C．存在点，使得平面D．不存在点，使得直线与平面的所成角为第II卷（非选择题，共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若离散型随机变量满足：，则随机变量的期望．14．设直线与圆相交于两点，且弦的长为2，则实数的值是.15．已知圆锥的底面直径为，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为.16．抛物线的焦点为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出相应的演算步骤､证明过程及文字说明.17．在中，角所对的边分别为已知.（1）求A的大小；（2）如果，求的面积.18．设等比数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.19．如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.20．新高考改革后广西省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门.(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.附：，，.21．已知椭圆：的右焦点为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的左顶点作直线与椭圆相交，另一交点为，点是的中点，点在直线上，且，求证：直线与直线的交点在某定曲线上．22．已知函数.(1)当时，求的图象在处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的取值范围.1．B【分析】解一元二次不等式化简，根据交集的概念可求出结果.【详解】由，得，则，所以.故选：B2．C【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.【详解】复数在复平面内对应的点为，则，所以.故选：C．3．C【分析】利用投影向量的求法即可.【详解】由题知，因为，，所以，所以，向量在向量上的投影向量为：.故选：C.4．A【分析】利用条件概率的概率公式求解即可.【详解】设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，依题意，，，，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为.故选：A5．D【分析】将转化为指数式，然后代入目标式，利用指数的运算性质计算即可.【详解】由得，即，故选：D.6．B【分析】只需从6个位置中选取2个位置放置阳爻，则问题得解.【详解】要满足题意，则只需从6个位置中选取2个位置放置阳爻即可，故满足题意的重卦有种.故选：B.7．C【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.故选：C8．B【分析】构造，求得导数，判断的单调性，结合的奇偶性，可得所求结论.【详解】设，则，可得在上递增，又为偶函数，则，，，，由，可得，即有.故选：B.思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.9．ACD【分析】令可求得可判断A；写出该二项展开式的通项可得可判断B；令，求得，进而求得可判断C；由二项展开式的通项分析可知，当为偶数时，，当为奇数时，，然后令可得出所求式子的值，可判断D．【详解】因为，令，得，故A正确；展开式的通项为，则，故B错误；令，得，故C正确；展开式的通项为，则，其中且，当为偶数时，；当为奇数时，，令，可得，故D正确.故选：ACD.10．AB【分析】根据题意，可得函数周期，从而可求得，由函数的平移变换可得函数的解析式，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】∵函数的零点构成一个公差为的等差数列，∴周期，∴，A正确；函数的图像沿x轴向右平移个单位，可得，，B正确；易判断为偶函数，C错误；因为，所以，所以，在区间上的值域为，D错误．故选：AB11．AC【分析】当时，不符合题意舍去；再分、求得渐近线的斜率，再根据离心率定义即可求解.【详解】当时，两渐近线的斜率为，此时直线与另一渐近线平行，不满足题意.当时，如图1所示，

.，又，解得，，，，即渐近线的斜率为，当时，如图2所示，设与轴交于点P，

，，又，解得，即渐近线的斜率为，综上，双曲线的离心率为或.故选：AC.12．ABC【分析】由题意可将图形补全为一个正方体，对于根据平面，当重合即可判定；对于根据平面而是圆弧上的动点，即可判定；对于，建立空间直角坐标系，根据平面的法向量和垂直即可判定结果；对于,当点与点重合时，直线与平面所成角最大，求出夹角正弦值，进一步分析即可.【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示：

对于因为正方体中，平面,平面，所以所以当重合时，由故正确；对于因为,若，则,又,则重合，而是圆弧上的动点，不可能重合，所以不成立，故正确；对于,以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，设则所以，设为平面的一个法向量，则令，得，则假设平面，则所以因为，所以即是圆弧的中点，符合题意，故正确；对于,当点与点重合时，直线与平面所成角最大，因为所以此时直线与平面的所成角的正弦值为，由，得直线与平面的所成角的最大角大于，所以存在点，使得直线与平面的所成角为，故错误.故选：13．2【分析】利用二项分布的期望公式即可求解．【详解】因为离散型随机变量满足：，所以随机变量的期望是．故2．14．【详解】根据给定条件，利用几何法求弦长列式求解作答.圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，依题意，，则，解得，所以实数的值是.故15．##【分析】根据轴截面图形，求出圆锥内切球半径R即可得解．【详解】依题意，圆锥内半径最大的球为圆锥内切球，如图作出轴截面，圆O和AC相切于点D，

因为是正三角形，所以，，，设内切球半径为R，在中可得，，所以，解得，球的体积为.故答案为.16．【分析】根据抛物线的定义和几何性质，可得，，可得，进而可得的最大值为.【详解】

如图，过点作，过作，设，，则由抛物线的定义知，，由题意知，因得，，因，当且仅当，即时等号成立，所以，，所以，故17．（1）；（2）【分析】（1）利用余弦定理的变形：即可求解.（2）利用正弦定理求出，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）。由余弦定理可得，又因为，所以.（2）由，，所以，在中，由正弦定理可得，所以，，所以的面积.本题考查了余弦定理、正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.18．(1)(2)【分析】（1）由等比数列的通项公式及前项和公式列方程组求得和公比后可得通项公式；（2）按奇数项与偶数项分组求和．【详解】（1）由题知，设等比数列的公比为，显然，则有由①÷②得，所以，代入①得，所以；（2）由（1）可得，所以.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）欲证明一条直线平行于一个平面，只需证明该直线平行于平面内的一条直线即可；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量计算线面角.【详解】（1）取的中点，连接，因为分别是棱的中点，则，，∴四边形为平行四边形，所以，∵平面，平面，平面；（2）在平面中过点作于，连接，∵平面平面，平面平面，∴平面，由菱形，，得，，因为点为的中点，∴，故以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：则，所以，，设平面的法向量为，则有，解得，令，得，设直线与平面所成角为，则，综上，直线与平面所成角的正弦值为.20．(1)种(2)①4093人；②不可信【分析】（1）结合分类加法原理根据排列组合列式计算即可；（2）①由正态分布的对称性求出成绩介于120分到300分之间概率即可估计人数；②根据正态分布的原则判断即可.【详解】（1）甲乙两个学生必选语文､数学､外语，若另一门相同的选择物理､历史中的一门，有种，在生物学､化学､思想政治､地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种；若另一门相同的选择生物学､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种，所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法；（2）①设此次网络测试的成绩记为，则，由题知，，，则，所以，所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人；②不可信.，则，5000名学生中成绩大于430分的约有人，这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本，所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，说法错误，此宣传语不可信.21．(1)(2)证明见解析【分析】(1)由条件列方程求，由此可得椭圆方程；(2)设直线的斜率为，由条件求出,，的坐标，再证明即可.【详解】（1）设椭圆的左焦点为，依题意得：所以，而所以根据椭圆的定义得：，即又因为所以

所以的方程为；（2）因为，所以三点不共线，所以设直线的斜率为，则直线的方程为，由得：又因为所以又因为所以直线的方程为：，由

得：所以，又因为点是的中点所以所以即所以所以所以故直线与的交点在以为直径的圆上，且该圆方程为．即直线与直线的交点在某定曲线上．本题解决的关键在于联立方程组，利用根与系数的关系求出的坐标.22．(1)(2)【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式求切线方程；（2）