2023-2024学年四川省绵阳市高三上册第一次诊断性考试数学（理）模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳市高三上册第一次诊断性考试数学（理）模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，集合，则集合中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知平面向量与的夹角为，且，则（

）A． B．-2 C．2 D．3．已知，则下列关系式正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若，则4．已知，则（

）A． B．2 C． D．5．已知函数的定义域为，“为偶函数”是“为偶函数”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．已知为第三象限角，若，则（

）A． B． C． D．7．已知等比数列的前项和为，且，则（

）A．3 B．5 C．30 D．458．已知函数（且），则其大致图象为（

）A． B．C． D．9．若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（

）A． B． C． D．10．命题：“若与满足：，则”．已知命题是真命题，则的值不可以是（

）A．1 B．2 C． D．11．从社会效益和经济效益出发，某企业追加投入资金进行新兴产业进一步优化建设．根据规划，本年度追加投入4000万元，以后每年追加投入将比上年减少，本年度企业在新兴产业上的收入估计为2000万元，由于该项建设对新兴产业的促进作用，预计今后的新兴产业收入每年会比上一年增加1000万元，则至少经过（

）年新兴产业的总收入才会超过追加的总投入．A．3 B．4 C．5 D．612．已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（

）A． B． C． D．二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为21，14，则输出的a=.14．已知点，若向量与的方向相反，则．15．已知函数，若关于的方程恰有2个不等实根，则整数的最小值是．16．已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则．三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22､23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列的公差为2，且成等比数列．(1)求数列的前项和；(2)若数列的首项，求数列的通项公式．18．已知函数的最小正周期为，且．(1)求函数的解析式；(2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值．19．函数．(1)若为奇函数，求实数的值；(2)已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点．20．在斜三角形中，内角所对的边分别为，已知．(1)证明：；(2)若的面积，求的最小值．21．已知函数．(1)当时，求的单调性；(2)若，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．(1)将的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线与曲线分别交于两点（异于极点），点，求的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若是的最小值，且正数满足，证明：．1．B【分析】根据给定条件，利用交集的意义求出即得.【详解】集合，，则，所以集合中元素的个数为3.故选：B2．C【分析】首先根据已知条件结合数量积的定义运算求出，然后再根据向量的运算法则进行求解即可.【详解】，解得.因此可得.故选：C3．A【分析】A选项，由的单调性得到；BD选项，由不等式的性质得到B错误，D正确；C选项，当时，由的单调性得到C错误.【详解】A选项，因为，故在上单调递增，因为，所以，A正确；B选项，因为，所以，因为，所以，B错误；C选项，若，则在R上单调递减，因为，所以，C错误；D选项，因为，所以，因为，则，故，D错误.故选：A4．D【分析】根据条件，然后化简可得【详解】，，，.故选：D.5．C【分析】令，求出的表达式，根据偶函数的定义，以及必要条件、充分条件的判定，即可得出答案.【详解】令显然不是偶函数，但是偶函数，所以，“为偶函数”不是“为偶函数”的充分条件；若为偶函数，则有，令，则，所以，为偶函数，即为偶函数，所以，“为偶函数”是“为偶函数”的必要条件.综上所述，“为偶函数”是“为偶函数”的必要不充分条件.故选：C.6．A【分析】先根据同角三角函数以及的范围得出的值，然后根据诱导公式以及两角和的正弦，即可得出答案.【详解】由已知可得，所以.又，所以，解得.又为第三象限角，所以，，.所以，.故选：A.7．D【分析】首先确定，再利用等比数列的前和公式代入即可求出答案.【详解】若公比，则，，右边，等式不成立，故，则，显然，所以，解得，又因为，代入得，所以，故选：D.8．C【分析】计算出时，，排除A；时，，排除D；，C正确.【详解】当时，，，故，排除A；当时，，，故，排除D，，，则，故，C正确，B错误.故选：C9．B【分析】设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得.【详解】设函数与函数的图象公共点坐标为，求导得，依题意，，于是，令函数，显然函数在上单调递增，且，则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意，所以.故选：B10．D【分析】根据已知可知三角形有唯一解，根据已知结合正弦定理，以及与2的大小关系、正弦函数的取值范围，求解即可得出答案.【详解】在中，由已知可得，.又，所以为锐角.由正弦定理可得，，所以，.要使命题是真命题，则有唯一满足条件的解.若，则，显然有唯一满足条件的解；若，则，满足；若，且，即，即，此时有两解满足条件，此时命题是假命题；当时，此时有，有唯一解，满足；当时，此时有，显然无解，不满足.综上所述，当或时，命题是真命题.故选：D.11．B【分析】根据等差数列、等比数列的知识列不等式，由此求得正确答案.【详解】设等比数列的首项，公比；设等差数列的首项，公差，依题意，整理得，当时，左边，右边，左边右边.当时，左边，右边，左边右边.当时，左边，右边，左边右边.当时，左边，右边，左边右边.当时，左边，当时，单调递增.而右边，所以当时，左边右边，所以经过年新兴产业的总收入超过追加的总投入．故选：B12．C【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.【详解】当时，因为此时的最小值为，所以，即.若，此时能取到最小值，即，代入可得，满足要求；若取不到最小值，则需满足，即，所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，故选：C13．7【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案.【详解】解：执行该程序框图，若输入的a，b分别为21，14，第一次执行循环体后，a=7，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，b=7，满足退出循环的条件，输出a值为7.故7.14．【分析】利用向量共线的条件、向量的模运算即可得解.【详解】解：由题意，点，则，∵向量与的方向相反，即与共线，∴，解得：或，当时，，，与的方向相同，故舍去；当时，，，与的方向相反，所以，∴，，∴.故答案为.15．9【分析】令，根据已知得出的对称性以及最小值，转化为，结合图象以及余弦函数的值域，即可得出答案.【详解】令，由已知可知关于直线对称，且在处取得最小值9.关于的方程恰有2个不等实根，等价于恰有2个不等实根.又因为，所以.显然应有，即.又为整数，若，则，显然满足题意.故9.16．【分析】由的对称性及得，再由为奇函数得，从而得，即是周期为8的周期函数，再利用周期可得答案.【详解】由为奇函数，得，即，由，得，又，于是，即，从而，即，因此，函数的周期为8的周期函数，显然，又，所以.故结论点睛：函数关于直线对称，则有；函数关于中心对称，则有；函数的周期为，则有.17．(1)(2)【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，即可进行基本量的计算求解；（2）对数列进行迭代相减，再累加计算，即可求得数列的通项公式.【详解】（1）因为成等比数列，所以，又等差数列的公差为，所以可解得，所以数列的前项和；（2）①，当时，，可得，可得②，由②式减①式，得，所以，且符合上式，所以.18．(1)(2)【分析】（1）根据正切型函数的周期和定点求，即可得函数解析式；（2）根据三角函数图像变换可得，结合，分析可得，运算求解即可.【详解】（1）因为，且，解得，又因为，则，解得，且，可得，所以.（2）由题意可知：，因为，由，即，可知，解得，且，所以的最小值为．19．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用奇函数的定义计算的值即可；（2）利用仅有两个零点确定的值，之后研究函数的单调性，进而研究函数零点个数.【详解】（1）解：因为为奇函数，所以可知的定义域为，且，即，即，所以，解得.（2）证明：①当时，，所以函数不可能有两个零点，此时不合题意；②当时，令，解得：或，又因，则要使得f（x）仅有两个零点，则，即，此方程无解，此时不合题意；③当时，即，令，解得或，符合题意，所以.令，则，令，解得：或，令解得：，故在，上递增，在上递减，又，故函数仅有一个零点．20．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用差角的余弦公式，结合正切函数单调性推理即得.（2）利用三角形面积公式，把表示为的函数，换元并结合二次函数最值求解即得.【详解】（1）由，得，整理得，又为斜三角形，即，于是，即，而，显然A，B都为锐角，所以.（2）由的面积，得，则，由，则，由（1）知，即，因此，令，函数，于是当时，取得最小值，且，所以的最小值为．21．(1)单调递减区间为，；单调递增区间为(2)【分析】（1）利用导数直接求单调区间即可；（2）先将不等式由分式化整式，再用指对互化构造同构，换元后再分参处理恒成立问题即可解决.【详解】（1）当时，，，令得：；令得：或，所以的单调递减区间为：，；单调递增区间为：．（2）因为在上恒成立，所以（*）在上恒成立，令，则，则在上递减，在上递增．所以的最小值为，即，则（*）式化为：，当时，显然成立．当时，恒成立，令，则，，当时，在上递增．所以即，可得，所以即可得，当时，,当时，,所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以实数a的取值范围为：．方法点睛：指对同式时的不等式问题，可用指对同构法来处理，即用指对互化来实现同构.22．(1)；(2)【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得的普通方程，利用得到的普通方程；（2）分别求得的极坐标方程，联立射线，从而得到，，进而利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）因为曲线的参数方程为（t为参数），则，，两式相减，得的普通方程为：；曲线