2023-2024学年宁夏石嘴山市高二上册期中考试数学试题（含解析）

2023-2024学年宁夏石嘴山市高二上册期中考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．点关于平面对称的点的坐标是（

）A． B．C． D．2．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．3．若直线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．4．圆和圆的位置关系是（

）A．相离 B．外切 C．内切 D．相交5．直线：被圆截得的弦长为（

）A． B． C． D．6．一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．7．已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．8．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为（

）A．0.5h B．1h C．1.5h D．2h二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．直线的方向向量可以是（

）A． B． C． D．10．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线的方向向量分别是，则B．直线的方向向量，平面的法向量是，则C．两个不同的平面的法向量分别是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则11．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（

）A．B．离心率C．面积的最大值为D．以线段为直径的圆与直线相切12．（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（

）A．平面PAC B．平面EFCC．点F到直线CD的距离为 D．点A到平面EFC的距离为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．经过点，且与直线平行的直线的方程是.14．若方程表示圆，则实数的取值范围是.15．已知，，若，，则的值是.16．已知椭圆C：的左、右顶点分别为,，且以线段,为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知圆与圆(1)求经过圆与圆交点的直线方程：(2)求圆与圆的公共弦长．18．已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，.(1)分别用，，来表示向量，；(2)若，，是两两垂直的单位向量，求向量与的数量积.19．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；(2)求△ABC的面积．20．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)求过点且与圆相切的直线方程．21．将沿它的中位线折起，使顶点到达点的位置，使得，得到如图所示的四棱锥，且，，为的中点．

(1)证明：平面．(2)求平面与平面夹角的余弦值．22．已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在实数k，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.1．A【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.【详解】由空间直角坐标系的性质可知，点关于平面对称的点的坐标是.故选：A2．B【分析】依据斜率计算倾斜角即可.【详解】直线的斜率为，则由，知，即故选:B．3．B【分析】根据两条直线垂直的条件可得.【详解】由题意可知，解得.故选：B.4．D【分析】根据方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径和差的关系判断圆的位置关系即可.【详解】由，则，半径，由，则，半径，所以，即两圆相交.故选：D5．B【分析】求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用弦长公式即可求解.【详解】由圆，得圆心，半径为，则，圆心到直线的距离为，故直线被圆截得的弦长为.故选：B6．C【分析】求出点关于轴对称点坐标，直线即为反射光线所在直线，由直线方程中令得纵截距．【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线为.因为，所以反射光线所在直线的方程为.令，得反射光线所在直线在轴上的截距为.故选：C．7．D【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.【详解】由圆，则其圆心，半径为，设动圆的圆心为，半径为，由圆在圆的内部与其相切，则，由圆过点，则，即，所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，，所以其轨迹方程为.故选：D.8．B【详解】以A为坐标原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，则直线被圆截得弦长为，所以B城市处于危险区内的时间为，选B.点睛：圆的弦长问题，处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：9．BD【分析】首先求直线的斜率，写出其中一个方向向量为，再求与其共线的向量，即可求解.【详解】由题意可知，直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，并且和向量平行的向量为，当时，向量为.故选：BD10．AC【分析】对于，由不重合两直线方向向量平行可判断直线相互平行；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.【详解】对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，则，所以，即，故正确；对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即或，故B错误；对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，则，所以，故C正确；对于D，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即，故D错误．故选：AC．11．AD【分析】根据椭圆方程求得，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，可得，所以焦点为,根据椭圆的定义，所以A正确；椭圆的离心率为，所以B错误；其中面积的最大值为，所以C错误；由原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.故选：AD12．AD【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的判定定理及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解.【详解】解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系，如图所示由题意可知，，，，，，，所以，，，.因为，所以，即，所以，即.又，所以平面PAC，故A正确；设平面EFC的法向量为，则，即，令，则，所以.因为，所以，故B不正确；设点F到直线CD的距离为h，，，则，即，所以点F到直线CD的距离为，故C不正确；设点A到平面EFC的距离为d，，则，所以点A到平面EFC的距离为，故D正确.故选：AD.13．【分析】设所求方程为：，再将点代入求解.【详解】解：设所求方程为：，因为所求直线经过点，所以，故所求直线方程为：，故14．【分析】根据计算即可.【详解】由题可知：所以故15．或1【分析】根据题意，由向量模的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】因为，，，，所以，解得：或，因此或.故或1.本题主要考查由空间向量的模与数量积求参数的问题，属于基础题型.16．【分析】根据直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，可得关于的方程，再利用离心率的计算公式可得.【详解】椭圆C：的左、右顶点分别为,,以线段,为直径的圆的圆心为，半径为，根据直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于半径，则有，即，可得，椭圆的离心率为.故17．(1)(2)【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共线所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.【详解】（1）圆的圆心为，半径为，圆即，圆心为，半径为，则，故圆与圆相交；将圆与圆的方程相减，得，即经过圆与圆交点的直线方程为；（2）圆的圆心为，半径为1，到直线的距离为，故圆与圆的公共弦长为.18．(1)，；(2)【分析】（1）利用空间向量的线性运算计算即可；（2）利用空间向量的数量积运算律计算即可.【详解】（1）由题意可知，；（2）由（1）可知，若，，是两两垂直的单位向量，则，所以.19．（1）x＋5y＋3＝0；（2）S△ABC＝3【详解】试题分析：求三角形一边的高所在的直线方程时，可利用点斜式求解，由于高线过三角形一个顶点，与对边垂直，借助垂直求出斜率，利用点斜式写出直线方程，已知三角形三个顶点的坐标求面积，最简单的方法是求出一边的长以及这边所在直线的方程，高线长利用点到直线的距离公式求出，从而求出面积.试题解析：(1)由斜率公式，得kBC＝5，所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋5y＋3＝0.(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝，BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，所以点A到直线BC的距离d＝，故S△ABC＝.已知三角形三个顶点的坐标求面积，最简单的方法是求出一边的长以及这边所在直线的方程，高线长利用点到直线的距离公式求出，从而求出面积,还可求出三边长借助海伦公式去求；求三角形一边的高所在的直线方程时，可利用点斜式求解，由于高线过三角形一个顶点，与对边垂直，借助垂直求出斜率，利用点斜式写出直线方程.20．(1)(2)和【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，圆心在线段的垂直平分线上，故联立两直线方程，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程；（2）设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到切线方程.【详解】（1）的中点为，，所以线段的垂直平分线方程为，由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解，解之得所以圆心的坐标是，圆的半径，所以圆的标准方程是．（2）由题意斜率不存在时不满足，所以设切线方程为即由已知得解得所以切线方程为和21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）只需证明，；（2）的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，用向量法求平面与平面的夹角.【详解】（1）证明：因为为的中位线，所以．因为，所以，，又，所以平面．（2）由（1）因为平面，平面，所以平面平面．取的中点，连接，因为，所以．又平面平面，所以平面，且．以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．所以，．设是平面的法向