国家开放大学高等代数专题研究形成性考核册

高等代数专题研究形成性考核册教育教学部编

高等代数专题研究作业题（一）一.填空题设，，若除以后余式等于，则，.当，时，.在有理数域上是否可约.多项式的有理根为.实数域上的不可约多项式的次数最高是次的.二.单项选择题1.若多项式与互素，则（）.A.，；B.；C.；D.存在，使得.2.设是有理数域上的多项式，是实数域，是复数域，则（）.A.若在上不可约，则在上不可约；B.若在上有重因式，则在上必有重根；C.若在上有重因式，则在上必有重根；D.若在上不可约，则在上可约.3.下列结论正确的是（）.A.多项式的不可约与系数域有绝对的关系；B.多项式的不可约与系数域时而有关系，时而无关系；C.多项式的不可约与系数域无关；D．多项式的不可约与多项式的次数有关.4.下列结论正确的是（）.A.可约一定有根；B.不可约一定无根；C.有根一定可约；D.无根未必不可约.5.整数集上的代数运算是（）.A.；B.；C.；D..三.计算题1.用除，求商及余式：，2.求，使，3.分别求多项式在实数域和复数域上的标准分解式.4.求多项式的有理根.5.已知多项式有一根，试求的所有根.四.证明题1.用数学归纳法证明二项式定理，其中表示个元素中取个元素的组合数.2.设有多项式，，，且.若，且，则.3.设，，且，证明：.4.已知，，为非负整数，求证.5.设是整系数多项式，证明：如果，都是奇数，则无整数根.

高等代数专题研究作业题（二）一.填空题1.两个同构的线性空间的维数是.2.线性空间的维数是.3.向量组线性相关，则.4.同一线性空间的两个基所含向量的个数.5.设与是的两个线性子空间.如果和+中的每个向量都能唯一地表示成，则称+为这两个线性子空间的.二.单项选择题1.设，都是线性空间的子空间，则下列集合不是的子空间的有().A.；B.；C.；D.2.全体正实数的集合对于下面定义的加法与标量乘法:，构成上的线性空间,则的零向量为（）.A.；B.；C.；D.3.以下哪个结论不是两个线性空间，的和为直和的等价命题（）.A.，；B.；C.；D.若是的一组基，是的一组基，则线性无关.4.把复数域看成实数域上的线性空间，它的维数是（）.A.0；B.1；C.2；D.无法确定.5.若向量组线性无关，向量组线性无关，则向量组().A.一定线性无关；B.不一定线性无关；C.一定线性相关；D.以上说法都不对.三.计算题1.在中，求基到的过渡矩阵，同时，求非零向量，使它在与下有相同的坐标.2.求由向量生成的子空间和由生成的子空间的交与和的基和维数.，3.设，，，，求子空间在中的一个补子空间.4.讨论中的矩阵组，，，的线性相关性.5.在中，求由齐次线性方程组确定的解空间的基及维数.证明题1.验证线性空间关于加法运算的消去律，即若++，则.2.若线性无关，则向量组也线性无关.3.证明：（其中）线性相关的充要条件是至少有一个（）可被线性表示.4.设，，都是线性空间的子空间，且，，.证明：.5.设，.证明：.

高等代数专题研究作业题（三）一.填空题1.设是数域上的一维线性空间，则上的所有线性变换为.2.是否存在上的线性变换，它将一组线性相关的向量组变成一组线性无关的向量组.3.复数域作为上的线性空间，定义变换，，则是否是线性变换.4.设，分别是线性空间上的线性变换在不同基下的矩阵，则矩阵与.5.与的特征多项式必.二.单项选择题1.如果线性空间的线性变换在的基下的作用为：那么在基下的矩阵为（）.A.；B.；C.；D..2.设是维线性空间，则上的线性变换全体组成的线性空间的维数为（）.A.；B.；C.；D.无穷大.3．设是维线性空间的线性变换，在基下的矩阵为，可对角化的充分必要条件是（）.A.有个不同的特征值；B.有个特征向量；C.存在阶可逆矩阵，使为对角矩阵；D.有个不同的特征值.4.设线性变换在基下的矩阵，则下列结论正确的是（）.A.若，可对角化；B.若，可对角化；C.若，可对角化；D.无法确定是否可对角化.5.线性变换可对角化的充分必要条件是（）.A.有个不同的特征值；B.有线性无关的特征向量；C.有个线性无关的特征向量；D.的属于不同特征值的特征向量线性无关.三.计算题1.判别下面所定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是.（1）在中，；（2）在中，，，是中固定的两个矩阵.2.设复数域上的线性空间的一组基为，，，定义线性变换为，求在基下的矩阵.3.设，判断矩阵是否可对角化，如果可对角化，则求一个可逆矩阵，使为对角矩阵.4.设是的一个基，已知线性变换作用在此基下为（1）求的核与象的维数与基；（2）分别将的核与象的基扩张成的一组基.5.设，，与相似.（1）求的值；（2）求一个正交矩阵，使.四.证明题1.在中定义：，，其中表示的导数，证明:（1），都是的线性变换；（2）（恒等变换）.2.设且，证明：（1）有直和分解，其中，；（2）若，，则.3.在维线性空间中，设有线性变换与向量，使得，但.证明：是线性空间的基.4.设为数域上维线性空间的线性变换，满足，证明可对角化.5.设是数域上维线性空间的一个线性变换，证明：若，，则，这里是与的一个最大公因式.

高等代数专题研究作业题（四）一.填空题1.对欧氏空间中的向量，有，而且等号成立当且仅当.2.第一类正交矩阵的行列式的值等于.3.双线性函数是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是矩阵.4.设是欧氏空间的对称变换，则在的标准正交基下的矩阵是矩阵.5.正交变换保持向量不变.二.单项选择题1.实对称矩阵的特征值都是（）.A.实数；B.零或纯虚数；C.非零实数；D.模为1的复数.2.是正定矩阵，则下列结论错误的是（）.A.；B.非退化；C.的元素全是正实数；D.的主对角线上的元素全为正.3.设是阶实矩阵，则是正交矩阵的充分必要条件为（）.A.的列向量组是的标准正交基；B.；C.；D.的列向量组两两正交.4.设是维欧氏空间的线性变换，在基下的矩阵为对称矩阵，则（）.A.为对称变换；B.为可逆变换；C.当为标准正交基时，为对称变换；D.为正交变换.5.线性空间上的双线性函数在基下的度量矩阵是，则是非退化的对称双线性函数的充要条件是（）.A.是正定矩阵；B.是对称矩阵；C.是对称的可逆矩阵；D.是对角矩阵.三.计算题1.求齐次线性方程组的解空间（作为的一个子空间）的一组标准正交基.2.设是4维欧氏空间，为的一组标准正交基，子空间，其中，，求.3.设，，，.求在基，，，下的度量矩阵.4.取何值时，下列实二次