勾股方程本原解的求法及其应用

勾股方程本原解的求法及其应用摘要继新课改后，勾股方程在初中就已经要求学习，且勾股方程作为数学上数论的一个重要分支，所以对勾股方程的研究有着重要的意义，我们在前人研究的基础上应该在更深层次的对其加深理解，就勾股方程的历史意义来看，它不仅在生活中发挥着重要的作用，在学习上也充当着不可替代的角色。目前这一知识点已经延伸到数学的许多领域，在每年的数学竞赛中以及中高考中都有它的身影出现，正是因为它频频出现的原故，导致了很多的问题出现，然而通过本文对勾股方程本原解的求法及其应用的研究讨论，为学生在今后学习中遇到的问题能得到解决提供一些参考，并且为在以后拓宽自己的知识视野、提高理论思维及学习勾股方程打下夯实的基础。关键词：勾股方程；本原解；求法；应用AbstractAfterthenewcurriculumreform,thehook-stockequationinjuniorhighSchoolhasaskedtolearn,asanimportantbranchofnumbertheoryinmathematics,thehook-stockequationisofgreatsignificancetothestudyofthehook-stockequation,andweshoulddeepenourunderstandingofitonthebasisofthepredecessors'study,inviewofthehistoricalsignificanceofthehook-stockequation,Itnotonlyplaysanimportantroleinlifebutalsoplaysanirreplaceableroleinlearning.Atpresent,thisknowledgepointhasbeenextendedtomanyfieldsofmathematics,intheannualmathcontestandinthecollegeentranceexaminationhasitsfigureappears,itisbecauseofitsfrequentoccurrenceoftheoriginalreason,ledtoalotofproblemsappear,however,throughthispaperontheequationoftheprimitivesolutionanditsapplicationoftheresearchanddiscussion,Itprovidessomereferencesforstudentstosolveproblemsinfuturelearning,andlaysasolidfoundationforbroadeningtheirknowledgehorizons,improvingtheoreticalthinkingandstudyingtheequationofstock.Keywords：hook-stockequation,primitivesolution;目录TOC\o"1-5"\h\z\u1引言 12勾股定理及勾股方程 12.1勾股定理的发展起源 12.2勾股方程本原解 42.2.1勾股方程本原解的定义及性质 42.2.2勾股方程本原解的解法 43勾股方程本原解的应用 63.1在解题上的技巧与应用 63.2在中学数学竞赛中的应用 64总结 7参考文献 8致谢 101引言数论，它一直是数学上的一个重要领域，它有着悠久的历史，从最初的结绳计数、筹码计数和算盘计数发展到现在的代数，无不体现了它的历史性。而对代数数论的研究这一工作，一直推动着数学史的发展，由于它自身的魅力，吸引了许许多多伟大的数学家，且他们那些辉煌的研究成果对现在来说有着重要的意义。勾股方程是代数当中的一重要知识点，提到勾股方程这一知识点，自然对勾股定理这一概念并不陌生，然而勾股定理在很久以前就被前人发现并进行了推广，它是一个伟大的定理，所谓勾股定理，即在一直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。由此而得勾股方程a2+b2=c2，这是我们在初中就已经得到的一个结论，当时并未去深入进行研究，但是这么多年以来，许许多多的数学家已对此方程进行了证明以及推广，就目前来讲，就已经有数百种证明方法。近年，并有多篇文章对勾股方程的历史意义及求解方法进行了讨论。继新课改后，勾股方程在初中就已经要求学习，且勾股方程作为数学上数论的一个重要分支，所以对勾股方程的研究有着重要的意义，我们在前人研究的基础上应该在更深层次的对其加深理解，就勾股方程的历史意义来看，它不仅在生活中发挥着重要的作用，在学习上也充当着不可替代的角色。目前这一知识点已经延伸到数学的许多领域，在每年的数学竞赛中以及中高考中都有它的身影出现，正是因为它频频出现的原故，导致了很多的问题出现，然而通过本文对勾股方程本原解的求法及其应用的研究讨论，为学生在今后学习中遇到的问题能得到解决提供一些参考，并且为在以后拓宽自己的知识视野、提高理论思维及学习勾股方程打下夯实的基础。2勾股定理及勾股方程2.1勾股定理的发展起源勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。中国：公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。外国：远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个证明。1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，即成玄实。或矩于内，或方于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实，开其余即股。倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘，如法为股。股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。而勾实方其里，减矩股之实于玄实，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾，两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”用现代的数学语言描述就是黄实的面积等于大正方形的面积减去四个朱实的面积。勾股数组勾股数组是满足勾股定理

的正整数组

，其中的

称为勾股数。例如

就是一组勾股数组。任意一组勾股数

可以表示为如下形式：

，

，

，其中

均为正整数，且

。定理用途已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。2.2勾股方程本原解2.2.1勾股方程本原解的定义及性质在研究费尔马大定理之前，首先要对勾股定理的数论方面进行充分的讨论，看一看有什么经验能够吸取．虽然这两个定理的结果完全不一样：x2+y2=z2有无穷多组解，而xn+yn=zn(3.5)没有非平凡解(关于平凡解，下面就要讲到)．但是，它们却有许多共同的东西，例如：(1)它们都是三个变元的齐次不定方程．(2)由于齐次性，如果(a，b，c)是一组解，那么(ma，mb，mc)也是一组解，这里m是任何一个整数(正数、负数或零)．因此，求解时，我们感兴趣的是(a，b，c)=1的解，这样的解我们称为本原解．(3)无论是本原解还是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但没有意思的解，这就是a，b，c中一个或三个是零的解，这样方程(3.5)就成为on+yn=znxn+on=zn,或者xn+yn=on，这样满足y=z，x=z的任何整数都是原方程的解，对于n为偶数的情况，有(0，－a，a)及(a，0，－a)，其中a为任何整数．这种有零的解，我们称之为平凡解，因此我们以后讨论解时，都是考虑非平凡解，即xyz≠0的解．为了确定起见，我们不妨只考虑x＞0，y＞0，z＞0的本原解．2.2.2勾股方程本原解的解法(1)它们都是三个变元的齐次不定方程．(2)由于齐次性，如果(a，b，c)是一组解，那么(ma，mb，mc)也是一组解，这里m是任何一个整数(正数、负数或零)．因此，求解时，我们感兴趣的是(a，b，c)=1的解，这样的解我们称为本原解．(3)无论是本原解还是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但没有意思的解，这就是a，b，c中一个或三个是零的解，这样方程(3.5)就成为on+yn=znxn+on=zn,或者xn+yn=on，这样满足y=z，x=z的任何整数都是原方程的解，对于n为偶数的情况，有(0，－a，a)及(a，0，－a)，其中a为任何整数．这种有零的解，我们称之为平凡解，因此我们以后讨论解时，都是考虑非平凡解，即xyz≠0的解．为了确定起见，我们不妨只考虑x＞0，y＞0，z＞0的本原解．(4)对于齐次方程，求整数解与求有理数解的方法并没有本质的不同．实际上，对任何一组有理数（a，b，c），则也是一组有理数，其中m和k是任意整数但k≠0．因此若不定方程xn+yn=zn存在整数解，也就存在有理数解；反之，存在有理数解，也就存在整数解．实际上，所有齐次不定方程都有这种特性．而非齐次方程，求整数解与求有理数解的差别就非常大，一般需要分别加以处理．(5)为了使用几何方法，我们可以把三个变元的齐次方程变为两个变元的非齐次方程，这只要用方程(3.5)中的zn(假定z≠0)除方程的每一项即可：我们还可以用(x′)n+(y′)n=1(3.6)表示，这个非齐次方程的有理数解正好对应原齐次方程的整数解，这样求解方程(3．5)的数论问题就可以变成方程(3．6)的几何问题．我们不妨把方程(3.6)仍写为x，y的方程xn+yn=1(3.7)它代表一条平面代数曲线．这样，求不定方程(3．5)的整数解问题也就成为求这条曲线上的有理点问题，所谓有理点，就是x，y坐标均为有理数的点．现在，我们研究勾股方程的整数解的完全组，看看对费尔马大定理的证明有没有启发．首先，我们叙述一下勾股方程的基本定理：满足不定方程x2+y2=z2的本原整数解，都可以表示为x=a2－b2,y=2ab,z=a2+b2其中a，b是任意满足下述条件的整数．反之，满足上述条件的x，y，z都是勾股方程的一组本原解．由于我们感兴趣的是非平凡的本原解，不失一般性，可以证明其条件为a＞b，(a,b)=1且a与b奇偶性不同，另外，x，y的位置可以互换，即x=2ab，y=a2－b2，z=a2+b2也是一组解．3勾股方程本原解的应用3.1在解题上的技巧与应用勾股定理解题规律方法指导：1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a^2+b^2＝c^2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。3.2在中学数学竞赛中的应用勾股方程x+y=z222这是一个相当特殊的三元二次不定方程，它有鲜明的几何意义，并应用广泛.22这里只讨论勾股方程的正整数解，由方程不难看出，如果（x,y）=d，则d|z，从而d|z，这样可在勾股方程的两边约去d2.所以我们只需讨论满足（x,y）=1的解，此时易知x,y,z实际上两两互素.这种x,y,z两两互素的正整数解（x,y,z）称为方程的本原解，也称为本原的勾股数.将方程模4，并注意（x,y）=1，可知x,y一奇一偶，无妨设y为偶数，下面的结果给出了勾股方程的全部本原解.定理三：方程x2+y2=z2满足（x,y）=1，z|y的全部正整数解（x,y,z）可表为x=a2?b2，y=2ab,z=a2+b2，其中，a,b是满足a>b>0，a,b一奇一偶，且（a,b）=1的任意整数.证明从略.4．不定方程xy=zt这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：则其中（c,d）=1，acy=adt,即cy=dt,因（c,d）=1，故设（x,z）=a，x=ac,z=ad，所以d|y,设y=bt,则t=bc.因此方程xy=zt的正整数解可表示为x=ac,y=bd,z=ad,t=bc.a,b,c,d都是正整数，且（c,d）=1.反过来，易知上述给出的x,y,z,t都是解.也可采用如下便于记忆的推导：设xtccxc==，这里是既约分数。x=ac,z=ad，同理t=cb,y=ab.Ⅱ.不定方程一般的求解方法1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4总结1．勾股定理的证明是论证几何的发端；2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；3．勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；4．勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；5．勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值．这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用．1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。参考文献[1]王国炳.商高不定方程的解与勾股数[J].宜宾师专学报，1997，（02）：18-20.[2]何金敏，王庆平.关于勾股丢番图方程x~2+（x+k）~2=z~2[J].齐齐哈尔轻工学院学报，1997，（02）：34-41.[3]苏岐芳.关于勾股丢番图方程的解[J].台州学院学报，2002，（06）：10-13.[4]戎士奎，刘沪涛.谈已知一边的勾股方程的整数解[J].贵州教育学院学报（自然科学），2002，（04）：9-12.[5]戎军，戎士奎.第二类广勾股方程的解[J].贵州教育学院学报（自然科学），2004，（02）：6-10.[6]简斯•休儒