重难点10全等三角形中“雨伞”模型（解析版）

重难点10全等三角形中“雨伞”模型【知识梳理】【考点剖析】一．选择题（共2小题）1．（2022秋•东港区校级期末）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2【解答】解：延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，∴△ABP≌△BEP，∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝5cm2，故选：B．2．（2022秋•常州期中）如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．9cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．5cm2【解答】解：延长AP交BC于点D，∵BP平分∠ABD，∴∠ABP＝∠DBP，∵BP⊥AP，∴∠BPA＝∠BPD＝90°，∵BP＝BP，∴△BAP≌△BDP（ASA），∴AP＝PD，∴△ABP的面积＝△BDP的面积，△APC的面积＝△DPC的面积，∵△ABC的面积为12cm2，∴△PBC的面积＝△BPD的面积+△DCP的面积＝△ABC的面积＝×12＝6（cm2），故选：C．二．填空题（共1小题）3．（2022秋•邗江区校级月考）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为cm2．【解答】解：延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，∴△ABP≌△BEP，∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，故答案为：4．三．解答题4．（2021秋•荔城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点P在△ABC内连接PB和PC，BP＝AB．（1）若∠BAC＝50°，且∠PBC＝∠ACP，求∠BPC的度数．（2）取BC的中点D，连接AD交CP延长线于点M，当∠ABP＝2∠ACP时，试判断∠BAC与∠ABP之间的关系，画出图形并说明理由．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠PBC＝∠ACP，又∵∠APB＝∠ABC﹣∠PBC，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACP，∴∠APB＝∠PCB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠PBC+∠APB）＝180°﹣∠ABC＝180°﹣65°＝115°；（2）∠BAC+∠ABP＝120°，理由：过点A作底边BC的中线AD，连接BM，画图如下，∵AB＝AC，∴AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，∴BM＝CM，∵点M在底边BC的中线上，∴点M在∠BAC的平分线AD上，即AM平分∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝β，在△ABM和△ACM中，，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴∠ACM＝∠ABM＝α，∵∠ABP＝2∠ACP＝2∠ACM＝2α，∠ABP＝∠ABM+∠PBM＝α+∠PBM＝2α，∴∠ABM＝∠PBM＝α，在△ABM和△PBM中，，∴△ABM≌△PBM（SAS），∴∠AMB＝∠PMB，在△ABM中，∠BMA＝α+β，在△ACM中，∠CMD＝α+β，由∠AMB＝∠PMB得：180°﹣α﹣β＝2（α+β），∴α+β＝60°，则∠BAC+∠ABP＝2α+2β＝120°．5．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：CE＝BD．【解答】证明：如图，延长CE，BA交于点F．∵CE⊥BD，∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°．又∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ABD＝∠ACF．在△ABD与△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）．∴BD＝CF．∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE．在△BCE与△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA）．∴CE＝FE，即CE＝CF．∴CE＝BD．6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．7．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，且满足，且是常数，直线平分，交x轴于点D．（1）若的中点为M，连接交于点N，求证：；（2）如图2，过点A作，垂足为E，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想．【详解】（1），，，，直线平分，，为的中点，，，，，，，，．（2），证明：如图，延长交轴于点，直线平分，，，，又，（ASA），，，，即，，又，（ASA），，即．8．（2023春·江西抚州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF是平行四边形（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论

【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G∵AECE∴在和∴∴GE=EC∵BD=CD∴DE为的中位线∴DEAB∵DE=BF∴四边形BDEF是平行四边形（2）理由如下：∵四边形BDEF是平行四边形∴BF=DE∵D，E分别是BC，GC的中点∴BF=DE=BG∵∴AG=ACBF=（AB-AG）=（AB-AC）．9．（2022秋·八年级课时练习）已知，如图中，，，的平分线交于点，，求证：.【详解】证明：如图，延长交的延长线于，平分10．（2021春·八年级课时练习）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD的大小为_________；（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．【详解】解：（1）解（1）∵，，∴，∵，，∴为等边三角形，∴．又∵，∴为等腰三角形，∴，∴．（2）方法1：如图作等边，连接、．，．，，．，．．①，，．②，③由①②③，得，，．，，．，，．．．④，，．⑤，⑥由④⑤⑥，得．．．．．方法2如下图所示，构造等边三角形ADE，连接CE．∵在等腰三角形ACD中，，∴，∵，∴．可证．结合角度，可得，．在和中，，∴，∴．∵，∴．方法3如下图所示，平移CD至AE，连接ED，EB，则四边形ACDE是平行四边形．∵，∴四边形ACDE是菱形，∴，．∴，∴，∴是等边三角形，是等腰三角形，∴，，∴．∴．（3）由（1）知道，若，时，则；①由（1）可知，设时可得，，，．②由（2）可知，翻折到△，则此时，，，③以为圆心为半径画圆弧交的延长线于点，连接，，．综上所述，为或或时，．11．（江苏省无锡市宜兴市实验中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题）【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；【灵活运用】（2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；（2）证明：在AC上截取CM=CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM是等边三角形，∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC，∴∠ADM=∠EDC，∵直线a∥AB，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD，在△ADM和△EDC中，∴△ADM≌△EDC(ASA)，∴AM=EC，∴CA=CM+AM=CD+CE；即CD+CE=CA.（3）∠EAF=；证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，∵∠AB