第07课 二次函数及确定其表达式（解析版）

更多资料添加微信号：DEM2008更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：第07课二次函数及确定其表达式2.1、2.3课后培优练课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A．y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+【答案】C【分析】根据二次函数的定义求解即可．【解析】解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B、y=ax2+bx+c，当时，不是二次函数，不符合题意；C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；D、y=x2+中不是整式，故y=x2+不是二次函数，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．2．下列函数关系中，是二次函数的为（

）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系．B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径之间的关系【答案】D【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．【解析】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；B、关系式为：，是反比例函数，不符合题意；C、关系式为：，是正比例函数，不符合题意；D、关系式为：，是二次函数，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．3．在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（）A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2【答案】C【分析】根据二次函数的相关定义进行辨别即可．【解析】解：∵y＝﹣x2+5x﹣2，∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的相关定义，理解二次函数的定义是解题的关键．4．已知函数是二次函数，则m的值为（）A．±2 B．2 C．-2 D．m为全体实数【答案】C【分析】根据二次函数定义列式求解即可．【解析】解：∵函数是二次函数∴m-2≠0，，解得：m=-2．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．5．函数

(a，b，c为常数)是二次函数的条件是（

）．A．或 B． C．且 D．【答案】B【分析】结合二次函数的定义判断，即可得到答案．【解析】由二次函数定义可知，自变量x和应变量y满足

(a，b，c为常数，且)的函数叫做二次函数；故选：B．【点睛】本题考察了二次函数的知识，求解的关键是准确掌握二次函数的定义，从而得到答案．6．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（）A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定【答案】C【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1即可得出a的值．【解析】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1的图象经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a的值为﹣1．故选：C【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0．7．抛物线经过点，，，则当时，y的值为（

）．A．6 B．1 C．-1 D．-6【答案】D【分析】把点，，代入二次函数解析式进行求解，然后问题可求解．【解析】解：由题意可得：，解得：，∴抛物线解析式为，当时，则；故选D．【点睛】本题主要考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．8．已知抛物线经过和两点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将分别代入抛物线中，转化为解关于n、b的二元一次方程组，由代入消元法解题即可．【解析】将代入中得，把①代入②，解得，把代入①得故选：C．【点睛】本题考查抛物线解析式的求法，其中涉及二元一次方程组的解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（

）A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1【答案】A【分析】将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式．【解析】解：根据题意得，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．故选：A．【点睛】本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数．10．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（

）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对【答案】D【分析】根据二次函数的定义和一次函数的定义判断即可．【解析】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数，一次函数的一次项系数．二、填空题11．已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．（1）当m_______时，该函数为二次函数；（2）当m_______时，该函数为一次函数．【答案】

≠2

=2【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围；（2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值；【解析】解：（1）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为二次函数，∴m﹣2≠0，∴m≠2．（2）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为一次函数，∴m﹣2=0，m≠0，∴m=2．故答案为：（1）≠2；（2）=2【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一次函数的定义，利用函数的定义建立方程或不等式是解本题的关键．12．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．【答案】②④##④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【解析】解：①y=5x-5为一次函数；②y=3x2-1为二次函数；③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；④y=2x2-2x+1为二次函数；⑤y=函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0”是解题关键．13．半径是2的圆，如果半径增加x时，增加的面积s与x之间的关系表达式为__________．【答案】【分析】根据增加的面积=增加后的面积-原来的面积建立等式就可以得出结论．【解析】解：由题意，得S=π（2+x）2-4π，S=πx2+4πx．故答案为：S=πx2+4πx．【点睛】本题考查了圆的面积公式的运用，根据圆的面积公式求二次函数的解析式的运用，灵活运用圆的面积公式是解题的关键．14．像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的_____次式表示的．一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______，叫做________；b为_______，bx叫做________；c为_______．【答案】

二

二次

自变量

二次项系数

二次项

一次项系数

一次项

常数项【解析】略15．已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为_____．【答案】-1【分析】若y＝+2x﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；【解析】解：由题意得：，解得：m=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．16．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式______________________________；②顶点式______________________________；③双根式______________________________．【答案】

【分析】根据二次函数的三种形式：一般式，形如；顶点式，形如；双根式，形如，进行求解即可．【解析】解：二次函数的一般式是形如的形式；二次函数的顶点式是形如；若、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标，则二次函数解析式可以设为形如的形式，这叫做双根式，故答案为：，，．【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的三种形式，解题的关键在于能够熟练掌握三种形式的定义．17．已知点在函数的图象上，则a等于______．【答案】1【分析】将点A（2，3）代入函数即可求出a的值．【解析】解：将点A（2，3）代入函数中，得4a-2+1=3，解得a=1，故答案为：1．【点睛】此题考查了二次函数的性质，正确理解函数图象上点的坐标符合解析式是解题的关键．18．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x⋯01234⋯y⋯30-103⋯则抛物线的解析式是______________．【答案】【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【解析】根据题意，得：将代入到，得：∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．三、解答题19．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？【答案】（1）；（2）【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可；（2）把（1）中的除以5即可得到．【解析】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题．20．一个二次函数．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？【答案】（1）k=2；（2）14【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可；（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可．【解析】解：（1）依题意有，解得：k=2，∴k的值为2；（2）把k=2代入函数解析式中得：，当x=3时，y=14，∴y的值为14．【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．21．已知函数．（1）若这个函数是一次函数，求的值（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题；【解析】解：（1）由题意得，解得；（2）由题意得，，解得且．【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．22．求分别满足下列条件的二次函数解析式：(1)二次函数图像经过三点．(2)二次函数图像的顶点坐标是，并经过点．【答案】(1)(2)【分析】（1）设二次函数的解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解；（2）设二次函数的解析式为，将点代入求得的值即可求解．（1）解：设二次函数的解析式为，将代入得，，解得，二次函数的解析式为；（2）设二次函数的解析式为，将点代入得，，解得，二次函数的解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数解析式的方法是解题的关键．23．二次函数中的满足下表：x⋯-10123⋯⋯0-3-4-3m⋯(1)求这个二次函数的解析式．(2)求的值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可求解．（2）根据二次函数的对称性即可求解．（1）解：根据表格可知对称轴为直线，且时，即顶点为，设解析式为，当时，，即，解得，∴这个二次函数的解析式为：，即（2）解：∵对称轴为直线，∴当与时的函数值相等，∴【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．下列结论正确的是（

）A．y=ax2是二次函数 B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数的取值范围是非零实数【答案】B【分析】根据二次函数的定义和自变量的取值范围，逐一判断解答问题．【解析】解：A、应强调a是常数，a≠0，错误；B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．故选B．【点睛】本题考查二次函数的定义和自变量的取值范围,解题关键是熟练掌握定义．2．二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中(

)A．(－1，1) B．(1，－1) C．(－1，－1) D．(1，1)【答案】D【分析】将p+q=0代入二次函数，变形得y=x2+p（x-1），若图象一定过某点，则与p无关，令p的系数为0即可．【解析】∵p+q=0，∴y=x2+px+q=x2+px-p=x2+p(x-1)，∵图象必经某点，∴图像与p的值无关，∴x-1=0，即x=1，当x=1时，y=1，∴它的图象必经过（1，1）故选D.【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把p当做变量，令其系数为0进行求解．3．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（

）A．5 B．7 C．12 D．﹣7【答案】B【分析】先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b,c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可【解析】∵二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，∴，解得：，将b＝4，c＝5代入方程﹣+bx+c+d＝0，得：﹣+4x+5+d＝0，又∵关于x的方程﹣+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，∴把x＝6代入方程﹣+4x+5+d＝0，得：﹣36+4×6+5+d＝0，解得：d＝7，经验证d＝7时，△＞0，符合题意，∴d＝7．故选：B．【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一元二次方程根的定义，根的判别式，熟练掌握待定系数法和一元二次方程根的定义是解题的关键．4．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．-11 B．-2 C．1 D．-5【答案】D【分析】由已知可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．【解析】解：由已知中的数据，可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，故函数的顶点坐标为（0，1），y=ax2+1，当x=±1时，y=a+1=-2，故a=-3，故y=-3x2+1，当x=±2时，y=4a+1=-11，故错误的数值为-5，故选D．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．5．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（）A．正比例函数 B．一次函数C．二次函数 D．以上均不正确【答案】C【分析】设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案．【解析】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，则y＝k1x﹣k2x2，所以y是关于x的二次函数，故选：C．【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．6．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（）A．125个 B．100个 C．48个 D．10个【答案】B【分析】根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案【解析】由题意，∴a有四种选法：1、2、3、4，∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，∴共有=100种，故选：B【点睛】此题考查二次函数的定义，有理数的乘法运算，根据题意得到a、b、c的选法是解题的关键．二、填空题7．已知二次函数，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y=_____．【答案】8【分析】先根据x=-1时y=2求出a的值，得到原函数，再令x=2，求出y．【解析】解：当x=-1，y=2时，，，∴，当x=2时，．故答案是：8．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握自变量和因变量之间的函数关系．8．点是二次函数图像上一点，则的值为__________【答案】6【分析】把点代入即可求得值，将变形，代入即可．【解析】解：∵点是二次函数图像上，∴则．∴故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．9．一个二次函数，当自变量时，函数值，且过点和点，则这个二次函数的解析式为________________．【答案】【分析】利用待定系数法求解函数解析式．【解析】解：依题意，设函数解析式为∵当自变量时，函数值∴，解得∴函数的解析式为故答案为：．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法的解题步骤准确计算是解题关键．10．抛物线过两点，与y轴的交点为，则抛物线的解析式__________．【答案】【分析】根据题意，设抛物线的交点式为，代入（0，4）即可求得a．【解析】解：根据题意，设抛物线的解析式为，将代入得，，解得，所以抛物线的解析式为；故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握抛物线的交点式是解题的关键．11．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．【答案】【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．【解析】解：由题意得解得∴函数的本源函数是．故答案为：．【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．三、解答题12．（1）已知二次函数的图象经过与两点，求这个二次函数的表达式；（2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数表达式的题目，使所求得的二次函数与第（1）题相同．【答案】（1）；（2）答案不唯一，如可以给出坐标（0，1）与（1，3）；【分析】（1）把（1，1）与（2，3）分别代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c的值即可；（2）利用（1）中的解析式计算自变量为0和1时的函数值，确定二次函数的两点，然后以过这两点设计一个新题目即可得到要求．【解析】解：（1）把（1，1）与（2，3）分别代入y=x2+bx+c得，解得；所以二次函数的解析式为；（2）改为：二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）与（1，3）两点，求这个二次函数的表达式．把（0，1）与（1，3）分别代入y=x2+bx+c得，解得所以二次函数的解析式为．【点睛】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求．13．已知y＝y1+y2，其中y1与x﹣3成正比例，y2与x2+1成正比例，且当x＝0时，y＝﹣4，当x＝﹣1时，y＝﹣6．（1）求y与x的函数关系式；（2）判断点A（1，﹣4）是否在此函数图象上，并说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x﹣4；（2）在，见解析【分析】（1）根据题意设出关系式，利用待定系数法求出即可；（2）把A的坐标代入检验即可．【解析】解：（1）设y1＝k1（x﹣3），y2＝k（x2+1），∵y＝y1+y2，∴y＝k1（x﹣3）+k（x2+1），把x＝0，y＝﹣4；x＝﹣1，y＝﹣6分别代入y＝k1（x﹣3）+k（x2+1），得：，解得：，则y＝x﹣3﹣（x2+1）＝﹣x2+x﹣4；（2）点A（1，﹣4）在此函数图象上，理由如下：把x＝1代入y＝﹣x2+x﹣4，得：y＝﹣1+1﹣4＝﹣4，∴A（1，﹣4）在此函数图象上．【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2019·黑龙江·一模）函数是二次函数的条件是（

）A．a≠0 B．a≠一3 C．a≠3且a≠0 D．a≠3【答案】D【分析】根据二次函数解析式中二次项系数不为0，可得≠0，解此方程即可.【解析】由二次函数的定义可知要使是二次函数，则≠0，即≠3.故选D.【点睛】考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数称为二次函数；2．（2022·北京朝阳·二模）用绳子围成周长为10m的正x边形，记正x边形的边长为ym，内角和为．当x在一定范围内变化时，y和S都随着x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（

）A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系C．反比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系【答案】D【分析】根据多边形的内角和与边数之间的关系，边长与周长之间的关系分别列出函数关系式，并根据函数关系式的类型选择正确的答案即可．【解析】解：边长与周长的关系为：，故函数关系为：反比例函数，多边形的边长每增加1，内角和增加180°，故其中的函数关系为：，化简后为：，故函数关系为：一次函数关系，故选：D．【点睛】本题考查了函数关系的判断，多边形的内角和，多边形的边长与周长的关系，能够根据题意列出函数关系式并判断是解决本题的关键．3．（2019·福建泉州·中考模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：x…﹣123…y…004…则可求得（4a﹣2b+c）的值是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【答案】C【分析】将表中的三组x，y值代入表达式即可求得a，b，c的值，进而求解；【解析】解：将x＝﹣1，y＝0；x＝2，y＝0；x＝3，y＝4代入y＝ax2+bx+c，得到，∴，∴（4a﹣2b+c）＝4；故选C．【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，代数式求值；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．4．（2021·山东·一模）根据下图所示程序计算函数值，若输入的x的值为