函数基础知识梳理高三数学一轮复习

函数基础知识梳理一、函数的概念与表示【知识清单】1．函数的概念：设A，B是两个，如果对于集合A中的一个数x，按照某种确定的对应关系f，使，在集合B中都有的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x)，x∈A.在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的.特别地,如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有、图象法和.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【必备知识】1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为.(6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为．(7)y＝tanx的定义域为.2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为.(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是.补充(1)一次分式函数的值域；(2)函数的值域为；(3)函数的值域为；(4)函数的值域为；函数的值域为.二、函数的基本性质【知识清单】1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是的自左向右看图象是的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．★函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”。注意：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值3．奇偶性的定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。★4.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数；周期函数的定义域是无界的。【必备知识】1．对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的增区间为；减区间为，且对勾函数为奇函数．2．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调；②eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调．4.一般规律：（1）若f(x),g(x)均为增（减）函数，则f(x)+g(x)仍为增（减）函数；（2）若f(x)为增函数，则－f(x)为函数；（3）复合函数的单调性：同增异减。5．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=f(|x|)．(3)y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象(4)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有的单调性．(5)若干个奇偶性相同的函数相加减，其奇偶性不变。若干个奇偶函数相乘除，当奇函数个数为奇数是结果为奇函数，当奇函数个数为偶数是结果为偶函数．（类似“负负得正”）【知识拓展】1.函数周期性常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x,设a>0,(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝．(2)若f(x＋a)＝,则T＝．(3)若f(x＋a)＝－,则T＝．(4)若f(x＋a)＝,则T＝．(5)若f(x＋a)＝,则T＝．(6)若,则T＝．2.对称性的一般结论(1)函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)⇔函数y＝f(x)图像关于对称函数f(x)满足的关系f(x)＝f(b＋a－x)⇔函数y＝f(x)图像关于x＝eq\f(a＋b,2)对称．特例：函数y＝f(x)图像关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数y＝f(x)图像关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．(2)函数y＝f(x)图像关于点(a，b)对称⇔函数f(x)满足的关系.⇔函数f(x)满足的关系.特例：函数y＝f(x)图像关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数y＝f(x)图像关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数图像y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数图像y＝f(x)关于(a,0)对称．3．函数对称性与函数周期性的关系(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且它的一个周期是.(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且它的一个周期是.(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且它的一个周期是.4.函数是一个奇特的函数，该函数是偶函数，是周期函数，但没有最小正周期，也无法作出其图象.5．函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性T=，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，对称轴为，函数f(x)满足，则的图象以为对称中心。三、指数函数与对数函数【知识清单】1．根式（1）根式的定义:一般地，如果，那么叫做，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。(2)根式的性质:①当是奇数，则；当是偶数，则.②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：⑴⑵⑶.3．对数(1)对数的概念:如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①零与负数没有对数②③④alogaN＝；⑤logaab＝b(a>0，且a≠1).(3)如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝；②logaeq\f(M,N)＝；③logaMn＝(n∈R)；(4)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).推论：；。4.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象及性质名称指数函数对数函数一般形式y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0,a≠1)定义域值域过定点图象指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)图象关于y=x对称单调性值分布y>1?y<1?y>0?y<0?5.幂函数的图象及性质①定义：一般地，形如的函数称为幂函数.②熟记下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．(在同一坐标系中画出)③幂函数的的性质及图象变化规律：（Ⅰ）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（Ⅱ）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．时，幂函数的图象在区间上是减函数．6.二次函数(略)四、函数与方程【知识清单】1．函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把叫做函数y=f(x)的零点.零点的等价性：函数y=f(x)有零点.2．零点存在性判断法则：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是的一条曲线，并且有,那么，函数y=f(x)在区间内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.3.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根分布问题，记f(x)=ax2+bx+c(a>0)。（1）两个正根（2）两个负根（3）一个正根一个负根（4）两个根都大于k（5）两个根都小于k（6）一个根大于k一个根小于k（7）两实根都在区间(m,n)内（8）两根分别在区间(m,n)和(p,q)(n<p)内（9）两实根中有且只有一个在区间(m,n)内4．二分法的定义：对于在区间[a,b]上且的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．5．给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，验证，给定精度ε；(2)；(3)计算：若，则c就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；(4)判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．6.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax7.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.8.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换ⅰ，———左“+”右“”；ⅱ———上“+”下“”；(2)对称变换ⅰ；ⅱ；ⅲ；ⅳ；(3)伸缩变换ⅰ，（———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；ⅱ，（———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；(4)翻折变换ⅰ———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；ⅱ———上不动，下向上翻（||在下面