2021中考数学考点归类复习-七十三：勾股定理

2021中考数学考点归类复习——专题七十三：勾股定理

1.有一块空白地，如图，乙MO=90°,CD=6m,AD=8m,AB=26m,BC=24m,试求这块空白地的面积.

2.如图，曲柄连杆装置是很多机械上不可缺少的，曲柄以绕0点圆周运动，连杆"拉动活塞作往复运动.当

曲柄的4旋转到最右边时，如图（1）,OP长为8cm；当曲柄的4旋转到最左边时，如图（2）OP长为18cm.

（1）求曲柄曲和连杆/尸分别有多长；

（2）求：曲J_8时，如图（3）,即的长是多少.

3.如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直

角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13,小正方形的

面积是1,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为6,试求（a+6）2的值.

4.如图1,力村和8村在一条大河切的同侧，它们到河岸的距离4G或分别为1千米和4千米，又知道

少的长为4千米.

（1）现要在河岸切上建一水厂向两村输送自来水.有两种方案备选

方案1:水厂建在C点，修自来水管道到/村，再到8村（即43■"）.（如图2）

方案2：作4点关于直线切的对称点连接48交切于〃点，水厂建在〃点处，分别向两村修管道加

和胸（即心痴（如图3）

从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断

哪种方案更合适.

（2）有一艘快艇。从这条河中驶过，当快艇。在切中间，点为多少时？△减为等腰三角形？

5.如图，加=90°,OA=9cm,08=3cm,一机器人在点8处看见一个小球从点4出发沿着ZO方向匀速

滚向点0,机器人立即从点8出发，沿纪方向匀速前进拦截小球，恰好在点。处截住了小球.如果小球滚

动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程正是多少？

B

6.一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由

南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到4处时测得台风中心

移到位于点力正南方的5处，且姐=100海里.若这艘轮船自力处按原速度继续航行，在途中是否会遇到

台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.

孤

A

B

7.如图，一架2.5米长的梯子仍斜靠在一竖直的墙4C上，这时梯足5到墙底端。的距离为0.7米，如

果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

8.问题背景.在△胸中，AB=FBC=K，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道

题时先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点△上（△上的三个顶点

都在正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求△血的高，而借用网格就能计算它的面积.

（2）我们把上述方法叫做构图法，若△上中，AB,BC,ZC三边的长分别为倔，倔，V17a＞请你在

图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出相应的△3'.并求其面积.

9.如图是一副秋千架，图1是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5〃（踏板厚度忽略不计），

图2是从侧面看，当秋千踏板荡起至点8位置时，点8离地面垂直高度比为1〃，离秋千支柱山的水平距

离函为1.5〃（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱初的高.

图1图2

10.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离比■为0.7米，顶

端距离地面的高度4C为2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度

A'〃为2米，求小巷的宽度.

11.在△胸中，。是比上一点，AB=10,BD=6,AP=8,AC=17,求△胸的面积.

A

12.利用如图的4X4方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示出实数我和-我.

13.如图，已知某学校Z与直线公路班相距3000米,且与该公路上一个车站。相距5000米，现要在公路

边建一个超市C,使之与学校力及车站，的距离相等,那么该超市与车站。的距离是多少米？

BD

A

14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时,

梯子下滑到了9处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米？

15.已知，如图，在四边形被力中，ZASC=90°,CDLAD,"+切=2初，求证：AB=BC.

16.如图，一架2.5米长的梯子四斜靠在一座建筑物上，梯子底部与建筑物距离加1为0.7米.

（1）求梯子上端力到建筑物的底端C的距离（即/C的长）；

（2）如果梯子的顶端Z沿建筑物的墙下滑0.4米（即44'=0.4米），则梯脚8将外移（即班'的长）多

少米?

17.如图1,Rt△胸中，ACVCB,AC=15,奶=25,点〃为斜边上动点.

(1)如图2,这点、。作DELAB交CB于点、E,连接被当至平分N函时，求圆

(2)如图3,在点。的运动过程中，连接应，若△Z5为等腰三角形，求也.

图1图2

2021中考数学考点归类复习一一专题七十三：勾股定理参考答案

1.有一块空白地，如图，NADC=90°,CD=6m,AD=8m,AB=26m,BC=24m,试求这块空白地的面积.

5>D

AB

【答案】解：连接AC,

在中，

,.•G9=6米，AD=856?=24米，^45=26米，

二"=〃+勿=82+62=100,

.,./户10米，（取正值）.

在△胸中，初=102+242=676,超=262=676.

二"+初=初，

，△力应为直角三角形，ZACB=9Q°.

：.S^=—ACXBC--ADXCD=—X10X24-—X8X6=96（米？）.

2222

答：这块空白地的面积是96米2.

/$>D

r

AT----------------*

2.如图，曲柄连杆装置是很多机械上不可缺少的，曲柄如绕0点圆周运动，连杆心拉动活塞作往复运动.当

曲柄的4旋转到最右边时，如图（1）,OP长为8cm；当曲柄的4旋转到最左边时，如图（2）OP长为18cm.

（1）求曲柄"和连杆"分别有多长；

（2）求：曲_1_8时，如图（3）,8的长是多少.

【答案】解：（1）设曲=6,

as-Ia-b=8

由题意《，

Ia+b=18

解得卜大,

lb=5

：・AP=13cm,OA=5c/n.

(2)当以_L8时，在RtZ\240中，0P=VPA2-0A2=7132-52=12•

'.0P=12cm.

3.如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直

角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13,小正方形的

面积是1,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为6,试求（a+6）2的值.

【答案】解：♦.•大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,

二直角三角形的斜边的平方为13,

•.•直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为6,

：.a+1^=13,

•••大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积,

Z.4X—a6=13-1,即2ab=12,

2

二(Kb)2=a2+2a/H-Z>2=13+12=25.

4.如图1,4村和8村在一条大河勿的同侧，它们到河岸的距离4G或分别为1千米和4千米，又知道

切的长为4千米.

（1）现要在河岸切上建一水厂向两村输送自来水.有两种方案备选

方案1:水厂建在。点，修自来水管道到Z村，再到5村（即水445）.（如图2）

方案2：作力点关于直线应的对称点力,连接46交切于〃点，水厂建在〃点处，分别向两村修管道阳

和BM.（即心痴（如图3）

从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断

哪种方案更合适.

（2）有一艘快艇。从这条河中驶过，当快艇。在或中间，因为多少时？△飒为等腰三角形？

【答案】解：（1）方案1：A&AB=l+5=6,

方案2：AM^BM=A'5=7CD2+（AC+BD）2=V41»

V6<V41»

二方案1更合适；

（2）如图，①ZQ=四=5或40=四=5时，

CQ\=CQt=，52-12=2A/5»

二%=2加+2（舍去）或2加-2（舍去）；

②AB=B&=5或AB=BQ=5时，

也｛52-4=2=3,

二曲3+2=5或3-2=1（舍去），

③G为0中点时，当4。=%时，

（GB+2）2+12=（2-6%）2+42,

解得：G6=学，

吟；

5.如图，乙仅5=90°,04=9cm,OB=3cm,一机器人在点6处看见一个小球从点力出发沿着40方向匀速

滚向点0,机器人立即从点8出发，沿况■方向匀速前进拦截小球，恰好在点。处截住了小球.如果小球滚

动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程况'是多少？

【答案】解：..•小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，

：.BC=CA.

设为x,则第=9-x,

由勾股定理得：组+"=初，

又：〃=9,0B=3,

.\32+（9-x）2=x,

解方程得出x=5.

二机器人行走的路程BC是5颂.

6.一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由

南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到/处时测得台风中心

移到位于点4正南方的8处，且击100海里.若这艘轮船自4处按原速度继续航行，在途中是否会遇到

台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.

---------------^东

A

【答案】解：不会受影响，

假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为坊，此时轮船位于C处，台风中心移到£处，连接隔

则力仁200，

AE=AB-BE=lQQ-40t,

初+初=房.

(201)2+(100-40?)2=202,

整理得：5/-20什24=0

*.,△=(-20)2-4X5X24<0

二方程无实数根，

7.如图，一架2.5米长的梯子四，斜靠在一竖直的墙NC上，这时梯足8到墙底端。的距离为0.7米，如

果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

【答案】解：在直角△板'中，已知四=2.5〃，BC=Q.1m,

则AC=\l2.52-0.72=2-4瓜，

9

：AC=AA^CAX

：•CA\=2m、

,在直角。中，且瓦为斜边,

△43AB=AIR94

CB\=J（A[Bi）2-（CA[）2=1-5m,

：.BR=CBt-CB=1.5-0.7=0.8m

答：梯足向外移动了0.8%___

8.问题背景.在△胸中，AB=F%=百5,AC=A，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道

题时先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点△胸（△胸的三个顶点

都在正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求△胸的高，而借用网格就能计算它的面积.

（1）请直接写出△上的面积；

（2）我们把上述方法叫做构图法，若△胸中，AB,BC,4C三边的长分别为保，临，V17a.请你在

图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出相应的△抽C.并求其面积.

1117

【答案】解：（1）5^=3X3-yX3Xl-yX2X3-yXlX2=y;

（2）如图，

7AB=7a2+（2a）2=V5a»BC=7（2a）2+（2a）2=2V2a»AC=Z7a2+（4a）2=

...△侬7即为所求作三角形，

故答案为：⑴p

9.如图是一副秋千架，图1是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5〃（踏板厚度忽略不计），

图2是从侧面看，当秋千踏板荡起至点6位置时，点6离地面垂直高度况'为1〃，离秋千支柱初的水平距

离座为1.5。（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱池的高.

图1图2

【答案】解：设4=初，则由题意可得

AB=(x-0.5)m,AE=(xT)m,

在Rt△上中，就+初=初，

即(x-1)2+1.5?=(x-0.5)2,

解得x=3.

即秋千支柱池的高为3m.

10.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离死为0.7米，顶

端距离地面的高度4c为2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度

A'〃为2米，求小巷的宽度.

【答案】解：在RtZL4第中，位=90°,宛=0.7米，482.4米，

二初=0.742.42=6.25.

在RtA4'劭中，225=90",A'"=2米，*+4^=A'B'2,

二加+2?=6.25,

二次=2.25.

■:BD>Q,

：.CD=BC+BD=Q.7+1.5=2.2米.

答：小巷的宽度切为2.2米.

11.在△被7中，D是BC上一点,但=10,BD=6,"=8,AC=11,求△四C的面积.

【答案】解：•.•用+"=62+G=102=初,

...△板是直角三角形，

：.ADLBC,

在或中，TZ?=VAC2-AD2=15>

：.BC=Blh-CD=6+15=21,

==

•*,S^ABC~~~BC*X27---X21X884.

22

因此△物的面积为84.

故答案为84.

12.利用如图的4X4方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示出实数我和-我.

【答案】解：如图,

13.如图，已知某学校/与直线公路侬相距3000米，且与该公路上一个车站。相距5000米，现要在公路

边建一个超市G使之与学校力及车站，的距离相等，那么该超市与车站。的距离是多少米？

【答案】解：根据题意得：AC=CD,乙物=90°.

在直角三角形胸中，

VJ5=3000,3=5000,

:.Bgyj卜口22=4000(a?),

<CD=AC=x^,80=4000-x(米)，

在Rt△胸中，"=四+",

即1=300()2+(4000-x)2

解得：x=3125,

答：该超市与车站〃的距离是3125米.

14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时,

梯子下滑到了9处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米？

【答案】解：在直角三角形力如中，根据勾股定理，得：

^7AB2-AO2=6/ZZ'

根据题意，得：OB'=6+2=8〃.

又•.•梯子的长度不变，

...在RtZU'OB'中，根据勾股定理，得：OA'=V102-82=6（加-

则AA'=8-6=2（加.

答：梯顶离路灯2米.

15.已知，如图，在四边形被力中，乙的=90°,CDLAD,〃+4=2四，求证：AB^BC.

二初+"=初，

CD1.AD,

：.AADC=^°,

:.AlhcE=Ae,

•.以+5=2•，

二"=2•，

二初+初=2•，

:.A^=BC,

：.AB=BC.

16.如图，一架2.5米长的梯子四斜靠在一座建筑物上，梯子底部与建筑物距离宽为0.7米.

（1）求梯子上端/到建筑物的底端C的距离（即ZC的长）；

（2）如果梯子的顶端/沿建筑物的墙下滑0.4米（即44'=0.4米），则梯脚8将外移（即班’的长）多

少米？

【答案】解：(1)在△胸中，Z.ACB=W,"=2.5,舐=0.7.

根据勾股定理可知AC=7AB2-BC2=V2.52-0.72=2.4

答：梯子上端月到建筑物的底端C的距离为2.4米.

(2)