2021年中考一轮复习九年级数学高频考点《切线的判定与性质》训练（附答案）

2021年春九年级数学中考一轮复习高频考点《切线的判定与性质》专题训练（附答案）

1.如图，在△ABC中，。为BC边上的一点，以。为圆心的半圆分别与A8,4c相切于点

M,N.已知NBAC=120°,A8+AC=16,,的长为TT,则图中阴影部分的面积为.

2.如图，已知AB是。。的直径，8c与。。相切于点8,连接AC,OC.若sinNBAC=」,

3

则tan/BOC=.

3.如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板的一直角边与量角器的零

刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，源对应的圆心角（NAOB）为120°,OC长为3,

则图中扇形AOB的面积是.

4.已知A8为OO的直径且长为2r,C为。0上异于4,8的点，若AO与过点C的。。的

切线互相垂直，垂足为。.①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CC=4r,②若

△AOC为正三角形，则CD=哼r,③若等腰三角形AOC的对称轴经过点。，则CO=

r,④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点。一定落在直径A8上，其中正确结论

的序号为.

5.如图，在RtZ\AOB中，OA=OB=4«.。。的半径为2,点尸是AB边上的动点，过

点P作。。的一条切线P。（点。为切点），则线段PQ长的最小值为.

6.如图，在矩形ABC。中，AB=5,BC=4,以C。为直径作。0.将矩形ABCQ绕点C

旋转，使所得矩形4'B'CD'的边A'B'与。。相切，切点为E,边C。'与。。相

交于点

F,则CF的长为.

7.如图，PA.尸8为圆。的切线，切点分别为A、B,PO交AB于点C,尸0的延长线交圆

。于点。，下列结论不一定成立的是（）

A.PA=PBB.NBPD=NAPDC.ABVPDD.A8平分P。

8.如图，PA.PB分别与。0相切于A、B两点，点C为。。上一点，连接AC、BC,若N

P=50°,则NACB的度数为（）

A.60°B.75°C.70°D.65°

9.已知，如图，ZVIBC中，AB=\Q,2C=6,AC=8,半径为1的。0与三角形的边A3、

AC都相切，点尸为。。上一动点，点。为8c边上一动点，则尸。的最大值与最小值的

和为（）

A.11B.5我+4C.5料+5D.12

10.我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆如图，直线/：），=

入+4«与》轴、y轴分别交于A、B,/。48=30°,点P在x轴上，0P与/相切，当

尸在线段OA上运动时，使得成为整圆的点尸个数是（）

A.6B.8C.10D.12

11.如图，PA,P8切。。于A、B两点,CO切。。于点E,交融，PB于C,D.若。0

的半径为r,△PC。的周长等于3r,则tan/AP8的值是（）

A.2万B.聆C.1万D.^-713

12.如图，G为△ABC的重心.若圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，则关

于△ABC三边长的大小关系，下列何者正确？（)

A.BC<ACB.BC>ACC.AB<ACD.AB>AC

13.如图，AB是。。的直径，。。交BC的中点于。，DEJ_4C于点E,连接AC,则下列

结论正确的个数是（）

©ZEDA^ZB；③OA=1AC；④。E是。。的切线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

14.矩形的两邻边长分别为2.5和5,若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相

切的线段最多有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

15.如图，在直角梯形ABC。中，AD//BC,ABA.BC,AD=\,BC=3,CD=4.梯形的高

。“与中位线EF交于点G,则下列结论中：

①△OG尸丝△E8H；②四边形EHCF是菱形；③以CD为直径的圆与AB相切于点E.

正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.0个

16.如图，OO的内接△A8C的外角/ACE的平分线交。。于点DDF±AC,垂足为凡

DELBC,垂足为E.给出下列4个结论：(T)CE=CF；②/ACB=/E£»尸；③DE是。O

的切线；④俞=俞.其中一定成立的是()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

17.如图，AB是。0的直径，点D在。0上，AD的延长线与过点B的切线交于点C,E

为线段AD上的点，过点E的弦FGLAB于点H.

(1)求证：NC=/AG。：

(2)己知BC=6,CD=4,且CE=2AE,求EF的长.

18.如图，AB是00的直径，C为。。上一点，A。和过点C的切线互相垂直，垂足为Z).

(1)求证：NC4O=/C4B；

(2)若旭=2,AC=2巫,求CD的长.

AB3

D

19.如图，在Rt^ABC中，NA8C=90°,以AB为直径的。。交AC于点。，AE与过点。

的切线互相垂直，垂足为E.

(1)求证：4。平分N8AE；

(2)若CD=DE,求sin/BAC的值.

20.如图，△ABC的外角NBAM的平分线与它的外接圆相交于点E,连接BE,CE,过点E

作EF〃BC,交CM于点D

求证：(1)BE=CE；

(2)EF为。。的切线.

21.如图，在△ABC中，ZABC=90°,以AB的中点。为圆心，04为半径的圆交4c于

点O,E是8c的中点，连结DE、0E.

(1)判断。E与的位置关系，并说明理由.

(2)求证：B*=2CD,0E.

A

RE

22.如图，AN是(DM的直径，NB〃x轴，48交OM于点C.

(1)若点A(0,6),N(0,2),/ABN=30°,求点8的坐标;

(2)若O为线段NB的中点，求证：直线C。是OM的切线.

23.如图，已知A8是。。的直径，。。经过RtZ\AC£＞的直角边。C上的点F,交AC边于

点E,点尸是弧EB的中点，ZC=90°,连接AF.

(1)求证：直线C。是。。切线.

(2)若BD=2,0B=4,求tan/AFC的值.

D

24.如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,ND48=90°,4B是。。的直径，C。平分/

BCD.

(1)求证：直线CQ与00相切；

(2)如图2,记(1)中的切点为E,尸为优弧第上一点，AD=1,BC=2.求tan/APE

的值.

图1图2

参考答案

・・,半圆分别与A3,AC相切于点M,M

AOM±ABfON_LAC,

VZBAC=120°,

:・/MON=60°,

・・.NMOB+NNOC=120°,

・・•诵的长为IT,

•.6•0兀r―TT»

180

**•v—3,

：.OM=ON=r=3,

连接OA,

在RtZXAON中，NAON=30°,ON=3,

:.AN=yI"^,

:.AM=AN=M，

：.8M+CN=A8+AC-(4M+AN)=16-2^3，

•*•5阴影=SzkO6M+SaOCN■(S扇形MOE+S扇形NO”)

—X3X(BM+CN)-(120KX32)

2360

=-1(16-273)-3n

=24-3^3~3K.

故答案为：24-373-37T.

2.解：・・・AB是OO的直径，8。与。。相切于点8,

AZABC=90°,

'：sinZBAC=—=—,

AC3

设BC=x,AC=3x,

/MB=VAC2-BC2=V(3X)2-X2=2扬'

BCx_V2

；.tan/BOC=

OB-5/2x2

故答案为：返.

2

3.解：VZA<9B=120°,ZACB=90°,

NOBC=ZAOB-ZACB=30°,

；OC=3,

OB=2OC=6,

VZAOB=120°,

图中扇形408的面积是12°九X6)=1271,

360

故答案为：12TT.

4.解：①如图1,

40c=120°,

，NC4O=NACO=30°,

\'CD和圆。相切，ADLCD,

：.ZOCD=90°,AD//CO,

：.ZACD=60°,ZCAD=30°,

：.CD=^AC,

2

：C为。O上异于A,8的点，

：.AC<AB,

：.CD^lr,故①错误；

②如图2,过点A作AELOC,垂足为E,

若△40C为正三角形，

ZAOC=ZOAC=60°,AC=OC=OA=r,

：.ZOAE=30°,

.•.OE=」A。，AE=^-AO=^-r,

222

•.•四边形AEC£＞为矩形，

.,.CD=AE=^^-r,故②正确；

③若等腰三角形AOC的对称轴经过点。，如图3,

：.AD=CD,而NAQC=90°,

：.ZDAC^ZDCA=45°,又/OCO=90°,

NACO=NC4O=45°

...NQAO=90°,

...四边形AOC£）为矩形，

：.CD=AO^r,故③正确；

图3

④如图4,过点C作CEJ_4。，垂足为反连接OE,

VOCA.CD,ADA.CD,

：.OC//AD,

：.ZCAD=ZACOf

'：OC=OA,

：.NACO=NCAO,

：.ZCAD=ZCAO,

：.CD=CEf

在△A。。和△AEC中，

ZADC=ZAEC=90°,CD=CE,AC=AC,

：./\ADC^/\AEC(HL),

：.AD=AE,

・,・AC垂直平分OE,则点。和点E关于AC对称，

即点。一定落在直径上，故④正确.

故正确的序号为：②③④,

故答案为：②③④.

5.解：连接0Q.

是。。的切线，

：.OQ±PQ；

根据勾股定理知P^=OP2-0。2,

...当时，线段PQ最短，

；在RtZ\AOB中，OA=OB=4夜,

.•.A8=&OA=8,

...8=如00=%

AB

PQ=Yop2_0Q2=2«.

故答案为2«.

6.解：连接OE,延长EO交CD于点G,作C于点H,

则NOEB'=NOHB'=90°,

•..矩形ABC。绕点C旋转所得矩形为A'B'CD',

：.ZB'=NB'CD'=90°,AB=C£)=5、BC=B'C=4,

四边形OEB'”和四边形EB'CG都是矩形，0E=0O=0C=2.5,

：.B'H=OE=2.5,

：.CH=B'C-B'H=1.5,

22=2

：.CG=B'E=OH=^QQ2_CH2=^2.5-l.5>

：四边形CG是矩形，

AZOGC=90°,BPOGICD1,

：.CF=2CG=4,

故答案为：4.

7.解：；附，PB是OO的切线，

J.PA^PB,所以A成立；

4BPD=/APD,所以B成立；

：.AB±PD,所以C成立；

'：PA,尸8是00的切线，

：.ABLPD,且AC=BC,

只有当AO〃PB,〃用时，A8平分PO,所以。不一定成立.

故选：D.

8.解：连接。4、OB,

；以、PB分别与。。相切于4、8两点，

J.OAVPA,OBLPB,

：.ZOAP=ZOBP=90°,

...NAOB=180°-/P=180°-50°=130°,

AZACB=^ZAOB=^X130°=65°.

22

故选：D.

9.解:9△ABC中,98=10,9c=6,9c=8,

r.AB1=AC2+BC1,

：.ZACB=90",

设。。与AC相切于点。，与AB相切于点E,连接。。，OE,过点O,作OPi，8c垂

足为Q1交00于P1，连接A。，延长A。与3c相交于点F,过产作FGLA8于点G,

如图1,此时垂线段。。|最短，PiQi最小值为OQi-OPi，

则四边形ODC®为矩形，AO平分NB4C,

：.CF=FG,

设CF=FG=x,则8/=6-x,4C=AG=8,8G=A8-AG=10-8=2,

由勾股定理得，(6-x)2-X2=22,

解得，x=B,

3

；.GF=—,

3

"."OE//GF,

：.△AOEs/MFG,

...堕望,即回喈,

FGAG18

3

：.AE=3,

：.AF=AE=3,

：.OQ\=CD=i-3=5,

••♦P@=OQ「OP|=5-1=4,

如图2,当。2与B重合时，连接80延长80与交于点22,

此时22。2为最大值P2Q2=OQ2+OP24OE2+BE2+1=Vj+ao-s）2+1=56+1，

：.PQ的最大值与最小值的和为：修。1+。2。2=4+5圾+1=572+5.

故选：C.

10.解：：直线/：y=Jlr+4F与x轴、y轴分别交于A、B,

：.B（0,4近）,

二。8=4退，

在Rt^AOB中，ZOAB=30°,

：.OA=MOB=MX4^3=12.

：。尸与/相切，设切点为例，连接PM,则PM_LAB,

：.PM^—PA,

2

设P(x,0),

.,.以=12-x,

。尸的半径PM^—PA=6-—x,

22

为整数，PM为整数，

.♦.X可以取0,2,4,6,8,10,6个数，

•••使得。2成为整圆的点P个数是6.

故选：A.

11.解：连接OA、OB、OP,延长3。交雨的延长线于点E

'：PA,PB切。。于A、B两点，CD切O。于点E

...NOAF=/P8F=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

APCD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,

：.PA^PB=^-r.

2

在Rt/\PBF和RtAOAF中，

fZFAO=ZFBP,

IZOFA=ZPFB

：.Rt^PBF^Rt/\OAF.

•幽应二「=2

"FBBP2y

2「

9

：.AF=—FB,

3

在RtZsFB尸中，

产-PB2=FB2

：.(PA+AF)2-PET=FET

：.(3r+28F)2-(-1)2=B?,

232

解得BF^^-r,

5

18

~^~r

：.tanZAPB=^-=——=卫，

PBlr5

2

故选：B.

12.解：YG为△ABC的重心,

•••△A8G面积=/\8。6面积=Z\ACG面积,

又•：GHa=GHb>GHc，

：.BC=AC<AB.

故选：。.

13.解：・・・A8是直径，

・・・NADB=90°,

：.ADLBC,故①正确;

连接DO,

・・,点。是BC的中点，

；.CD=BD,

••.△ACDdABO(SAS),

：.AC=AB,/C=/B,

■:OD=OB,

:,/B=/ODB,

：・/ODB=NC,OD//AC,

：.ZODE=ZCED,

是圆。的切线，故④正确;

由弦切角定理知，/EDA=NB,故②正确;

:点。是AB的中点，故③正确,

故选：D.

14.解：以较长的边为直径作圆，半径正好与另一边相等，所以如上图可知，与半圆相切的

线段有3条.

故选O.

15.解：•.,直角梯形ABCQ中，AD//BC,ABVBC,

四边形是矩形，

：.CH=BC-BH=2.

是△£>"(7的中位线，

；.FG=CH+2=1=BH,NDGF=NDHC=NB=90°,

••AB-DH=yj2_2-2yf2，

:.BE=M，

•,•£//=VBE2+BH2=2,

：.4DGF94EBH(HL).(1)成立

'：EF//HC,EF=HC,

：.四边形E，C尸是平行四边形，

,:EH=HC=2,

...四边形EHC尸是菱形(2)成立.

"：EF±AE,EF=2,

.•.点F到AB的距离等于半径2,

，以CD为直径的圆与AB相切于点E.(3)成立

故选：C.

16.解：①；NDCE=NDCF,NDEC=NDFC,DC=DC,

：./\CDE^/\CDF,得CE=CF.故成立；

②NAC8+NACE=180°,根据四边形内角和定理得NACE+NE£)F=180°,所以/ACB

=NEDF,故成立；

③连接。力、0C.则/ODC=NOCD.假如OE是切线，则ODJ_OE,因BE_LDE,所

以OD〃BE,NDCE=NODC=NOCD,而N£>CE=NOCA,ZOCD^ZDCA,故DE

不是切线；

④根据圆内接四边形的外角等于内对角得NOCE=ND4B,所以ND4B=NDCA,根据

圆周角定理判断弧4。=弧8£>.故成立.

故选：D.

17.(1)证明：如图1,连接BO,

是。。的直径，

AZADB=90°,

：.ZDAB+ZDBA^90Q,

是。。的切线，

AZABC=90°,

AZC+ZCAB=90°,

AZC=ZABD,

'：ZAGD^ZABD,

：.NAGO=NC；

(2)解：ZBDC=ZABC=90°,ZC=ZC,

：.XABCSMBDC,

.BCCD

••,二....,

ACBC

-6_4

••'…―"，

AC6

：.AC=9,

•••AS=：VAC2-BC2=3加1

"：CE=2AE,

，AE=3,CE=6,

".'FH1.AB,

：.FH//BC,

:.XAHEsXABC,

.AHEHAE

*'AB=BC=AC'

.AH_EH_3

••赤―b

：.AH=yJs>EH=2,

如图2,连接2凡BF,

•.SB是OO的直径，

AZAFB=90a,

AZAFH+ZBFH=ZAFH+ZFAH=90°,

二乙FAH=ZBFH,

：.△AFHs^FBH,

.FH_BH

'*AH丽’

.FH_2y

.砺一而

.\FH=4IQ,

：.EF=yflQ-2.

图2

18.(1)证明：如图1,连接OC,

是切线,

C.OCLCD.

J.AD//OC,

AZ1=Z4.

♦：OA=OC,

AZ2=Z4,

.*.Z1=Z2,

即NCA£>=/C4B.

(2)解:如图2,

连接BC,

••AD=2

*AB3"

.•.设AD=2x,AB=3x,

；AB是。。的直径，

AZACB=ZADC=90a,

/.ZACB=90°,\'AD±DC,

.•.乙4£>C=90°,

ZDAC=ZCAB,

：./XACD^^ABC,

.AD=AC

,*ACAB）

.2x_2^/6

--37'

解得，xl=2,x2=-2（舍去）,

"0=4,

CZ)=22=2

：・VAC-AD^2-

19.(1)证明：连接。。，如图，

TOE为切线，

:.0D1.DE,

'：DE.LAE,

：.OD//AE,

：.Zl=ZODA,

U：OA=OD,

：.Z2=Z0DA,

AZ1=Z2,

・・・AD平分/BAE；

(2)解：连接BD如图，

TAB为直径，

AZADB=90°,

・.・/2+/48。=90°,N3+NA8O=90°,

・・・N2=N3,

DE.八DC

*/sinZ1=sinZ3=——

ADBC

rfnDE=DC,

：.AD=BC,

设CD=x,BC=AO=y,

•：NDCB=NBCA,Z3=Z2,

：./\CDB^/\CBA,

:.CD：CB=CB：CA,即x：尸y：(x+y),

整理得/+盯-『=0,解得尸二1：医），或LT；匹y（舍去）,

・M3噂号

即sinZBAC的值为直二1

2

20.证明：（1）・・,四边形ACBE是圆内接四边形,

：.ZEAM=ZEBC,

TAE平分N8AM,

：・/BAE=NEAM,

•：NBAE=NBCE,

:・/BCE=NEAM,

・・・NBCE=NEBC,

:・BE=CE；

(2)如图，连接£0并延长交BC于4连接。3,OC,

•：OB=OC,EB=EC,

，直线E。垂直平分BC,

J.EHLBC,

：.EHLEF,

是。0的半径,

为。。的切线.

21.(1)证明：连接0£>,

VAB为圆0的直径，

AZADB=90°,

在RtZ\BDC中，E为斜边BC的中点,

:.CE=DE=BE=LBC,

2

：.2C=NCDE,

"：OA=OD,

：.NA=/A£>0,

VZABC=90°,即NC+/4=90°,

AZADO+ZCDE=90°,即NOCE=90°,

J.DELOD,又0。为圆的半径,

.♦.OE为圆。的切线；

(2)证明：连接OE,

是8c的中点，。点是AB的中点,

.♦.0E是aABC的中位线，

；.AC=2OE,

VZC=ZC,ZABC=ZBDC=90°,

AABCS^BDC,

.•图=£,g[JBC1=AC'CD.

CDBC

:.Bd=2CD，OE；

22.解：(1)的坐标为(0,6),N(0,2),

；.4N=4,

:NABN=30°,NANB=9Q°,

.\AB=2AN=Sf

；・由勾股定理可知：NB=22=4^31

：.B(4>/3，2).

(2)连接MC,NC

TAN是OM的直径，

；.N