人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第31讲 拓展二：函数与方程的综合应用（含解析）

第09讲拓展二：函数与方程的综合应用题型01根据零点求参数【典例1】（2023春·江苏宿迁·高一统考期中）函数SKIPIF1<0有且只有一个零点，则实数m的值为（

）A．9 B．12 C．0或9 D．0或12【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，满足题意，当SKIPIF1<0时，因为函数SKIPIF1<0有且只有一个零点，故SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0时至多有一个零点，单调函数SKIPIF1<0至多一个零点，而函数SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个零点，所以需满足SKIPIF1<0有1个零点，SKIPIF1<0有1个零点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D【典例3】（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0恰有2个零点，则实数a的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0恰有2个零点，所以若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的零点，则SKIPIF1<0不是函数SKIPIF1<0的零点，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的零点，则SKIPIF1<0不是函数SKIPIF1<0的零点，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的零点，SKIPIF1<0不是函数SKIPIF1<0的零点，则不存在这样的SKIPIF1<0.综上所述：实数a的取值范围是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0有零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0有零点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有交点，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：C【变式2】（2023春·新疆昌吉·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有3个零点，则实数a的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有3个零点，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，符合题意；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，要使得函数SKIPIF1<0有3个零点，在方程SKIPIF1<0有两个小于SKIPIF1<0的实根，设SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上与SKIPIF1<0轴有两个交点，则满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式3】（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0，若1是此函数的零点，则实数SKIPIF1<0的值是．【答案】0【详解】因为1是此函数的零点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型02求函数的零点（方程的根）的个数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0有且只有一个零点的充分条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为函数SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0有且只有一个零点SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0没有零点SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0无交点，数形结合可得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即函数SKIPIF1<0有且只有一个零点的充要条件是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,只有选项SKIPIF1<0是函数有且只有一个零点的充分条件,

故选：A【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0的实根个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】由SKIPIF1<0，则可作出函数SKIPIF1<0的图象如下：由方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0的实根个数为3．故选：A．【典例3】（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，判断SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性并证明；(2)讨论函数SKIPIF1<0的零点个数．【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)答案见解析【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0该函数为单调递减函数，证明如下：在区间SKIPIF1<0上任取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减.即证.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，等价于SKIPIF1<0即等价于SKIPIF1<0的根的个数，令SKIPIF1<0，则其函数图像如下所示：由图可知：当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0只有一个交点；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有三个交点.故：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有1个零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有2个零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有3个零点.【典例4】（2023春·高一平湖市当湖高级中学校联考期中）已知函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）.(1)若SKIPIF1<0且方程SKIPIF1<0有解，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0是偶函数，讨论函数SKIPIF1<0的零点情况.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0时函数无零点，当SKIPIF1<0时函数有一个零点.【详解】（1）因为方程SKIPIF1<0有解，所以方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0的值域与方程SKIPIF1<0的值域相同.SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经检验SKIPIF1<0满足题意.函数SKIPIF1<0的零点情况等价于SKIPIF1<0的解的情况，即SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的解的情况，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时方程SKIPIF1<0无解，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0开口向上，且恒过定点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0只有一解，此时方程SKIPIF1<0只有1解，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0开口向下，且恒过定点SKIPIF1<0，且函数的对称轴SKIPIF1<0，则方程（*）无解，综上所述：当SKIPIF1<0时函数无零点，当SKIPIF1<0时函数有一个零点.【变式1】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的零点个数，转化为方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的根的个数.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的零点个数为3.故选：A.【变式2】（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数SKIPIF1<0的零点个数是（

）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】C【详解】分别做出函数SKIPIF1<0和函数SKIPIF1<0的图像，如上图所示，由图像可知，两个函数的交点个数是SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的零点个数是SKIPIF1<0.故选:C【变式3】（2023春·安徽·高一安徽省舒城中学校联考期中）已知函数SKIPIF1<0是偶函数.(1)求实数SKIPIF1<0的值；(2)求方程SKIPIF1<0的实根的个数；(3)若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有且只有一个公共点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1(3)SKIPIF1<0【详解】（1）因为函数SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为对定义域内的任意SKIPIF1<0上式恒成立，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0.所以方程SKIPIF1<0的实根的个数为1.（3）由题可知SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0.令函数SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，舍去.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象开口向上，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0一定存在唯一的正根，符合题意.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象开口向下，因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以对称轴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.综上，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.【变式4】（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0为偶函数．(1)求实数SKIPIF1<0的值；(2)判断函数SKIPIF1<0零点的个数．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)一个零点【详解】（1）因为函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点的个数等价于方程SKIPIF1<0根的个数，即方程SKIPIF1<0根的个数，令SKIPIF1<0，则转化为方程SKIPIF1<0根的个数，而方程SKIPIF1<0的根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0有一个零点．【点睛】利用函数的奇偶性求参数，关键点在于利用好函数的奇偶性，即函数SKIPIF1<0是奇函数时，有SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0是偶函数时，有SKIPIF1<0.题型03函数与方程的综合应用【典例1】（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知SKIPIF1<0为偶函数．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)解不等式SKIPIF1<0；(3)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有4个不相等的实根，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【详解】（1）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0．（3）令SKIPIF1<0，则原方程可化为SKIPIF1<0，由（2）知SKIPIF1<0且方程SKIPIF1<0仅有一根，当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有两个不相等的实根，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有4个不相等的实根，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2个不相等的实根，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．【典例2】（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域；(2)令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0有零点，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由二次函数的性质可知，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0为增函数，所以函数的最大值为SKIPIF1<0，函数的最小值为SKIPIF1<0，则函数的值域为SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则问题等价为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则由对勾函数的性质可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．【典例3】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0定义域内的一个子集，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个“不动点”，也称SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在不动点，例如SKIPIF1<0的“不动点”满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的“不动点”是SKIPIF1<0.设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的不动点；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不存在不动点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）根据题目给出的“不动点”的定义，可知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的不动点为SKIPIF1<0.（2）根据已知，得SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无解，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无解，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无解，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无解，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0综上，实数a的取值范围是SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0是偶函数.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若方程SKIPIF1<0有解，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由已知可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为R上的偶函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，所以SKIPIF1<0.【变式2】（2023春·湖南株洲·高一株洲二中校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0是偶函数.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若方程SKIPIF1<0有两个不等的实数解，求实数m的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，因为SKIP