人教A版高中数学必修第二册同步讲义第05讲 平面向量的数量积（一）（含解析）

第5课平面向量的数量积（一）目标导航目标导航课程标准课标解读1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积．1、通过阅读课本在向量前面知识学习的基础上进一步了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2、理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义.3、在认真学习的基础上，深刻掌握平面向量数量积的意义，为后续学习空间向量数量积打好基础.知识精讲知识精讲知识点01两向量的夹角与垂直1．夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.【即学即练1】已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？解析如图所示，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且∠AOB＝60°.以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为邻边作平行四边形OACB，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OA,\s\up6(→))的夹角为30°，eq\o(BA,\s\up6(→))与eq\o(OA,\s\up6(→))的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.反思感悟求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．知识点02向量数量积的定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.【即学即练2】若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于()A．－3eq\r(2) B．－6eq\r(2)C．6eq\r(2) D．2答案B知识点03投影向量1．如图，设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．2．如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.【即学即练3】（1）已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量．解析∵a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(24,12×8)＝eq\f(1,4)，∴a在b上的投影向量为|a|cosθ·eq\f(b,|b|)＝12×eq\f(1,4)×eq\f(1,8)b＝eq\f(3,8)b.（2）已知||＝6，||＝3，·＝－12，则向量在向量方向上的投影向量的长度为()A．－4 B．4C．－2 D．2答案B解析根据投影向量的定义，设，的夹角为，可得向量在方向上的投影向量的长度是|||cos|＝＝4.故选B.知识点04平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.【即学即练4】(多选)下列说法正确的是()A．向量a在向量b上的投影向量可表示为eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C．若△ABC是等边三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为60°D．若a·b＝0，则a⊥b答案AB解析对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cosθ<0，则cosθ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故B正确；对于选项C，若△ABC是等边三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为120°，故C错误；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．能力拓展能力拓展考法01向量的夹角【典例1】在锐角SKIPIF1<0中，关于向量夹角的说法，正确的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是钝角D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角【答案】B【详解】SKIPIF1<0为锐角三角形，A，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是钝角，A错误；B，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角，B正确；C，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角，C错误；D，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是钝角，D错误.故选：B【变式训练】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是AC的中点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角等于SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．考法02求两向量的数量积【典例2】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为135°，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．12【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为135°，所以SKIPIF1<0，故选：B反思感悟定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．【变式训练】．已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为A．3 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：B.考法03投影向量【典例3】（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0向量上的投影为SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】因为八边形SKIPIF1<0是正八边形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，对于A：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选项A正确；对于B：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的夹角为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项B正确；对于C：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且夹角相等，由数量积的定义知SKIPIF1<0，故选项C正确；对于D：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0向量上的投影为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0向量上的投影不是SKIPIF1<0，胡选项D不正确；故选：ABC.反思感悟投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定．(2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθeq\f(b,|b|).【变式训练】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】设SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0故选：A.分层提分分层提分题组A基础过关练1．已知向量与SKIPIF1<0的夹角为,且,若,且,,则实数的值为A． B． C． D．【答案】D【详解】SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.2．若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C．3．已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0.故选：C4．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个互相垂直的单位向量，则向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个互相垂直的单位向量，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0.故选：B5．如图，在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，如图所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，故选：B.6．在四边形ABCD中，若SKIPIF1<0，则该四边形为（

）A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【答案】B【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以四边形ABCD为平行四边形，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以四边形ABCD为矩形故选：B7．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上的两点，满足SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形【答案】A【详解】由题知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边同时平方并展开化简可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．综上可知，SKIPIF1<0的形状是等腰直角三角形．故选：A．8．如图SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为120°，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】11【详解】因为平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：11.10．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．11．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求实数k的值．【答案】(1)6(2)SKIPIF1<0或2【详解】（1）SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0；（2）由题意可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或2，所以实数k的值是-1或2.12．如图，在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)设SKIPIF1<0，求x，y的值，并求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题组B能力提升练1．若单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.2．已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0.故选：C3．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点E满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．6【答案】B【详解】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B.4．（多选）对于任意向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列命题中不正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中至少有一个为SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0夹角的范围是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】A，当SKIPIF1<0为非零向量，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以A选项错误.B，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B选项正确.C，向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0夹角的范围是SKIPIF1<0，所以C选项错误.D，SKIPIF1<0，D选项正确.故选：AC5．（多选）已知SKIPIF1<0是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线且反向D．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】AC【详解】对于A，由平面向量数量积定义可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以A正确，对于B，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都和SKIPIF1<0垂直时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，对于C，两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则两个向量的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线且反向，故C正确；对于D，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角时SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故D错误；故选:AC.6．已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内的一点，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________.【答案】4【详解】取AC的中点D，联结BD，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，则O为BD的中点，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案为：4.7．如图，圆SKIPIF1<0是半径为1的圆，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆上的任意2个点，则SKIPIF1<0的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夹角.则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等）因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值为3，即SKIPIF1<0有最大值3，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<08．如图，直径SKIPIF1<0的半圆，SKIPIF1<0为圆心，点SKIPIF1<0在半圆弧上，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0上有动点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为60°．试求：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．10．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝SKIPIF1<0AB，AF＝SKIPIF1<0AD，BG＝SKIPIF1<0BC，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）若EF⊥EG，SKIPIF1<0，求角A的值.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【详解】（1）由平面向量的线性运算可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

（2）由题意，因为EF⊥EG，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则可化简上式为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.题组C培优拔尖练1．已知SKIPIF1<0为单位向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取到最大值时，SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】根据题意：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，点SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0等分点处(靠近SKIPIF1<0点)解法一：欲使SKIPIF1<0最大，根据“米勒最大角定理”，此时以SKIPIF1<0为弦圆与SKIPIF1<0相切，根据切割弦定理：SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.解法二：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时成立.故选:A2．在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段CD长度的最小值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：由SKIPIF1<0及正弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由余弦定理得，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两边平方，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0，∴线段CD长度的最小值为SKIPIF1<0．故选：D．3．（多选）平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0 D．若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以A正确;SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量为SKIPIF1<0,所以B错误;如图，作半径都等于2且公共弦长等于2的两个圆中，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,符合题意，由图可知，当SKIPIF1<0同过两圆的圆心时SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0的最大值等于圆心距加半径为SKIPIF1<0，所以C正确;作SKIPIF1<0如图，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,在射线SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0,过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0,则有点SKIPIF1<0在直线l上，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0,过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0重合时取得等号，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.所以D正确.故选:ACD.4．（多选）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于F，则下列说法一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】解：因为在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，对于A：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项A正确；对于B：设SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，故选项B正确；对于SKIPIF1<0：由题意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选项C正确；对于D：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选项D不正确.故选：ABC.5．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是非零平面向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是_________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】由题，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，根据几何性质，点B在以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆上，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，利用数量积公式展开可得SKIPIF1<0，所以点C的轨迹为以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0为圆心，半径为1的圆，所以C的横坐标的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6．已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则如图所示，在平面直角坐标系中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKI