人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第19讲 3.3幂函数（含解析）

第05讲3.3幂函数课程标准学习目标①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式；②掌握常见幂函数的图像；③利用幂函数的单调性比较指数式大小。④利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解通过本节课的学习，要求掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数.知识点01一：幂函数的概念1、定义：一般地，函数SKIPIF1<0叫做幂函数，其中SKIPIF1<0是自变量，SKIPIF1<0是常数.2、幂函数的特征①SKIPIF1<0中SKIPIF1<0前的系数为“1”②SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的底数是单个的自变量“SKIPIF1<0”③SKIPIF1<0中SKIPIF1<0是常数【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）现有下列函数：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0；⑦SKIPIF1<0，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】幂函数满足SKIPIF1<0形式，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足条件，共2个故选：B知识点02：幂函数的图象与性质1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）当SKIPIF1<0时，我们得到五个幂函数：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<02、五个幂函数的性质SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0定义域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在SKIPIF1<0上单调递增在SKIPIF1<0上单调递减在SKIPIF1<0单调递增在SKIPIF1<0上单调递增在SKIPIF1<0单调递增在SKIPIF1<0上单调递减在SKIPIF1<0上单调递减定点SKIPIF1<03、拓展：①SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增；②SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减.【即学即练2】（江西省赣州市2022-2023学年高一上学期11月期中考试数学试题）幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，则SKIPIF1<0的值为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】由函数SKIPIF1<0是幂函数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上为减函数，满足题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上为增函数，不合题意.故答案为：SKIPIF1<0.题型01判断函数是否为幂函数【典例1】（2023·高一课时练习）在函数①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，⑥SKIPIF1<0中，是幂函数的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【答案】C【详解】幂函数是形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数）的函数，①是SKIPIF1<0的情形，②是SKIPIF1<0的情形，⑥是SKIPIF1<0的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中SKIPIF1<0的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数.故选：C.【典例2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】对于A，由幂函数的定义知SKIPIF1<0是幂函数，由题意可知SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，符合题意；故A正确；对于B，由幂函数的定义知SKIPIF1<0是幂函数，由题意可知SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，不符合题意；故B错误；对于C，由幂函数的定义知SKIPIF1<0不是幂函数，不符合题意；故C错误；对于D，由幂函数的定义知SKIPIF1<0不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.【变式1】（2023·高一课时练习）给出下列函数：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0，其中是幂函数的有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【详解】由幂函数的定义：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）的函数为幂函数，则可知①SKIPIF1<0和④SKIPIF1<0是幂函数.故选；B.题型02求幂函数的值【典例1】（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知幂函数SKIPIF1<0的图像过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】根据题意，设幂函数为SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选:A【典例2】（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数SKIPIF1<0的图像过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为___________．【答案】SKIPIF1<0【详解】设幂函数为SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以幂函数解析式为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）若SKIPIF1<0是幂函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________【答案】9【详解】解：因为SKIPIF1<0是幂函数，记SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：9题型03求幂函数的解析式【典例1】（2023·浙江·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0是幂函数，且满足：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）(形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正奇数，SKIPIF1<0为正偶数，均可)【详解】因为SKIPIF1<0是幂函数，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故可设SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互质），又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0为偶数，故SKIPIF1<0为符合条件的一个函数，故答案为：SKIPIF1<0(形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正奇数，SKIPIF1<0为正偶数，均可).【典例2】（2023·高一课时练习）幂函数SKIPIF1<0是偶函数，且在SKIPIF1<0上为增函数，则函数解析式为_________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0是幂函数，也是偶函数，且在SKIPIF1<0上为增函数，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为偶数，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知幂函数SKIPIF1<0在第一象限单调递减，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题知，幂函数SKIPIF1<0在第一象限单调递减，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0题型04根据函数是幂函数求参数【典例1】（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0或3 D．1或SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为函数SKIPIF1<0为幂函数，且在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0时，足SKIPIF1<0，不符合题意.综上SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数SKIPIF1<0是幂函数，且为偶函数，则实数SKIPIF1<0______．【答案】2【详解】由函数SKIPIF1<0是幂函数，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是偶函数，满足条件；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0是奇函数，不合题意.故答案为：2.【变式1】（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知幂函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为函数SKIPIF1<0为幂函数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知幂函数SKIPIF1<0的图像不经过原点，则实数SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由已知函数SKIPIF1<0为幂函数，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，函数图像不经过原点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，函数图像经过原点，综上所述：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题型05求幂函数的定义域【典例1】（2023秋·浙江·高一校联考期末）已知幂函数SKIPIF1<0，则此函数的定义域为________．【答案】SKIPIF1<0.【详解】由幂函数SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0，即幂函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的定义域为_______．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.因此，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·高一课时练习）若幂函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定义域.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0为幂函数，所以设SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故f(x)的定义域为SKIPIF1<0．题型06求幂函数的值域【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的值域为________.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若幂函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域为____________．【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，因为幂函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【典例3】（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由函数SKIPIF1<0单调递增，①当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0的值域不是SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．则实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数SKIPIF1<0的图像过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0幂函数SKIPIF1<0的图像过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0.故选：D.题型07幂函数的图象的判断及应用【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互质）的图像如图所示，则（

）

A．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均为奇数且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0为偶数且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0为偶数且SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0为偶数，SKIPIF1<0为奇数且SKIPIF1<0【答案】D【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定SKIPIF1<0，又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.【典例2】（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0；⑦SKIPIF1<0．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故SKIPIF1<0满足；图象（2）关于SKIPIF1<0轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故SKIPIF1<0满足；图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故SKIPIF1<0满足；图象（4）关于SKIPIF1<0轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故SKIPIF1<0满足；图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故SKIPIF1<0满足；图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随SKIPIF1<0增大递减，故SKIPIF1<0满足；图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随SKIPIF1<0增大递增，故SKIPIF1<0满足；故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选：C【变式1】（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0图像与SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0轴对称，由SKIPIF1<0解析式，作出SKIPIF1<0的图像如图从而可得SKIPIF1<0图像为B选项.故选：B.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的图像大致为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，排除A，D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，排除C．故选：B．题型08幂函数过定点问题【典例1】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0恒过定点______．【答案】SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数恒过定点SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·高一课时练习）幂函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象经过定点__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为幂函数SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0.故答案为SKIPIF1<0【变式1】（2023·高一课时练习）幂函数SKIPIF1<0的图像一定经过第______象限【答案】一、三【详解】因为SKIPIF1<0为自然数，所以SKIPIF1<0为偶数，所以SKIPIF1<0为奇数，所以SKIPIF1<0是奇函数，且函数的图像经过SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0并且在SKIPIF1<0单调递增，所以幂函数SKIPIF1<0的图像一定经过第一、三象限．故答案为：一、三题型09幂函数的单调性【典例1】（多选）（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）下列函数既是幂函数，又在SKIPIF1<0上单调递减的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【详解】对于A，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减但不是幂函数，故选项A错误；对于B，函数SKIPIF1<0是幂函数，在SKIPIF1<0上单调递增，故选项B错误；对于C，函数SKIPIF1<0是幂函数且在SKIPIF1<0上单调递减，故选项C正确；对于D，函数SKIPIF1<0是幂函数且在SKIPIF1<0上单调递减，故选项D正确，故选：CD.【典例2】（2023·高一课时练习）已知函数：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0，既是偶函数，又在SKIPIF1<0上为增函数的是_________．【答案】①④【详解】对于①SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为偶函数，又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上为增函数，符合题意；对于②，SKIPIF1<0定义域为R，且为偶函数，在SKIPIF1<0上为增函数，故在SKIPIF1<0上为减函数，不符题意；对于③SKIPIF1<0，定义域为R，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为奇函数，不符题意；对于④SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为偶函数，在SKIPIF1<0上为减函数，故在SKIPIF1<0上为增函数，符合题意，故答案为：①④【变式1】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）幂函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是减函数C．SKIPIF1<0是奇函数 D．SKIPIF1<0是偶函数【答案】C【详解】函数SKIPIF1<0为幂函数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，不满足条件，排除A；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，满足题意.函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，若幂函数SKIPIF1<0奇函数，且在SKIPIF1<0上为严格减函数，则SKIPIF1<0__________.【答案】-1【详解】解：因为幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为严格减函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为幂函数SKIPIF1<0奇函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：-1题型10幂函数的奇偶性【典例1】（2023·高一课时练习）已知幂函数SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0轴对称，则SKIPIF1<0等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．3【答案】A【详解】由于函数是幂函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，是偶函数，图像关于SKIPIF1<0轴对称，符合题意.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，是奇函数，图像不关于SKIPIF1<0轴对称，不符合题意.所以SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.故选：A【典例2】（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）已知幂函数SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0轴对称.(1)求SKIPIF1<0的值;(2)若函数SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调递增区间.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）解:由题意知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0的图像关于y轴对称，所以SKIPIF1<0为偶函数，从而SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0.（2）解：由（1）知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．所以，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·河北保定·高二校考阶段练习）设SKIPIF1<0，若幂函数SKIPIF1<0定义域为R，且其图像关于SKIPIF1<0轴成轴对称，则SKIPIF1<0的值可以为（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【详解】解：由题意知SKIPIF1<0，因为其图像关于y轴成轴对称，则SKIPIF1<0.故选：C．【变式2】（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数SKIPIF1<0，条件：①SKIPIF1<0是偶函数；②SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数．则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0(答案不唯一)【详解】设SKIPIF1<0，根据幂函数为偶函数，则SKIPIF1<0为偶数，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，故可取SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）题型11根据幂函数的单调性求参数【典例1】（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．3 D．1或SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为函数SKIPIF1<0是幂函数，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，不合题意.当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，成立.故选：B.【典例2】（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．(1)求SKIPIF1<0的值及函数SKIPIF1<0的解析式；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为3，求实数SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）由（1）知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线SKIPIF1<0；由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为3，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0（舍去）．综上所述，SKIPIF1<0．【变式1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知函数SKIPIF1<0是幂函数，且在SKIPIF1<0上是增函数，则实数SKIPIF1<0的值为______．【答案】1【详解】因为函数SKIPIF1<0是幂函数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：1【变式2】（2023·高一课时练习）幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0的值为______．【答案】2【详解】解：因为函数SKIPIF1<0是幂函数，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，不符合题意，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，符合题意.所以SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0题型12根据幂函数的单调性解不等式【典例1】（2023·高三课时练习）已知幂函数SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【详解】可得幂函数SKIPIF1<0，且函数在其定义域SKIPIF1<0上单调递增．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数a的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023·高一课时练习）求不等式SKIPIF1<0的解.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则a的取值范围是__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由幂函数SKIPIF1<0，可得函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且是递减函数，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）若幂函数SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则满足不等式SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0的取值范围是__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】设幂函数SKIPIF1<0，其图像过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，函数定义域为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上单调递增，不等式SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型13根据幂函数的单调性比较大小【典例1】（2023·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列各式中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】（2023·高一课时练习）比较下列各组数的大小：(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）因为幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因为幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0是实数集上的增函数，所以由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：CA夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023·海南·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0为幂函数，则（

）．A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0是幂函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，函数在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；对于SKIPIF1<0，函数在SKIPIF1<0上单调递减，且为奇函数，故在SKIPIF1<0上单调递减；故只有B选项“SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B2．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知幂函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设SKIPIF1<0，因为幂函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.3．（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点SKIPIF1<0在幂函数SKIPIF1<0的图象上，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0是幂函数，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在幂函数SKIPIF1<0的图象上，SKIPIF1<02，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶函数，排除A,B选项；易知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.故选：C.5．（2023·全国·高一专题练习）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（

）A．①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0 B．①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0C．①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0 D．①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0【答案】A【详解】由函数SKIPIF1<0是反比例函数，其对应图象为①；函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，应为图②；因为SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0且为奇函数，故应为图③.故选：A.6．（2023秋·安徽·高一校联考期末）若幂函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．1 C．SKIPIF1<0或3 D．1或SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为函数SKIPIF1<0为幂函数，且在区间SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，满足SKIPIF1<0，舍去；当SKIPIF1<0时，满足SKIPIF1<0.综上SKIPIF1<0.故选：A.7．（2023秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）如图所示，图中的曲线是幂函数SKIPIF1<0在第一象限的图象，已知SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四个值，则相应于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0依次为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：根据幂函数SKIPIF1<0的性质，在第一象限内的图象:当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0越大，SKIPIF1<0递增速度越快，故SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0越大，曲线越陡峭，所以曲线SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0的SKIPIF1<0.故选:B8．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图所示是函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均为正整数且SKIPIF1<0互质）的图象，则（

）A．SKIPIF1<0是奇数且SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是偶数，SKIPIF1<0是奇数，且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0是偶数，SKIPIF1<0是奇数，且SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0是奇数，且SKIPIF1<0【答案】B【详解】由幂函数性质可知：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，即在第一象限的交点为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0轴对称，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0互质，SKIPIF1<