人教A版高中数学必修第二册同步讲义第33讲 平面与平面垂直（含解析）

第33课平面与平面垂直目标导航目标导航课程标准课标解读1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题．1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用.2.一平面与平面的重直需要“一面角”的概念，一面角定量地反映了两个平面相交的位置关系日是如何来刻画二面角的太小是一个难点根据“异面直线所成的角”和“直线与平面所成的角的学习经验，借助“空间问题平面化”的思想，借鉴平面几何中利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况的方法，教材按照直观感知、操作确认、抽象概括的方式得出二面角的平面角的定义.通过类比直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义,探索得出空间中两个平面互相垂直的定义，从中体会定义一个数学对象的基本思想知识精讲知识精讲知识点01二面角的概念1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．2．相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面．3．画法：4．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5．二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．【即学即练1】对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β答案C解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.知识点02平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：(3)记作：α⊥β.2．平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β图形语言【即学即练2】在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ADC⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADB答案B解析如图，因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，所以AD⊥平面BCD，又AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故选B.知识点03平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言【即学即练2】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M.证明由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，同理BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.能力拓展能力拓展考法01二面角的求法【典例1】如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值．解如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角．设点H是△BCD的中心，连接AH，则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上．在Rt△AMH中，AM＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，HM＝eq\f(\r(3),2)×2×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(3),3)，则cos∠AMB＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3)，即所求二面角的平面角的余弦值为eq\f(1,3).反思感悟求二面角的平面角的大小的步骤【变式训练】从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定答案C解析如图所示，过PE，PF作一个平面γ与二面角α－l－β的棱交于点O，连接OE，OF.因为PE⊥α，PF⊥β，所以PE⊥l，PF⊥l，所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，则∠EOF为α－l－β的平面角，且它与∠EPF相等或互补，故二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°，故选C.考法02平面与平面垂直的判定【典例2】如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.证明∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.反思感悟证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角．(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．【变式训练】如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.证明作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，∵SA＝SC，∴AH＝HC.在Rt△ABC中，H是AC的中点，∴BH＝eq\f(1,2)AC＝AH，又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC，∴SH⊥平面ABC，又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.考法03平面与平面垂直的性质定理【典例3】【变式训练】如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.反思感悟利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点(1)两个平面垂直．(2)直线必须在其中一个平面内．(3)直线必须垂直于它们的交线．【变式训练】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.证明如题图(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，过C作CE⊥AB，E为垂足，∴四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ACB＝90°即BC⊥AC，如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC，又BC⊂平面ABC且BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD.分层提分分层提分题组A基础过关练一、单选题1．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是（

）A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直【答案】C【分析】根据面面垂直的性质，α⊥β，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内且垂直于交线，所以n⊥α，即可得解.【详解】因为α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.故选：C.2．设m，n是不同的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【分析】ABC均可以举出反例，D选项可证明出正确.【详解】A选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，或m，n相交或m，n异面，A错误；B选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交，B错误；C选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，C错误；D选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，D正确.故选：D3．如图所示，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是锐角三角形，那么必有（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】C【分析】由线线垂直（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）推出线面垂直（SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0）推出面面垂直平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面BCD故选：C.4．若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】画出正四棱锥SKIPIF1<0，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH，则SKIPIF1<0为侧面与底面所成的角，从而在直角三角形POH中即可求解.【详解】解：如图所示，正四棱锥SKIPIF1<0，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为侧面与底面所成的角，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为高，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在直角三角形POH中SKIPIF1<0，所以侧面与底面所成角的余弦值为SKIPIF1<0故选:B.5．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（

）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β【答案】C【分析】在A中，SKIPIF1<0与β相交或相行；在B中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定垂直；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得SKIPIF1<0.【详解】在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则SKIPIF1<0与β相交或相行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定垂直，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，由面面平行的判定定理得SKIPIF1<0，故D错误.故选：C6．如图所示，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列命题不正确的是（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据条件推出线面垂直，再根据面面垂直的判定定理判断ABD，利用反证法证明判断C.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故AB正确；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故D正确；对于C选项，若假设平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图由平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,这与SKIPIF1<0中SKIPIF1<0矛盾，故假设不正确，故C选项错误.故选：C【点睛】关键点点睛：先利用勾股定理证明线线垂直，再得线面垂直，最后推出面面垂直是关键，要证明平面不垂直时，可考虑反证法.二、多选题7．已知直线l和不重合的两个平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，下列命题正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BC【分析】结合面面平行的判定定理、面面平行的定义、面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理可分别判断四个选项的正误.【详解】对于A，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行或相交，故错误；对于B，若SKIPIF1<0，则由面面平行的定义可得SKIPIF1<0，故正确；对于C，若SKIPIF1<0，则由面面垂直的判定定理可得SKIPIF1<0，故正确；对于D，当SKIPIF1<0时，l可能在SKIPIF1<0内，可能与SKIPIF1<0平行，也可能与SKIPIF1<0相交，所以不一定有SKIPIF1<0，故错误.故选：BC.8．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】AD【解析】A.由线面垂直的判定定理判断；B.由直线和平面的位置关系判断；C.由空间直线的位置关系判断；D.由面面垂直的判定定理判断.【详解】A.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由线面垂直的判定定理得SKIPIF1<0，故正确；B.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故错误；C.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或异面，故错误；D.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由面面垂直的判定定理得SKIPIF1<0，故正确；故选：AD三、填空题9．二面角的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据二面角的定义直接作答.【详解】二面角的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<010．在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△SKIPIF1<0折起到△SKIPIF1<0处，使得平面SKIPIF1<0平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据面面垂直性质可证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则直线PC与平面ABCE所成角为SKIPIF1<0．【详解】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，又∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则直线PC与平面ABCE所成角为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0．11．如图，在棱长为a的正方体SKIPIF1<0中，E、F分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点．则点A和点SKIPIF1<0的距离为______，点SKIPIF1<0到棱BC的距离为______，点E到平面SKIPIF1<0的距离为______，SKIPIF1<0到平面AEFD的距离为______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

a

SKIPIF1<0【分析】由勾股定理可直接求解点A和点SKIPIF1<0的距离；由题意SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0到棱BC的距离；取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为点E到平面SKIPIF1<0的距离；先证明SKIPIF1<0平面AEFD，则点SKIPIF1<0到平面AEFD的距离等于直线SKIPIF1<0到平面AEFD的距离；再证明平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面，然后过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0到平面AEFD的距离，从而可得答案.【详解】连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，在正方体中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0到棱BC的距离取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为点E到平面SKIPIF1<0的距离E、F分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面AEFD,SKIPIF1<0平面AEFD，所以SKIPIF1<0平面AEFD，则点SKIPIF1<0到平面AEFD的距离等于直线SKIPIF1<0到平面AEFD的距离.由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0则过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0到平面AEFD的距离.由SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<012．菱形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿BD折起，SKIPIF1<0点变为E点，当四面体SKIPIF1<0的体积最大时，四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意可得当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，四面体SKIPIF1<0的体积最大，然后分别从△EBD和△ABD的外接圆圆心SKIPIF1<0作其面的垂线，交于点SKIPIF1<0，即为外接球球心，再根据已知数据求出SKIPIF1<0长，即为外接球的半径，从而可求出球的表面积【详解】如图所示，当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，四面体SKIPIF1<0的体积最大，分别从△EBD和△ABD的外接圆圆心SKIPIF1<0作其面的垂线，交于点SKIPIF1<0，即为外接球球心，因为M为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以四边形SKIPIF1<0为正方形.由题意可得SKIPIF1<0都为等边三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故四面体SKIPIF1<0的外接球的面积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．（1）求证：AD∥平面PBC；（2）求证：AB⊥平面PAD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用底面是矩形，得到AD∥BC，进而证明AD∥平面PBC；（2）由AB⊥AD，再由面面垂直的性质定理证明．【详解】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，又ADSKIPIF1<0平面PBC，BCSKIPIF1<0平面PBC，∴AD∥平面PBC；（2）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PADSKIPIF1<0平面ABCD＝AD，ABSKIPIF1<0平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.14．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点.(1)若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，试确定点SKIPIF1<0的位置，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的三等分点，且靠近点SKIPIF1<0处，理由见解析【分析】（1）根据题意结合线面垂直的性质、判定定理可证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，进而证明结果；（2）利用线面平行的性质定理理解分析．【详解】（1）因为底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0中点，所以在平面SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）如图，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.因为在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的三等分点，且靠近点SKIPIF1<0处.题组B能力提升练一、单选题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【答案】C【分析】分别根据面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理判断选项即可.【详解】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于SKIPIF1<0,若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行或相交，故SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0,若m∥α，m∥n，则n∥α或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故SKIPIF1<0正确；对于SKIPIF1<0,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交或SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误.故选：SKIPIF1<0.2．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（

）①平面SKIPIF1<0平面PAD；②平面SKIPIF1<0平面PBC；③平面SKIPIF1<0平面PCD；④平面SKIPIF1<0平面PAC．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】A【分析】对于①②，由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．对于③④，找到相互垂直的平面的二面角的平面角，可发现这些平面角不可能为直角.【详解】∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又正方形ABCD中，BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，②正确；同理AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，∴①正确；设平面PAB∩平面PCD＝l，∵AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴CD∥l，AB⊥平面PAD，l∥AB，∴l⊥平面PAD，P为垂足，∴∠APD为二面角A−l−D的平面角，若平面PAB⊥平面PCD，则AP⊥PD，在Rt△PAD中不可能，∴③错误．∵AB⊥PA，AC⊥PA，∴∠BAC为二面角B−PA−C的平面角，若平面SKIPIF1<0平面PAC，则AB⊥AC，在Rt△ABC中不可能，∴④错误．故选：A．3．下列说法正确的是（

）A．若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于同一平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行【答案】D【分析】根据线面关系结合相关判定定理和性质定理逐个分析理解.【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以相交，故C错;若SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0同理可得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D正确.故选：D.4．攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于SKIPIF1<0年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观.其檐平面呈正八边形，上檐边长为SKIPIF1<0，宝顶到上檐平面的距离为SKIPIF1<0，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值）为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据正八边形的性质，结合二倍角正切公式及正切的定义求上檐平面中心到檐边的距离，再根据题设求攒尖坡度.【详解】由题设，上檐平面的八边形如下图示：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，(舍SKIPIF1<0)，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由题设知：攒尖坡度为SKIPIF1<0.故选：D5．已知平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0交于直线SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0不重合，则下列命题错误的是（

）A．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据面面垂直、线面垂直有关定理，对四个选项逐一分析，由此得出命题错误的选项.【详解】根据面面垂直的性质定理可知，A,B两个选项命题正确.对于C选项，根据线面垂直的判定定理可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C选项命题正确.对于D选项，命题不满足面面垂直的判定定理，SKIPIF1<0可以不垂直，故D选项错误.故选：D.6．给出下列四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②若直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；④异面直线a，b不垂直，则过a的任平面与b都不垂直．其中正确命题是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根据正棱柱的特征，可判断①的正误；由面面垂直的判定定理判断②的正误；找出反例否定③；由反证法判定④.【详解】①各侧面都是正方形的棱柱的底面边长都相等，但不一定是正多边形，故①错误；②由面面垂直的判定定理知：若直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故②正确；③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面，如果两点在平面的两侧，则不成立，故③错误；④假设存在过SKIPIF1<0的平面与SKIPIF1<0垂直，则可知SKIPIF1<0，所以假设不成立，故④正确.故选：C.二、多选题7．设SKIPIF1<0是给定的平面，A，B是不在SKIPIF1<0内的任意两点，则下列各选项正确的是（

）A．在SKIPIF1<0内存在直线与直线SKIPIF1<0异面B．在SKIPIF1<0内存在直线与直线SKIPIF1<0相交C．在SKIPIF1<0内存在直线与直线SKIPIF1<0平行D．存在过直线SKIPIF1<0的平面与SKIPIF1<0垂直【答案】AD【分析】根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．【详解】解：因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是不在SKIPIF1<0内的任意两点，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交或平行.若SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交，设交点为O，则SKIPIF1<0内不过交点O的直线与SKIPIF1<0异面，但平面SKIPIF1<0内不存在与SKIPIF1<0平行的直线；若SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，则在SKIPIF1<0内存在直线b与SKIPIF1<0平行，而在SKIPIF1<0内与b相交的直线与SKIPIF1<0异面，但SKIPIF1<0内不存在直线与SKIPIF1<0相交，由上知A正确，B、C均错；无论SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行还是相交，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线，则这条垂线与直线SKIPIF1<0所在平面与平面SKIPIF1<0垂直（如果垂线与SKIPIF1<0重合，则过SKIPIF1<0的任意平面都与SKIPIF1<0垂直），D正确.故选：AD.8．如图，在五棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰三角形．则（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为的大小为60°C．四棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0D．四边形SKIPIF1<0的面积为3【答案】AD【分析】在SKIPIF1<0中，利用勾股定理证得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，证得SKIPIF1<0，进而证得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可判定A正确；过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，证得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，结合线面角的定义法，可判定B不正确；由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，得出四边形SKIPIF1<0为直角梯形，结合梯形的面积公式和锥体的体积公式，可判定C不正确，D正确.【详解】因为SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以A正确；过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离等于点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B不正确；由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为直角梯形，其面积为SKIPIF1<0，所以四棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，所以C不正确，D正确.故选：AD.三、填空题9．已知平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的______条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）【答案】充分不必要【分析】从充分性和必要性两方面分析判断得解.【详解】由题得SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分条件；当SKIPIF1<0时，不一定有SKIPIF1<0，有可能SKIPIF1<0不与平面b垂直，也有可能SKIPIF1<0在平面b内.所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的非必要条件.所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分非必要条件.故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查充要条件的判断和空间几何元素的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．如图所示的四边形SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正方形，对角线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．给出以下5个结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形；③平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤三棱锥SKIPIF1<0表面的四个三角形中，面积最大的是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】①②④【分析】由线面垂直判定以及性质判断①；由勾股定理以及面面垂直的性质判断②；取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理以及面面角的定义证明平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直；由体积公式得出SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0判断⑤.【详解】因为正方形的对角线互相垂直，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由线面垂直的判定可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即①正确；因为正方形的边长是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形，②正确；如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0就是二面角SKIPIF1<0的平面角，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是直角．即平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直，③错误；因为SKIPIF1<0，所以④正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0表面的四个三角形中，面积最大的是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，不是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以⑤错误．综上，可知①②④正确．故答案为：①②④11．在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【答案】SKIPIF1<0【分析】取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0分别是正三角形SKIPIF1<0和正三角形SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0是该三棱锥外接球的球心，连接SKIPIF1<0,