人教A版高中数学必修第二册同步讲义第25讲 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（原卷版）

第25课圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积目标导航目标导航课程标准课标解读1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的表面积和体积教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，得出它们的表面积公式，然后根据以前学习过的圆柱、圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式，再结合棱柱、棱锥、校台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式最后给出了球的表面积公式，并由球的表面积公式推导出了球的体积公式2.本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用，难点是推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算3.本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等知识精讲知识精讲知识点01圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝表面积：S＝圆锥底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝圆台上底面面积：S上底＝下底面面积：S下底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝【即学即练1】已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（

）．A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知识点02圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h【即学即练2】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为SKIPIF1<0，侧面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，体积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知识点03球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．2．球的体积公式V＝eq\f(4,3)πR3.反思感悟计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径．【即学即练3】生活中有很多球缺状的建筑．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠的面积公式为SKIPIF1<0，球缺的体积公式为SKIPIF1<0，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为SKIPIF1<0，则这两个球缺的体积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【即学即练4】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．圆柱SKIPIF1<0的母线长为1，圆柱的侧面积为SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是圆柱的轴截面，若SKIPIF1<0是下底面圆SKIPIF1<0的内接正三角形，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点G，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正切值为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2能力拓展能力拓展考法01圆柱、圆锥、圆台的表面积【典例1】已知二面角SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0与两个半平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别相切于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且球心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式训练】已知圆锥的顶点为点SKIPIF1<0，高是底面半径的SKIPIF1<0倍，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面圆周上的两点，当SKIPIF1<0是等边三角形时面积为SKIPIF1<0，则圆锥的侧面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考法02圆柱、圆锥、圆台的体积【典例2】一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径SKIPIF1<0相等，下列结论正确的是（

）A．圆柱的侧面积为SKIPIF1<0 B．圆锥的侧面积为SKIPIF1<0C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．球的体积是圆锥体积的两倍【变式训练】如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________.考法03球的表面积与体积【典例3】已知三棱锥SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式训练】如图，已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，P为母线SKIPIF1<0的中点．(1)求圆锥的表面积和体积；(2)若SKIPIF1<0为底面直径，求沿圆锥表面，点P到点B的最短距离．考法04简单组合体的表面积与体积典例如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的圆柱形孔，求打孔后的几何体的表面积和体积．[变式训练]玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址．玉琮王通高8.8cm，孔径4.9cm、外径17.6cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)()A．6250 B．3050C．2850 D．2350反思感悟(1)求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．(2)识别几何体的结构特征，提升直观想象素养．分层提分分层提分题组A基础过关练一、单选题1．已知四面体SKIPIF1<0的棱长都等于2，那么它的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知圆锥的侧面展开图为一个面积为SKIPIF1<0的半圆，则该圆锥的高为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．圆柱SKIPIF1<0的母线长为1，圆柱的侧面积为SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是圆柱的轴截面，若SKIPIF1<0是下底面圆SKIPIF1<0的内接正三角形，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点G，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正切值为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．24．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为SKIPIF1<0，则此圆锥的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题7．已知某球的表面积为SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）A．球的半径为2 B．球的体积为SKIPIF1<0 C．球的体积为SKIPIF1<0 D．球的半径为18．如图，四边形SKIPIF1<0是圆柱的轴截面，SKIPIF1<0是圆柱的一条母线，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．圆柱的侧面积为SKIPIF1<0 B．圆柱的侧面积为SKIPIF1<0C．圆柱的表面积为SKIPIF1<0 D．圆柱的表面积为SKIPIF1<0三、填空题9．若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．10．如图，SKIPIF1<0是边长为1的正方形，SKIPIF1<0是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴SKIPIF1<0旋转一周得到的旋转体的表面积为________________.11．将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_____________.12．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．四、解答题13．已知圆锥的底面半径为1，高为SKIPIF1<0，求圆锥的表面积.14．如图，△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．15．已知圆锥的表面积为SKIPIF1<0，其侧面展开图是一个半圆，求该圆锥的体积．16．已知球与正四面体的六条棱都相切，求球与正四面体的体积之比．题组B能力提升练一、单选题1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（

）A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶32．已知球的内接圆柱（圆柱的底面圆周在球面上）的高恰好是球的半径，则圆柱侧面积与球的表面积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，C点变为E点，当四面体SKIPIF1<0的体积最大时，四面体SKIPIF1<0的外接球的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知三棱锥SKIPIF1<0的四个顶点在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则过点SKIPIF1<0的平面截球SKIPIF1<0所得截面面积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题6．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知SKIPIF1<0，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（

）A．该半正多面体的体积为SKIPIF1<0B．该半正多面体过SKIPIF1<0三点的截面面积为SKIPIF1<0C．该半正多面体外接球的表面积为SKIPIF1<0D．该半正多面体的顶点数SKIPIF1<0、面数SKIPIF1<0、棱数SKIPIF1<0满足关系式SKIPIF1<07．已知三棱柱SKIPIF1<0的SKIPIF1<0个顶点全部在球SKIPIF1<0的表面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱柱SKIPIF1<0的侧面积为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0体积可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题8．表面积为SKIPIF1<0的球的体积是__________SKIPIF1<0．9．已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该三棱锥内切球的表面积为____________．10．已知球SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球，球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，正三角形SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值为______．11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若鳖臑SKIPIF1<0的外接球的体积为SKIPIF1<0，则阳马SKIPIF1<0的外接球的表面积等于_____