关于有限群论中的群群

关于有限群论中的群群

在本手册中，组是有限组，是素食者的集合是素食者的集合，当n的正整数为时，表示m是g的大组，用m=g表示m是g的大组，用rg：m=；g：m，用rg：ng表示n是团队g的正式组，而ng表示n是g的特征组。文本中的其他未提及的句子和符号是标准的。Frattini子群是有限群论中的一个重要子群,关于它的推广是引起众多作者兴趣的课题,这方面的研究已有丰富的结果,文讨论了如下的推广子群:设p是一给定素数,定义Φp(G)=∩{M|M<·G且|G:M|p=1};若G无极大子群M使|G:M|p=1,则令Φp(G)=G.S(G)=∩{M|M<·G,|G:M|p=1且|G:M|是合数};若G无极大子群M使|G:M|p=1且|G:M|是合数,则令S(G)=G.本文引进上述子群的推广.首先,我们规定:F0={Μ|Μ＜⋅G,|G:Μ|为π-数}‚F1={Μ|Μ∈F0,且|G:Μ|∈π}‚F2={Μ|Μ∈F0,且|G:Μ|∉π}.定义1若F0≠《,令Φ0(G)=∩{M|M∈F0},若F0=《,令Φ0(G)=G;若F1≠《,则令Φ1(G)=∩{M|M∈F1},若F1=《,令Φ1(G)=G;若F2≠《,令Φ2(G)=∩{M|M∈F2},若F2=《,令Φ2(G)=G.由定义1容易看到Φp(G)即π=p′的Φ0(G),S(G)即π=p′的Φ2(G).另外,显然有(1)Φi(G)⊲⊲G,i=0,1,2;Φ(G)≤Φ0(G)=Φ1(G)∩Φ2(G).(2)文中给出了G是p-超可解群的定义:令p是一个素数,如果群G的主因子或为p阶循环群或为p′-群,而群G是π-超可解群的充要条件为G是p-超可解群,∀p∈π.于是由定义1即得:G是π-超可解群的充要条件为G是π-可解群并且Φ2(G)=G.以下4个引理本文需要反复引用:引理1(文中定理7中的(i))设π=p′,p为给定素数,则Φ0(G)可解.引理2(文中定理8中的(ii))设p为给定素数,π=p′且G是π′-可解群,则Φ2(G)可解.引理3若K⊲G,则(1)Φ0(G)K/K≤Φ0(G/K),且当K≤Φ0(G)时,Φ0(G)/K=Φ0(G/K);(2)Φ1(G)K/K≤Φ1(G/K),且当K≤Φ1(G)时,Φ1(G)/K=Φ1(G/K);(3)Φ2(G)K/K≤Φ2(G/K),且当K≤Φ2(G)时,Φ2(G)/K=Φ2(G/K).引理3可如Frattini子群的相应结果类似地证明,略去.引理4(文中定理1.7)设π=p′且G是p-可解的,则Φ2(Φ2(G))=Φ2(G).注1Φi(G),i=0,1,2都可以不是可解群.例如令G为168阶单群,π={3},则Φ0(G)=G;令π={2,3},则Φ1(G)=G;令π={3,7},Φ2(G)=G.下面我们先讨论它们可解的条件及它们的一些重要性质.定理1设G是π′-可解群,则Φ0(G)可解.证明对群阶用归纳法.不妨设Φ0(G)≠1,且N是G的含于Φ0(G)的一个极小正规子群.由于G/N也是π′-可解群,故由引理3和归纳假设知Φ0(G)/N=Φ0(G/N)可解.若W是G的含于Φ0(G)的另一个极小正规子群,则同理可得Φ0(G)/W也可解.于是Φ0(G)=Φ0(G)/(N∩W)ue0acΦ0(G)/N×Φ0(G)/W可解.进一步,设B是G的另一个极小正规子群且Bue02aΦ0(G),设K/B=Φ0(G/B),于是由归纳假设知K/B可解,由引理3知Φ0(G)B/B≤K/B.由B的极小性有Φ0(G)∩B=1,故Φ0(G)=Φ0(G)∩B可解.所以可设N是G的唯一极小正规子群.因Φ0(G/N)=Φ0(G)/N,由归纳假设知Φ0(G)/N可解.又因G为π′-可解群,故N或为π-群,或为初等Abelp-群,p∈π′.若N为初等Abelp-群,p′∈π,则结论成立.故可设N是π-群.若Nue02aΦ(G),则存在M<·G,使Nue02aM,故G=MN,而|G:M|π′=|MN:M|π′=|N:M∩N|π′=1,于是M∈F0,故由定义1知Φ0(G)≤M,进而N≤M,从而G=M,矛盾.所以N≤Φ(G),于是由Φ(G)的幂零性知N可解.综上知Φ0(G)是可解群.定理2设G是π′-可解群,π′∩π(G)≠《,则Φ2(G)可解.证明对群阶用归纳法.可设Φ2(G)≠1且N是G的含在Φ2(G)的极小正规子群.若G/N为π-群,则由G为π′-可解知N为p-群,π′={p},从而π=p′,于是由引理2知Φ2(G)可解.故可设π′∩π(G/N)≠《,于是由引理3和归纳假设知Φ2(G)/N=Φ2(G/N)可解.以下同定理1的证明一样可设N是G的唯一极小正规子群.因G是π′-可解群,故N是π-群或p-群,p∈π′.若N是p-群,则Φ2(G)可解.故可设N是π-群.若N含在G的每个极大子群M∈F0内,则N≤Φ0(G),由定理1知N可解.故可设有M∈F0使Nue02aM,则G=MN,而且|G:M|∈π.设|G:M|=r,素数r∈π,考虑G在M的陪集表示,则|G||r!,由此得r=maxπ(G).对G的任意满足|G:K|r=1的极大子群K,若Nue02aK,则G=KN.因N是π-群,有|G:K|π′=|N:K∩N|π′=1,且如果|G:K|为合数,则N≤K矛盾.故|G:K|=s为一素数,因|G:K|r=1,故有s≠r.又用G在K上的陪集表示知|G||s!又得s=maxπ(G),此与r=maxπ(G)矛盾,故N≤K,由引理1知N可解.综上Φ2(G)是可解群.定理3设Φ2(G)=G.若G是π′-可解群,π′∩π(G)≠《,则Φ1(G)可解.证明对群阶用归纳法.不妨设Φ1(G)≠1且N为G的含在Φ1(G)的极小正规子群.若G/N为π-群,则由G为π′-可解知N为初等Abelp-群,p∈π′,于是π∩π(G)⊆p′.因为Φ2(G)=G,故Φ1(G)=Φ0(G).由定理1知Φ1(G)=Φ0(G)可解.故可设π′∩π(G/N)≠《,于是由引理3和归纳假设知Φ1(G/N)=Φ1(G)/N可解.以下同定理1的证明一样可设N是G的唯一极小正规子群且N≤Φ1(G).同上定理2一样可知或者Φ1(G)可解或者Φ1(G)/N可解.不妨设Φ1(G)/N可解,由Gπ′-可解知或者N为初等Abelp-群,p∈π′,或者N为π-群.若N为p-群,则Φ1(G)已是可解群.故可设N为π-群.若有M<·G使Nue02aM,则G=MN,且|G:M|=|N:M∩N|为π-数.由Φ2(G)=G有|G:M|∈π,因此M∈F1,从而N≤Φ1(G)≤M,于是G=M矛盾.所以Φ1(G)≤M,∀M<·G,因此Φ1(G)=Φ(G)为幂零群,故Φ1(G)可解.定理4若Φ0(G)是一个π-群,则Φ0(G)=Φ(G),并且G的Sylowp-子群是初等Abelp-群,∀p∈π′∩π(G).证明设有M<·G使Φ0(G)ue02aM,则G=MΦ0(G).由于Φ0(G)是π-群,则|G:Μ|π′=|ΜΦ0(G):Μ|π′=|Φ0(G):Μ∩Φ0(G)|π′=1,于是M∈F0,故Φ0(G)≤M.矛盾.因此Φ0(G)含于G的每个极大子群中,故Φ0(G)=Φ(G),定理的后一结论由此即得.定理5Z(G)≤Φ2(G),因而Z∞(G)≤Φ2(G).证明若F2=《,则Φ2(G)=G,结论显然成立.设F2≠《,令M∈F2,若Z(G)ue02aM,则G=Z(G)M,显然M⊲G,从而|G:M|为素数,矛盾.故Z(G)≤M,从而Z(G)≤Φ2(G).若Z(G)=1,则Z∞(G)=1≤Φ2(G).若Z(G)≠1,令ˉG=G/Ζ(G),由群阶归纳可得Φ2(ˉG)≥Ζ∞(ˉG),但Φ2(ˉG)=Φ2(G)/Ζ(G),Ζ∞(ˉG)=Ζ∞(G)/Ζ(G),故Z∞(G)≤Φ2(G).下面我们再利用Φ2(G)给出有限群的几个结构定理.定理6若G是使Φ2(G)非可解的极小阶群,Φ1(G)可解.则Φ1(G)=1,并且G有唯一极小正规子群N及一个无核极大子群M,使:(1)G=MN,|G:M|=maxπ(G)=maxπ(Φ2(G))∈π;(2)N是非Abel单群,N≤Φ2(G).证明由于Φ2(G)不可解,故Φ2(G)≠1,可设N是G的含于Φ2(G)的极小正规子群.由引理3和G的极小性知Φ2(G)/N=Φ2(G/N)可解.同定理1一样地可设N是G的唯一极小正规子群.因Φ1(G)可解,若N≤Φ1(G),则N可解,从而Φ2(G)可解,矛盾.故Nue02aΦ1(G).于是由N的唯一极小性知Φ1(G)=1且有M∈F1使Nue02aM.再由N的唯一极小性知∩x∈GΜx=1,即M是无核群,且G=MN,|G:M|=r∈π.用G在M陪集上的转置表示知|G||r!,故r=maxπ(G).因G=MN,|G:M|=|N:M∩N|=r,从而r||Ν|,而N≤Φ2(G),所以r=maxπ(Φ2(G)).再由N为G的极小正规子群知N是非Abel特征单群,又|N:M∩N|=r为素数,故N为非Abel单群.注2满足定理6的群G可以是非Abel单群.例如令G=A5,π={3,5},则N=Φ2(G)=A5,Φ1(G)=1满足定理6条件.定理7设G是使Φ2(G)非超可解的极小阶群,若G是π′-可解群,则或者(1)定理6的结论成立;或者有(2)G=Φ2(G)=NT,N是G的超可解剩余,也是G的唯一极小正规子群,|N|=ps,p∈π′,s>1;T是G的超可解投射子.证明因Φ2(G)不是超可解的,故Φ2(G)≠1.设N是G的含在Φ2(G)的极小正规子群,则如定理1一样可知N是G的唯一极小正规子群,因为G是π′-可解群,故N或者是初等Abelp-群,p∈π′,或者N是π-群.(1)若N是π-群,设K是G的任一极大子群,若Nue02aK,则|G:M|=|NK:K|=|N:N∩K|,故K∈F0,再由N≤Φ2(G)知Φ2(G)ue02aK,于是K∈F1,即有|G:K|∈π.若N可解,则N为初等Abelq-群,q∈π,于是N∩K⊲N,又N∩K⊲K,故N∩K⊲G,又由N的极小性知N∩K=1,所以有|N|=|G:M|=q,即N为循环群.再由引理3得Φ2(G/N)=Φ2(G)/N是超可解的,故Φ2(G)超可解.此与G是使Φ2(G)非超可解的群矛盾,所以N不可解.设N不可解,则N是非Abel单群.因Gπ′-可解,故由定理1知Φ0(G)=Φ1(G)∩Φ2(G)可解,所以Nue02aΦ1(G),由此知Φ1(G)=1.用定理6的类似证法可以证明此时定理6的结论在G中成立.(2)若N是初等Abelp-群,p∈π′,由Φ2(G)非超可解知|N|=ps,s>1.令SF是Φ2(G)的超可解剩余,则SF⊲⊲Φ2(G).又由G是使Φ2(G)非超可解的极小阶群,故Φ2(G/N)=Φ2(G)/N是超可解的,N是G的唯一极小正规子群,故SF=N.再因N是一个初等Abelp-群,由文中的定理有Φ2(G)=NT,T是Φ2(G)的超可解投射子,且N∩T=1.设X是使|Φ2(G):X|p=1的Φ2(G)的极大子群,显然N≤X,否则Φ2(G)=XN,从而|Φ2(G):X|p=|N|≠1,矛盾.因为|Τ:Τ∩X|p=|ΤX:X|p=|Φ2(G):X|p=1,所以X=N(T∩X)且T∩X包含T的一个Sylowp-子群.若T∩X不是T的极大子群,则存在H<·T,使T∩X<H<·T,进而X=N(T∩X)<NH<Φ2(G),此矛盾于X<·Φ2(G),故T∩X<·T.因T是超可解的,其极大子群的指数为素数,所以|Φ2(G):X|=|NT:X|=|XT:X|=|T:T∩X|为素数.再根据Φ2(G)的定义知Φ2(Φ2(G))=Φ2(G),因此若Φ2(G)≠G,则由G的极小性知Φ2(G)超可解,矛盾,所以有G=Φ2(G)=NT,N∩T=1.定理8设G是使Φ2(G)非超可解的极小阶群,若G是π′-可解群,π′∩π(G)≠《,则G=Φ2(G)=NT,N是G的超可解剩余,也是G的唯一极小正规子群,|N|=ps,p∈π′,s>1;T是G的超可解投射子.证明如定理7一样,可证明G有唯一的极小正规子群N且N≤Φ2(G).因为G是π′-可解群,其中π′∩π(G)≠《,由定理2知Φ2(G)可解,故N是初等Abelp-群.(1)若p∈π,则可如定理7的证明一样地导出矛盾.(2)若p∈π′,则可如定理7一样地证明定理8的结论成立.定理9设G是π′-可解群,π′∩π(G)≠《,则Φ2(G)是π-超可解群,因此Φ2(Φ2(G))=Φ2(G).证明对群阶用归纳法证明Φ2(G)是π-超可解的.不妨设N是含在Φ2(G)中的极小正规子群,由定理2知Φ2(G)可解,故N是初等Abelp-群.若π′∩π(G/N)=《,则π′∩π(G)={p},于是由引理4知Φ2