两个相互独立事件的性质

两个相互独立事件的性质

0多个相互独立事件的性质随机事件的独立性是一个重要的评估因素的一个重要概念，它不仅在理论上对实践具有重要的价值。然而，仅仅通过事件的相互独立来判断事件是否相互独立，尤其是在多起事件上。因此，研究相互独立事件的性质，并评估事件的相互独立性非常重要。一般来说，本书只提供两个事件的独立定义和性质，而对几个事件的定义仅提供相互独立和两部分独立的定义。本文以两个相互独立事件的性质为基础，介绍了几个相互独立事件的性质。1事件的类型ab定义1:设(Ω,R,P)为一概率空间,若,A∈R,B∈R,若P(AB)=P(A)·P(B),则称事件A,B相互独立.性质1:若事件A,B相互独立,则下列三对事件:ˉAA¯¯¯,B;A,ˉBB¯¯¯;ˉAA¯¯¯,ˉBB¯¯¯;亦相互独立.该性质的证明可见参考书目(1),本文不再赘述.2abcp-ab定义2:设(Ω,R,P)为一概率空间,A∈R、B∈R、C∈R,若A、B、C满足以下四个等式:则称事件A、B、C相互独立.若A、B、C仅满足前三个等式,则称事件A、B、C两两独立.性质2:若事件A、B、C相互独立,则下列23-1组事件:ˉAA¯¯¯、B、C;A、ˉBB¯¯¯、C;A、B、ˉCC¯¯¯;ˉAA¯¯¯、ˉBB¯¯¯、C;ˉAA¯¯¯、B、ˉCC¯¯¯;A、ˉBB¯¯¯、ˉCC¯¯¯;ˉAA¯¯¯、ˉBB¯¯¯、ˉCC¯¯¯亦相互独立.证明:(1)首先证明前六组事件相互独立,不妨以证明ˉAA¯¯¯、B、C相互独立为例.由于事件A、B、C相互独立,必两两独立.再由两个事件相互独立的性质可得,ˉAA¯¯¯、B、C必两两独立.又因为Ρ(ˉABC)=Ρ(BC-A)=Ρ(BC)-Ρ(ABC)P(A¯¯¯BC)=P(BC−A)=P(BC)−P(ABC),再根据A、B、C相互独立可得:Ρ(ˉABC)=Ρ(B)Ρ(C)-Ρ(A)Ρ(B)Ρ(C)=Ρ(ˉAΡ(B)Ρ(C)P(A¯¯¯BC)=P(B)P(C)−P(A)P(B)P(C)=P(A¯¯¯P(B)P(C)故事件ˉAA¯¯¯、B、C相互独立.同理可证A、ˉBB¯¯¯、C;A、B、ˉC亦相互独立.(2)证明事件ˉA、ˉB、ˉC相互独立由于A、B、C两两独立及两个事件相互独立的性质可得,ˉA、ˉB、ˉC必两两独立.又因为Ρ(ˉAˉBˉC)=Ρ(¯A∪B∪C)=1-Ρ(A∪B∪C)=1-P(A)-P(B)-P(C)+P(BC)+P(AB)+P(AC)-P(ABC)=Ρ(ˉA)-Ρ(B∪C)+Ρ(AB∪AC)再根据A、B、C相互独立可得Ρ(ˉAˉBˉC)=Ρ(ˉA)-Ρ(B∪C)+Ρ(A)Ρ(B∪C)=Ρ(ˉA)[1-Ρ(B∪C)]=Ρ(ˉA)Ρ(¯B∪C)=Ρ(ˉA)Ρ(ˉBˉC)=Ρ(ˉA)Ρ(ˉB)Ρ(ˉC)故事件ˉAˉBˉC相互独立.性质3:若事件A、B、C相互独立,则其中任两个事件的并、差、交必与另一个事件相互独立.证明:(1)证明任两个事件之并与第三个事件相互独立,不妨以证明A∪B与C相互独立为例.由于P[(A∪B)C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)再根据A、B、C相互独立,可得P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(C)[P(A)+P(B)-P(AB)]=P(C)P(A∪B))故事件A∪B与C相互独立.同理可证:事件A∪C与B相互独立,B∪C与A相互独立.(2)证明任两个事件之差与第三个事件相互独立,不妨以证明A-B与C相互独立为例.由于Ρ[(A-B)C]=Ρ(AˉBC)=Ρ(A)+Ρ(ˉB)Ρ(C)=Ρ(A-B)Ρ(C)故事件A-B与C相互独立.同理可证:事件A-C与B相互独立,B-C与A相互独立.(3)证明任两个事件之交与第三个事件相互独立,不妨以证明AB与C相互独立为例.由于P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)故事件AB与C相互独立.同理可证:事件AC与B相互独立,BC与A相互独立.3aaa定义3:设(Ω,R,P)为一概率空间Ai∈R(i=1,2,…,n),若A1,A2,…,An满足对任意s(1<s≤n)及任意ik(k=1、2、…s,1≤i1<i2<…<is≤n)有Ρ(s∩k=1Aik=s∏k=1Ρ(Aik),则称事件A1,A2,…An相互独立.性质4:若事件A1,A2,…,An相互独立,则下列2n-1组事件:Ai1⋯Aik-1ˉAikAik+1⋯Ain(1≤ik≤n);Ai1⋯ˉAik1⋯ˉAik2⋯Ain(1≤ik1<ik2≤n);Ai1⋯ˉAik1⋯ˉAik2⋯ˉAik3⋯Ain(1≤ik1<ik2<ik3≤n);…;ˉA1ˉA2…ˉAn亦相互独立.(注:Ai1⋯Aik-1ˉAikAik+1⋯Ain(1≤ik≤n)相互独立,表示C1n组事件相互独立;Ai1⋯ˉAik1⋯ˉAik2⋯Ain(1≤ik1<ik2≤n)相互独立,表示C2n组事件相互独立;Ai1⋯ˉAik1⋯ˉAik2⋯ˉAik3⋯Ain(1≤ik1<ik2<ik3≤n)相互独立,表示C3n相互独立,ˉA1ˉA2…ˉAn相互独立,表示Cnn组事件相互独立,故若A1,A2,…,An相互独立,则有22-1组事件相互独立.)下面利用数学归纳法对性质4加以证明,显然当n=3时结论成立,设结论对n-1成立,现证结论对n成立.证明:(1)证明前C1n+C2n组事件Ai1⋯Aik-1ˉAikAik+1⋯Ain(1≤ik≤n)相互独立,不妨以证明ˉAi1Ai2…Ain相互独立为例.由于结论对n-1成立,所以ˉAi1Ai2…Ain中任n-1个事件相互独立.又因为Ρ(ˉAi1Ai2⋯Ain)=Ρ(Ai2⋯Ain-Ai1)=Ρ(Ai2⋯Ain)-Ρ(Ai1Ai2⋯Ain)再根据A1,A2,…An相互独立,可得Ρ(ˉAi1Ai2⋯Ain)=Ρ(Ai2⋯Ain)-Ρ(Ai1)Ρ(Ai2⋯Ain)=Ρ(Ai2⋯Ain)Ρ(ˉAi1)=Ρ(ˉAi1)n∏k=2Ρ(Aik)故事件ˉAi1Ai2…Ain相互独立.同理可证:Ai1⋯ˉAik⋯Ain(1≤ik≤n)相互独立.(2)证明事件ˉA1ˉA2…ˉAn相互独立.由于结论对n-1成立,所以ˉA1ˉA2…ˉAn中任n-1个事件相互独立.又因为Ρ(ˉA1ˉA2⋯ˉAn)=Ρ(ˉA1ˉA2⋯ˉAn-1-An)=Ρ(ˉA1ˉA2⋯ˉAn-1)-Ρ(ˉA1ˉA2⋯ˉAn-1An)=Ρ(ˉA1ˉA2⋯ˉAn-1)-Ρ(ˉA1ˉA2⋯ˉAn-1)Ρ(An)故事件ˉA1ˉA2…ˉAn相互独立.性质5:若事件A1,A2,…,An相互独立,则其中任i(2≤i≤n-1)个事件之并及交必与其余n-1个事件相互独立;其中任两个事件之差必与其余n-2个事件相互独立.证明:(1)证明中任A1,A2,…,An中任i(2≤i≤n-1)个事件之并必与其余n-1个事件相互独立,不妨以证明B=i∪k=1AΚ与AI+1…An相互独立为例.首先证明B与Ai+1…An两两独立.利用概率的多除少补性质及A1,A2,…,An相互独立的定义,可得Ρ(BAj)=Ρ(i∪k=1AΚAj)=i∑Κ=1Ρ(AkAj)-∑1≤k1<k2≤iΡ(Ak1Ak2Aj)+∑1≤k1<k2<k3≤nΡ(Ak1Ak2Ak3Aj)-⋯+(-1)iΡ(A1A2⋯AiAj)=Ρ(Aj)[i∑k=1Ρ(Ak)-∑1≤k1<k2≤iΡ(Ak1Ak2)+∑1≤k1<k2<k3≤iΡ(Ak1Ak2Ak3)-⋯+(-1)iΡ(A1A2⋯Ai)]=Ρ(Aj)Ρ(i∪k=1AΚ)=Ρ(Aj)Ρ(B)(j=i+1,⋯,n)故事件B=i∪k=1AΚ与Ai+1…An两两独立.同理可证:A1,A2,…,An中任i(2≤i≤n-1)个事件之并与其余n-1个事件两两独立.然后证明B,Ai+1,…,An中任三个事件相互独立.由于Ai+1…An相互独立,所以其中任三个事件也相互独立,现只要证B与Ai+1…An中任两个事件相互独立即可.不妨以证明B与Aj1、Aj2(i<j1<j2≤n)相互独立为例.利用概率的多除少补性质及A1,A2,…,An相互独立的定义,可得Ρ(BAj1Aj2)=Ρ(i∪k=1AΚAj1Aj2)=i∑k=1Ρ(AkAj1Aj2)-∑1≤k1<k2≤iΡ(Ak1Ak2Aj1Aj2)+∑1≤k1<k2<k3≤iΡ(Ak1Ak2Ak3Aj1Aj2)-⋯+(-1)iΡ(A1A2⋯AiAj1Aj2)=Ρ(Aj1)Ρ(Aj2)[i∑k=1Ρ(Ak)-∑1≤k1<k2≤iΡ(Ak1Ak2)+∑1≤k1<k2<k3≤iΡ(Ak1Ak2Ak3)-⋯(-1)iΡ(A1A2⋯Ai)]=Ρ(Aj1)Ρ(Aj2)Ρ(i∪k=1AΚ)=Ρ(B)Ρ(Aj1)Ρ(Aj2)又由于B与Aj1、Aj2两两独立,所以B与Aj1、Aj2相互独立.同理可证:A1,A2,…,An中任i个事件之并与其余n-1个事件中的任三个事件相互独立.显然我们用类似的方法可证得B=i∪k=1AΚ与Aj1,Aj2,…,Ajn-1(i<j1<j2<…<jn-1≤n)中任四个事件,任五个事件相互独立,…,乃至Aj1,Aj2,…,Ajn-1相互独立.同理可证:A1,A2,…,An中任i个事件之并与其余n-i个事件相互独立.(2)证明A1,A2,…,An中任两个事件之差与其余n-2个事件相互独立.不妨以证明B=A1-A2与A3,…,An相互独立为例.由于B=A1=A2=A1ˉA2,根据性质4可知A1ˉA2与A3,…,An相互独立.同理可得A1,A2,…,An中任两个事件之差与其余n-2个事件相互独立.(3)证明A1,A2,…,An中任i个事件之交与其余n-i个事件相互独立.由n个事件相互独立的定义,显而易见若A1,A2,…,An相互独立,则其中任i个事件之交与其余n-i个事件相互独立.4事件相互独立的性质从下面的例题中我们可见利用相互独立事件的性质判断某些事件的独立性将是很方便的.例如1998年全国硕士研究生入