有限群的结构和可解性英文

有限群的结构和可解性英文

0中心化子群的组成交换组的中心化子和正规化子对有限组的结构有很强的控制作用，这一点在许多研究中得到了证明。例如，当zasenhaus证明每个交换组a（g）的组合大于g时，g是交换的。陈崇穆在[2]中证明，当g的任何交换p-p子组的正规化子大于g时，g就是交换。当syp-p子组的大多数正规化子对应于中心化子时，g是交换对象。当syp-p子组p（c）=ng（p）时，g是零的p-m[3，章2，属性5.4]。miyamoto在中证明，g的每个交换组a都具有ng（a）、cs（a）和ct（a）的异质结。李世荣在中提供了几种a-c（a）或ct（a）=ng（a）的有限组的完整分类。此外，石江涛等人还利用一些交换组的中心化子和正规化子获得了一些有限组的充分条件。极小子群是特殊的交换子群,本文利用极小子群的中心化子和正规化子对若干有限群的结构进行了刻画,文中并给出了非平凡交换子群个数≤4的有限群的完全分类.文中所使用的符号G=[N]H表示G是N与H的半直积,Ν⊲GN⊲G.其他符号都是标准的,同.本文所涉及的群都是有限群.1y过滤p-p的m超可解定义1.1称群G为A-群,若G可解且其每个Sylow子群均交换.见(,第6章,定义14.1).引理1.1若G是内循环群,则G为pαq阶q-基本群,或p2阶初等交换群,或四元数群.证明见(,第2章,定理2.4).引理1.2()设G为内超可解群,则(1)G=PM,P为G的正规Sylowp-子群,M超可解,P/Φ(P)为G/Φ(G)的极小正规子群,且P非循环.(2)若p>2,exp(P)=p;若p=2,exp(P)≤4,此时G为内幂零群.(3)当P为Abel群时,P为初等Abel群.(4)当P为非Abel群时,Φ(P)=Z(P)=P′.(5)存在x∈P\Φ(P),使得<x>不正规于G.引理1.3设p为|G|的最小素因子,P∈Sylp(G),若P循环,则G有正规p-补.证明见(,第2章,定理5.5).引理1.4设有限群G的所有Sylow子群皆为循环群,若G交换,则G为循环群;若G非交换,则G为由下列定义关系确定的亚循环群:G=<a,b>,am=bn=1,b-1ab=ar,((r-1)n,m)=1,rn≡1(modm),|G|=nm.证明见(,第5章,定理6.2).引理1.5内2-闭群定义关系如下:G=<a,b>,a2α=bq=1,a-1ba=b-1,q为奇素数.证明见(,第4章,定理4.5).2g为1,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p为2,p提供了多个极小群及亚循环群定理2.1设G为有限群,则G循环当且仅当对每个极小子群X均有NG(X)循环.证明必要性显然成立.下证充分性,设G为极小阶反例,显然定理条件对子群遗传,则G为内循环,由引理1.1,则G为pαq阶q-基本群,或p2阶初等交换群,或四元数群.若G为pαq阶q-基本群,取极小子群X≤G,|X|=q,则NG(X)=G非循环,矛盾,故G不为pαq阶q-基本群.若G为p2阶初等交换群,任取极小子群X≤G,NG(X)=G非循环,矛盾,故G不为p2阶初等交换群.若G为四元数群,设X为G的极小子群,NG(X)=G非循环,矛盾,故G不为四元数群,因此极小阶反例不存在,故G循环.注:上述定理条件若限制为“对每个极小子群X均有CG(X)循环”,则G不一定循环.例如,对称群S3满足条件,但S3非循环.但有下述结论成立:定理2.2设G为有限群,且对每个极小子群X均有CG(X)循环,则(1)G为超可解群;(2)G的所有Sylow子群皆循环,从而G为引理1.4定义的循环群或亚循环群.证明(1)设G为极小阶反例,显然定理条件对子群遗传,则G为内超可解群,由引理1.2知G有非循环的Sylowp-子群P>1,于是Z(P)>1.取x∈Z(P),o(x)=p,则P≤CG(<x>),由假设GG(<x>)循环,但P非循环,矛盾,因此极小阶反例不存在,故G超可解.(2)设P为G的任一Sylow子群,P>1,则Z(P)>1,取x∈Z(P),o(x)=p,则P≤CG(<x>),由假设CG(<x>)循环,所以P循环.从而G为引理1.4定义的循环群或亚循环群.定理2.3设G为有限群,且对每个极小子群X,均有NG(X)交换,则(1)G为2-闭;(2)G=[H]K,其中H为交换Hall-子群,K为奇数阶A-群.证明设P为G的任一Sylow子群,P>1,则Z(P)>1,取极小子群X≤Z(P),则P=NP(X)≤NG(X),于是P交换.下证G为2-闭,若G非2-闭,则存在K1≤G,使得K1为内2-闭,由引理1.5,K1=<a,b>,a2α=bq=1,a-1ba=b-1,q为奇素数,则K1=NK1(<b>)≤NG(<b>),K1交换,矛盾,故G为2-闭,从而G可解.令G=[Η]Κ,Η=<Ρi∈Sylpi(G)|Ρi⊲G>,Κ=<Ρj∈Sylpj(G)|ΡjG=[H]K,H=<Pi∈Sylpi(G)|Pi⊲G>,K=<Pj∈Sylpj(G)|Pj不正规于G>.显然H幂零,于是H交换,又G为2-闭,于是K为奇数阶A-群.注:若上述定理条件改为“对每个极小子群X均有CG(X)交换”,则定理结论不一定成立.例如,对称群S3满足条件,但S3=[P]Q,P=<(123)>,Q=<(12)>.但有下述定理成立:定理2.4设有限群G的2阶子群皆次正规,且对每个极小子群X均有CG(X)交换,则(1)G为2-闭;(2)G=[H]K,其中H为交换Hall-子群,K为奇数阶A-群.证明设P为G的任一Sylow子群,P>1,则Z(P)>1,取极小子群X≤Z(P),则P=CP(X)≤CG(X),于是P交换.下证G为2-闭,若G非2-闭,则存在K1≤G,使得K1为内2-闭,由引理1.5,K1=<a,b>,a2α=bq=1,a-1ba=b-1,q为奇素数,若α=1,由假设<a>ᐊᐊG,于是<a>ᐊᐊK1,进而<a>⊲Κ1,Κ1<a>⊲K1,K1为2-闭,矛盾.下设α>1,令X=<a2α-1>,o(a2α-1)=2,又<a2α-1><b>=<a2α-1>×<b>,于是X≤Z(K1),K1=CK1(X)≤CG(X),K1交换,矛盾,故G为2-闭,从而G可解.令G=[Η]Κ,Κ>1,Η=<Ρi∈Sylpi(G)|Ρi⊲G>,Κ=<Ρj∈Sylpj(G)|ΡjG=[H]K,K>1,H=<Pi∈Sylpi(G)|Pi⊲G>,K=<Pj∈Sylpj(G)|Pj不正规于G>.显然H幂零,于是H交换,又G为2-闭,于是K为奇数阶A-群.注:定理2.3、定理2.4中的群G不一定超可解.例如,交错群A4满足定理条件,但A4非超可解.定理2.5设G为有限群,且对每个极小子群X均有X=CG(X),则G=Zp或G=[Zp]Zp,其中p>q,p,q为互异素数.证明若G交换,设X为G的任一极小子群,于是由假设有X=CG(X)=G,G为素数阶循环群.若G非交换,∀P∈Sylp(G),设|P|=pn,X为P的任一极小子群,若n>1,则CG(X)≥CP(X)>X,由假设知矛盾.故n=1,|G|无平方因子,由引理1.4知G为亚循环群,则存在循环子群Ν⊲GN⊲G,使得G/N循环,由于G非交换,则1<N<G,G/N>1.设X为N的任一极小子群,由假设X=CG(X),于是X=CN(X)=N,不妨设|N|=p,又G/N循环,且G/N>1,不妨设G/N=<xN>=<x>N/N,G=<x>N,设B为<x>的任一极小子群,由假设B=CG(B),于是B=C<x>(B)=<x>,由于|G|无平方因子,且G/N>1,则|<x>|=q≠p,于是|G|=pq,G=[Zp]Zq,其中p>q,p,q为互异素数.推论2.1设G为有限群,且对每个极小子群X均有X=NG(X),则G=Zp.证明设X为G的任一极小子群,则由假设X=NG(X)=CG(X),若G不为p阶循环群,由定理2.5知G=[Zp]Zq,其中p>q,p,q为互异素数,则Zp<G=NG(Zp),由假设知矛盾,故G=Zp.定理2.6设有限群G>1,下述结论成立:(1)G仅