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五年级A册第七讲第1节有梦想就会有奇迹黄冈奥数头脑思维容斥原理1脑筋急转弯：老师家的院子里有2个爸爸和2个儿子，请问老师要端多少杯茶过去才够他们每人一杯？

最多2＋2=4人最少2＋2－1=3人2＋2=4包含4－1=3排除

在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，会出现两种情况：帮助我们解决包含与排除问题的手段有图示法（韦恩图）。

总体＝各部分之和BABAA+B—AB=总体容斥原理（包含与排除）BAA+B=总体ABA=总体总体＝总的部分之和-重复的部分第一种情况：统计的两部分互相独立不重叠，统计的总体包含所统计的两部分，等于这两部分的和；第二种情况：统计的两部分有重叠，统计的总体等于所统计的两部分之和，然后再排除它们重叠的部分；通过两种方法可以使计算的结果即无遗漏有无重复。这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题。例题1：某班学生每人至少订一种报纸，订《少年报》的有17人，订《科技报》的有23人，两种报纸都订的有5人，全班共有多少人？1、画出韦恩图。

2、找出图中各个部分的意义

3、全班的总人数=17＋23=40，对吗？

17人23人5人两种报都订的人数订《少年报》人数订《科技报》的人数完全解题：17+23-5

＝40-5

＝35（人）

答：全班共有35人。小结：解决容斥问题通常用韦恩图来帮助分析数量关系。重复计算的部分应用减法将其排除。例题2：有若干名旅客，其中有10人不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，既懂英语又懂俄语的有68人，问一共有多少名旅客。

①这些旅客里共有四类，第一类是英语和俄语都不懂的第二类是只懂英语的，第三类是只懂俄语的，第四类是英语和俄语都懂的。

②画韦恩图表示为：分析注意：懂英语的75人中包含了两种语言都懂的68人，懂俄语的83人里也包含了两种语言都懂的68人

完全解题

懂英语的75人中包含了两种语言都懂的68人，懂俄语的83人里也包含了两种语言都懂的68人。所以，旅客总人数＝懂英语的人数+懂俄语的人数-两种语言都懂的人数+两种语言都不懂的人数。

解：75+83-68+10＝100（人）

答：一共有100名旅客。

小结：容斥原理：两个集合A、B相交合并成一个集合C，C的元素个数等于A、B的个数和减去A、B的公共元素的个数。即：C＝A+B-AB或AB＝A＝B-C。例题3：王老师出了两道题，全班40人中，第1题有30人对，第2题有12人未做对，两题都做对的有20人。第2题对而第1题不对的有几个人？两题都不对的有几人？①第2题对而第1题不对的有几个人？②两题都不对的有几人？分析DACB③画韦恩图④A、B、C、D各个部分的数学意义。

完全解题

30-20=10（人）（第1题对但第2题不对的人数）

12-10=2（人）（两题都不对的人数）

40-2-30=8（人）

答：第2题对而第1题不对的有8人，两题都不对的有2人。

小结：理解韦恩图各个部分的数学意义是解题的前提。课

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