北师大版九年级数学上册 专题3.11 垂径定理专题训练（基础篇）（专项练习）

专题3.11垂径定理专题训练（基础篇）（专项练习）一、知识回顾：1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2、垂径定理的推论：平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.垂径定理的应用：构造由半径、半弦（弦的一半）、弦心距组成直角三角形，勾股定理解决问题常见作辅助线方法有：连接半径过圆心作弦的垂线常见的图形变形H为半径中点一、单选题1．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．无法确定2．如图，半圆的直径，为圆心，为的中点，，交于点，则弦的长为（）A． B． C． D．3．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（）A．4 B．5 C．8 D．164．如图，是的直径，弦于点E，，的半径为6，则弦的长为（）

A．6 B． C．3 D．65．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为（）A． B． C． D．46．如图，是的直径，将一块直角三角板的角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与交于E、F两点，若点F是弧的中点，的半径是4，则弦的长为（）A． B． C．6 D．7．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（）A．50m B．40m C．30m D．25m8．如图，是的直径，弦于点，，，则的长是（）A． B． C． D．9．如图，在中，直径，垂足为M．若，则的半径为（）A．0.2 B．2.6 C．2.4 D．410．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．14cm D．16cm二、填空题11．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．12．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_____．13．如图，是的直径，弦于点，且，则的半径为__________．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______．15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．16．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为____m．17．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为______．18．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．19．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB=_________cm．20．如图所示，半径为的内两条相互垂直的弦，交于点，，，则=______.21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为_____．22．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为______．23．已知的半径为，弦，是上任意一点，则线段的最小值为_____．24．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC=______．25．如图，是的直径，弦，垂足为点H．若，，则的半径长为____________．26．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为________．27．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=_____．28．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为_______cm．29．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是____．30．如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=_____________．31．如图，⊙O的半径为5，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=8，∠P=30°，则弦AB的长为___．32．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为______．33．如图，的直径，弦，垂足为，，则的长为______．

34．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=8，EM=8，则⊙O的半径为_________．35．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是__________cm．三、解答题36．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．37．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．（1）求OD的长．（2）求EC的长．38．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD=AN；（2）若AE=，ON=1，求⊙O的半径．参考答案1．C【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．解：连接OA，∵为的直径，弦，∴AE=AB=3，设OA=OC=x，则OE=x-1，∴，解得：x=5，∴的半径为5．故选C．【点拨】本题主要考查垂径定理和勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．2．A【分析】连接，利用垂径定理和勾股定理求解即可得到答案．解：如图所示，连接，∵，，∴，∴，即．∵，∴，∵为的中点，∴，在中，，，∴，∴．故选A．【点拨】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．C【分析】根据垂径定理得出CM=DM，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，从而得出CD．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CM=DM，∵AM=2，BM=8，∴AB=10，∴OA=OC=5，在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，∴CM==4，∴CD=8．故选：C．【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握定理的内容并熟练地运用是解题的关键．4．D【分析】连接，根据垂径定理可得，由，可得，进而证明，可得，进而可得为等边三角形，进而求得，即可求得．解：连接，如图，

是的直径，弦又为等边三角形，故选D【点拨】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，添加辅助线证明是解题的关键．5．A【分析】如图，过点作于，根据已知条件求得勾股定理求得，由垂径定理可得，进而可得的长．解：如图，过点作于，则，，，，，，，，．故选A．【点拨】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．6．A【分析】设DE交OB于点M，根据F为弧DE中点，得出∠AOF=∠FOD=60°，OF⊥DE，可求出DE=2DM，求出∠EDO=∠DEO=30°，求出OM，即可求出DM，即可求解．解：如图，设DE交OB于点M，∵点F是弧的中点，∴∠AOF=∠DOF=60°，OF⊥DE，∴DE=2DM，∴∠EDO=∠DEO=（180°-60°-60°）=30°，∵的半径是4，∴OM=OD=2，在中，由勾股定理得：，∴DE=2DM=．故选：A．【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．7．D【分析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC＝AB＝75m，再由勾股定理求出OC＝100m，然后求出CD的长即可．解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，则OA＝OD＝×250＝125（m），AC＝BC＝AB＝×150＝75（m），∴OC＝＝＝100（m），∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m），即这些钢索中最长的一根为25m，故选：D．【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．8．A【分析】由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出的长度．解：弦于点，cm，cm，在中，cm，（cm），cm，故选：A．【点拨】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键．9．B【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可．解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2，∴CM=DM=1，在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，R2=（5-R）2+1²，解得R=2.6．故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．10．D【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB=48cm，∴BD=AB=×48=24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB=OC=26cm，在Rt△OBD中，（cm），∴CD=OC-OD=26-10=16（cm），故选：D．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11．．【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用点坐标得出原点位置即可得出答案．解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），据此建立平面直角坐标系如下图所示，连接，，作，的中垂线，交点是点则，该圆弧所在圆的圆心坐标是：．故答案是：．【点拨】本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键．12．【分析】过点作交于点,连接，由折叠的性质可知：，根据勾股定理可求出的长，再由垂径定理可得;即可得出答案．解：如图所示，过点作于，连接，，，，在中，由勾股定理得：，由垂径定理得：．故答案为：．【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．13．【分析】根据垂径定理得出CE=DE，再由勾股定理得出OD2=DE2+（AE-OA）2，代入求解即可．解：∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD，∵AE=CD=6，∴CE=DE=3，∵OD=OB=OA，OE=AE-OA，在Rt△ODE中，由勾股定理可得：OD2=DE2+（AE-OA）2，即：OD2=32+（6-OD）2，解得：OD=，∴⊙O的半径为：，故答案为：．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．14．4-解：试题解析：如图，连接OC.∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，∵在中,故答案为:15．10【分析】根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦×矢+矢2）即可得到结论．解：∵弦米，半径弦，∴，∴，∴，∴弧田面积（弦×矢+矢2），故答案为10【点拨】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．16．4．【分析】由CD⊥AB，根据垂径定理得到AD＝DB＝8，再在Rt△OAD中，利用勾股定理计算出OD，则通过CD＝OC−OD求出CD．解：∵CD⊥AB，AB＝16，∴AD＝DB＝8，在Rt△OAD中，AB＝16m，半径OA＝10m，∴OD＝＝6，∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．故答案为4．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．17．(6,0)解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）∴MB=MA=4-2=2，∴点B的坐标为(6,0)18．【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．解：由题意得：，，，，，是等腰直角三角形，，故答案为：．【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．19．解：连接AC、BC，则∠CAH=30°，AC=，根据勾股定理AH=，故AB=20．.【解析】【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，先求出OM，ON，进而证得四边形OMPN是矩形，所以OP=PM，利用勾股定理可以求出OP的长．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，由垂径定理得：∵弦AB、CD互相垂直，

∴∠DPB=90°，

∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，

∴∠OMP=∠ONP=90°

∴四边形MONP是矩形，故答案为：【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．21．【分析】连接OC，可知，点E为CD的中点，设⊙O的半径为xcm，在Rt△OEC中，OE=OB-BE=x-2，根据勾股定理，求得x值即可．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝×6＝3，设⊙O的半径为xcm，则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝32+（x﹣2）2，解得：x＝，∴⊙O的半径为，故答案为．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.22．26解：试题分析：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE，设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2，即r2=52+（r﹣1）2，解得：r=13，所以CD=2r=26，即圆的直径为26．【考点】垂径定理的应用．23．4【分析】由点到直线的距离，垂线段最短，连接作ON⊥AB，直接利用垂径定理得出AN的长，再结合勾股定理得出答案．解：连接作ON⊥AB，根据垂径定理，AN=AB=×6=3，根据勾股定理，ON=，即线段OM的最小值为：4．故答案为：4．【点拨】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，垂径定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题关键．24．4解：试题解析：如图，连接BD；∵直径AD⊥BC，∴BE=CE=BC=6；由勾股定理得：AE=；∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°；由射影定理得：AB2=AE•AD∴AD==∴OC=AD=.考点：垂径定理.25．13【分析】连接，先根据垂径定理可得，再在中，利用勾股定理即可得．解：如图，连接，是的直径，弦，，，设的半径长为，则，，，在中，，即，解得，即的半径长为13，故答案为：13．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．26．cm【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长即可．解：如图：作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得：OD＝OA＝1cm，再根据勾股定理得：AD＝＝＝cm，由垂径定理得：AB＝2cm．故答案为：cm．【点拨】本题考查了垂径定理，根据题意构造垂径、应用勾股定理是解答本题的关键.27．2【分析】根据垂径定理得到CE=CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OB与OE的差即可．解：连接OC∵弦CD⊥AB，CD=8，∴CE=CD=4，在Rt△OCE中，∵OC=5，CE=4，由勾股定理得，∴OE=，∴BE=OB−OE=5−3=2．故答案为：2．【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理.利用垂径定理求出CE的长，再利用勾股定理求出OE的长是解题的关键．28．．解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OD⊥AB，∴AD=AB=（9﹣1）=4．设OA=r，则OD=r﹣3，在Rt△OAD中，OA2﹣OD2=AD2，即r2﹣（r﹣3）2=42，解得r=（cm）．29．【分析】根据题意在中求出，利用垂径定理得出结果．解：由题意，在中，，，由垂径定理知，，故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．30．5.解：试题解析：点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），但不管点P如何动，因为OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，根据垂径定理，E为AP中点，F为PB中点，EF为△APB中位线．根据三角形中位线定理，EF=AB=×10=5．考点：1.垂径定理；2.三角形中位线定理．31．6【解析】试题解析：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，则AC=BC，∵OP=8，∠APO=30°，∴OC=4，在Rt△OAC中，OA=5，OC=4，∴AC=3，∴AB=2AC=6．32．【解析】【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值.解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，

∴BE=AB=4，CF=CD=3，

∴OE===3,OF===4,∴CH=OE+OF=3+4=7，

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在Rt△BCH中根据勾股定理得到BC===.故答案为：.【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题及垂径定理、勾股定理．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．33．24【分析】连接，先根据求出的长，再在中，利用勾股定理可得的长，然后利用垂径定理即可得．解：如图，连接，

的直径，，，，，，，故答案为：24．【点拨】本题考查了勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．34．5【分析】根据垂径定理得EM⊥CD，则CM=DM=4，在Rt△COM中，由勾股定理得OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC即可．解：连接OC，如图所示：∵M是⊙O弦CD的中点，CD=8，∴EM⊥CD，CM=DM=CD=4，设⊙O的半径为x，在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2=CM2+OM2，即：x2=42+(8-x)2，解得：x=5，即⊙O的半径为5，故答案为：5．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．6【分析】过点作于，连，根据垂径定理得，在中，，，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到，再利用勾股定理计算出，由得到答案．解：过点作于，连，如图则，在中，，，则，在中，，，则，则．故答案为6．【点拨】本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．36．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由OD⊥ACOD为半径，根据垂径定理，即可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．解：（1）∵OD⊥ACOD为半径，∴，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵AB为⊙O