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文档简介

第四节复合函数求导

法则及其应用一、复合函数求导法则二、初等函数的求导问题三、一阶微分的形式不变性四、隐函数的导数五、对数求导法六、参数形式的函数的求导公式2021/5/91一、复合函数求导法则而函数在处可导，则复合函数定理4.4.1(复合函数求导法则

)设函数在可导，在可导，且有:即

证明：由在可导也即可微2021/5/92

又由在可导，因此

而

于是

令则2021/5/93复合函数的求导法则可以写成:即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则.

复合函数的微分公式为:2021/5/94解:例4.4.1推广2021/5/95解:例4.4.2例4.4.3解:2021/5/96二、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式2021/5/972.函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x),v=v(x)可导，则2021/5/983.复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.例4.4.4解:2021/5/99设函数有导数（1）若x

是自变量时，三、一阶微分的形式不变性（2）若x是中间变量时，即是另一变量t的可微函数则.2021/5/910结论：不论x是自变量还是中间变量，函数的微分形式总是.例4.4.5设,求.解:例4.4.6设，求.2021/5/911四、隐函数的导数解:定义4.4.1由方程所确定的函数称为隐函数。隐函数的显化问题:

隐函数不易显化或不能显化如何求导?2021/5/912隐函数求导法则:

用复合函数求导法则直接对方程两边求导,或利用一阶微分的形式不变性对方程两边求微分.例4.4.7的导数.解:法一、方程两边对x

求导(注:y看成x

的函数)求由方程确定的隐函数2021/5/913法二、方程两边同时求微分例4.4.8设曲线C

的方程为，2021/5/914求过C上点的切线方程，并证明曲线C

在该点显然通过原点.解:所求切线方程为的法线通过原点.2021/5/915五、对数求导法

先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:例4.4.9解:等式两边取对数得2021/5/916例4.4.10解:等式两边取对数得2021/5/917六、参数形式的函数的求导公式定义4.4.2若参数方程确定

x与y间的函数关系，称此为参数形式的函数.例如消去参数2021/5/918问题:消参困难或无法消参的如何求导？在方程中，设和在即

在上严格单调且，上可导,上存在反函数

由反函数求导法则，在由复合函数求导法则:

从而且成立2021/5/919也可以直接求微分两边相除，得

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