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第一节复变函数积分的概念一、积分的定义三、积分存在的条件及其计算法二、积分的性质四、小结与思考2021/5/91一、积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,2021/5/92简单闭曲线正向的定义:

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:

在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.2021/5/932.积分的定义:2021/5/94(2021/5/95关于定义的说明:2021/5/96二、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式2021/5/97性质(4)的证明两端取极限得[证毕]2021/5/98三、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件证正方向为参数增加的方向,2021/5/992021/5/910根据线积分的存在定理,2021/5/911当n

无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,2021/5/912在形式上可以看成是公式2021/5/9132.积分的计算法2021/5/914在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.2021/5/915例1解直线方程为2021/5/916这两个积分都与路线C无关2021/5/917例2解(1)积分路径的参数方程为y=x2021/5/918(2)积分路径的参数方程为y=x2021/5/919y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为2021/5/920例3解积分路径的参数方程为2021/5/921例4解积分路径的参数方程为2021/5/922重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.2021/5/923例5解根据估值不等式知2021/5/9242021/5/925四、小结与思考

本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.2021/5/92

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