关于多元函数极值的讨论

关于多元函数极值的讨论

多元函数的极值是数学应用的一个重要概念。然而，由于常用的教材没有全面的定义和极值问题，因此在这个问题上进行了另一个讨论。此外，极值问题可分为两种类型：条件极值和无条件极值。在某些情况下，概念和极值的性质之间的差异并不清楚。在这项工作中，我也在这里讨论。1极值概念的定义在微积分里对于多元函数极值的概念,许多教科书只笼统地给出如下定义:定义1设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)及其附近有定义,对于该点附近任一个异于点(x0,y0)的点(x,y),(1)如果f(x,y)≤f(x0,y0),则称z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值f(x0,y0)·(2)如果f(x,y)≥f(x0,y0),则称z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极小值f(x0,y0)·极大值和极小值统称为极值·其实极值概念是分为极值和弱极值两种的·其定义如下:定义2设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,对于该邻域内任一异于(x0,y0)的点(x,y),(1)如果f(x,y)<f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极大值f(x0,y0);(2)如果f(x,y)>f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极小值f(x0,y0)·定义3若将定义2中的不等式f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)换为不等式f(x,y)≤f(x0,y0)(或f(x,y)≥f(x0,y0),则称函数在点f(x0,y0)处有弱极大值(或弱极小值)·定义2和定义3的区别就在“<”和“≤”上,但在实际问题中这种区别是十分明显的,请看下面的例子:例1函数z=3x2+4y2在点(0,0)处有极小值z=0·这是因为在点(0,0)处,z=0,而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点(x,y),z>0恒成立·图形如图1所示·例2函数z=(x-y+1)2,由于对直线x-y+1=0上的点均有z=0,而z≥0是恒成立的,所以,函数z在直线x-y+1=0上的各点处取得弱极小值z=0·图形如图2所示·可见,由定义1给出的极值概念,不仅包含了“山峰”,也包含着“山峡”在内·但由于一般的教科书只讨论极值概念而不涉及弱极值,所以应由定义2给出极值概念才确切,否则容易给人造成一种片面认识,误认为定义1与定义2是一回事,而忽视了“<”与“≤”的区别·2无条件极值问题极值概念若按自变量的取值范围划分又可以划分为无条件极值(也称为普通极值)和条件极值两种·其一般形式可归结为:①求函数z=f(x,y)的极值,即所谓的无条件极值问题(也称为普通极值);②在条件φ(x,y)=0之下,求函数z=f(x,y)的极值,即所谓的条件极值问题·为了对比普通极值和条件极值在概念上以及求法上的一些区别,现将相关的定理和概念以及它们个自极值的求法简述如下:2.1驻点及其函数的定义关于极值有下述定理1和定理2·定理1(极值存在的必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0定义4满足条件fx(x,y)=0,fy(x,y)=0的点(x,y)称为函数z=f(x,y)的驻点·定理2(极值存在的充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有一阶及二阶连续偏导数,且fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,则f(x,y)在点(0,y0)处(1)当AC-B2>0且A<0时,有极大值;(2)当AC-B2>0且A>0时,有极小值;(3)当AC-B2<0时,没有极值;(4)当AC-B2=0时,可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论·利用定理1、定理2,对于具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y),极值的求法可按下述步骤进行:(1)解方程组{fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,{fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求得一切实数解,从而求得一切驻点(x0,y0)·(2)对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B、C·(3)定出AC-B2的符号,按定理2的结论判定f(x0,y0)是否为极值,是极大值还是极小值·2.2[jx]4][x,y]为极值点关于条件极值的求法有两种,第一种方法是将条件极值转化为无条件极值来求解,即先由条件φ(x,y)=0解出y=Ψ(x),然后代入到z=f(x,y)中得到z=f[x,Ψ(x)]z=f[x,Ψ(x)]再去求普通极值·第二种方法是应用拉格朗日乘数法求极值,即把在条件φ(x,y)=0之下,求函数z=f(x,y)的极值的问题,归结为对于拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)[JX*4]⋅[JX-*4]L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)[JX*4]⋅[JX−*4]求普通极值的问题·其步骤如下:(1)根据条件φ(x,y)=0和目标函数z=f(x,y)作出拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)[JX*4]⋅[JX-*4]L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)[JX*4]⋅[JX−*4]其中,λ为待定常数·(2)解方程组{Lx(x,y)=fx(x,y)+λφx(x,y)=0,Ly(x,y)=fy(x,y)+λφy(x,y)=0,φ(x,y)=0[JX*4]⋅[JX-*4](*)⎧⎩⎨⎪⎪Lx(x,y)=fx(x,y)+λφx(x,y)=0,Ly(x,y)=fy(x,y)+λφy(x,y)=0,φ(x,y)=0[JX*4]⋅[JX−*4](*)求出一切实数解x,y,λ所得的点(x,y)就是z=f(x,y)在φ(x,y)=0的条件下的可能极值点·(3)根据问题的性质去判别这种点是否为条件极值点·这里有几个问题往往容易混淆:(1)有些教科书把由方程组(*)解得的点(x,y)笼统地称为驻点,那么,它究竟是谁的驻点呢?由拉格朗日乘数法可知,它应该是拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)的驻点,而不是函数z=f(x,y)的驻点,因而该点是不能用定理2来判别它是否为z=f(x,y)的条件极值点的·(2)由于拉格朗日乘数法是条件极值存在的必要条件,所以由方程组(*)解得的点(x,y)只能称为函数z=f(x,y)的可能极值点,这种点是否为条件极值点,一般是根据极值的定义或问题的实际意义来判别的·(3)条件极值与普通极值的区别还在于:有的函数,在它的定义域内可能没有极值,但是,当给自变量加上限制条件后,它可能就有极值了·见例3·例3容易证明函数z=xy在全平面内是没有极值的,但是加上条件x+y=1后,z=xy就有极值了·事实上,设L(x,y)=xy+λ(x+y-1),解方程组{Lx(x,y)=y+λ=0,Ly(x,y)=x+λ=0,x+y=1[JX*4]⋅[JX-*4]L(x,y)=xy+λ(x+y−1),