关于古典概型问题的解法

关于古典概型问题的解法

1数字概型问题参考书中描述了“在0、1、2、3、……9到10个数字中，选择四个不同的数字，并将这四个数字表示为四个导数的概率”。”这道题是典型的古典概型问题,初看平平,没有什么特殊之处,但仔细挖掘,却发现这道题大有文章可作,对活跃学生的思维,特别是对学生的分类处理以及反向思维的训练大有裨益。下面就该问题逐步展开探讨,以不同的顺序、不同的分类,给出如下八种解法。2核心计算机关总排法t为方便计算,设表示事件:“这4个数字能排成一个四位偶数”,显然这是一个古典概型问题,要求P(T),只需要求出样本空间Ω中的基本事件数与事件T中的基本事件数即可。而样本空间Ω中的基本事件数为A410410,为求P(T),下面重点寻求T中包含的基本事件数nT,使得Ρ(Τ)=nΤA410.P(T)=nTA410.方法1以末位为0还是非0分为两大类,则nT=A3939+C1414·C1818·A2828第一类:末位为0,其它三个位置可由除0外的其它9个数字任取3个填充,能够排成的四位数共有A3939个;第二类:末位非0,即末位为2,4,6,8中的某一个,排好末位后,为保证得到的排列能够构成一个四位数,需紧接着排首位,可从除0及末位占用的8个数字中任取一个,而剩余的中间两个位置可由剩余的8个数字任选2个填充,故总排法共有C1414·C1818·A28。又上述两类情况互不相容,从而nT=A3939+C1414·C1818·A2828方法2以所排成的四位数含0还是不含0分为两大类,则nT=A3939+C1212·C1414·A2828+C1414·A3838该方法是依据所排成的四位数字中含0与不含0,将所排成的四位数分成两大类。第一类:所排成的四位数字中不含0,其所有的排法无非是从除0外的9个数字中取4个来排。具体的排法是,从2,4,6,8中任取1个放到末位,其它3个位置可从剩余的8个数字中任取3个填充,故总数为C1414·A3838;第二类:所排成的四位数字中含有0,这又可据末位为0还是非0,类似方法一,再进一步分为两小类。第一小类:末位为0,共有A3939中排法;第二小类:末位非0,共有C1212·C1414·A2828排法。其具体排法是,先从2,4,6,8中任取1个放到末位(C1414),再将0安排到中间两个位置中的某一个中去(C12),最后对两个空置的位置,从剩余的8个数字中任取2个填充(A2828)。方法3以首位是奇数还是偶数分为两大类,则nT=C1414·C14·A15+C15·C15·A28第一大类:首位是奇数,共有C15·C15·A28个。具体排法是,首先从5个奇数中任取1个,放到首位;其次,从5个偶数中任取1个放到末位;最后将空置的两个位置从剩余的8个数字中任取2个填充。第二大类:首先从2,4,6,8四个偶数中任取1个放到首位;其次,从剩余的4个偶数中(含0)任取1个放到末位;最后再将空置的两个位置从剩余的8个数字中任取2个填充。方法4nT=C15·A39-C14·A28该方法依然渗透着“分类”思想,其处理思路是:首先保证排成的“四位排列”的末位是偶数(而不保证一定排成一个四位数),然后在从中将不构成四位数的“四位排列”去掉。具体排法是:首先,从5个偶数中任取1个放到“四位排列”的末位,空置的3个位置从剩余的9个数字中任取3个填充;其次,将前面得到的“四位排列”中不能构成四位数的排法找出来,而不能构成四位数的排法就是0在首位,故首先将0放在首位,再从剩下的4个偶数中任取1个放到末位,最后将空置的两个位置从剩余的8个数字中任取2个填充。3“四位数”不构成知识分区t方法5将对立事件划分为两大类:“四位排列”不构成四位数与构成四位奇数,则nT=A410-[A39+C15·C18·A28]第一大类:“四位排列”不构成四位数,共有A39个。此时,将0放在首位,空置的3个位置从剩余的9个数中任取3个填充。第二大类:“四位排列”构成四位奇数,共有C15·C18·A28个。具体排法是:首先从5个奇数中任取1个放到末位;其次,从除0外的剩余的8个数字中任取1个放到首位;最后将空置的2个位置从剩余的8个数字中任取2个填充。方法6将对立事件划分为两大类:“四位排列”不构成四位数与构成四位奇数,则nT=A410-[A39+C14·C15·A28+C15·C14·A28]第一大类:“四位排列”不构成四位数,首位为0,共A39个;第二大类:排成四位奇数。又可分为两小类。第一小类,首偶末奇,共C14·C15·A28个。具体排法是从2,4,6,8中任取1个放到首位,再从5个奇数中任取1个放到末位,其它两个位置随便填。第二小类,首奇末奇,共C15·C14·A28个。具体排法是,从5个奇数中任取1个放到首位,再从剩余的4个奇数中任取1个放到末位,其它两个位置随便填。方法7将对立事件划分为末位为奇与末位为偶的非数两大,则nT=A410-[C15·A39+C14·A28].第一大类:末位为奇,共有C15·A39个,其具体排法是,从5个奇数中任取1个放到末位,其它3个位置随便排(注意,此时末位为奇首位为0的情形)。第二大类:末位为偶(的非四位数,即首位为0),共有C14·A28个,具体排法是,0放首位,从2,4,6,8中任取1个放到末位,其它两个位置随便填。方法8将方法七中的第一大类再分为两小类,则nT=A410-[C15·C15·A28+C15·C14·A28+C14·A28].将方法七中的第一大类再分为两小类,首偶末奇与首奇末奇。第一小类,首偶末奇,共C15·C15·A28个,具体排法是,从5个偶数任取1个放到首位,再从5个奇数中任取1个放到末位,其它两个位置随便填。注意,此时首位为0的情形;第二小类,首奇末奇,共C15·C14