考点20空间几何体的表面积和体积

考点20空间几何体的表面积和体积1.【2023全国甲卷】在三棱锥P−ABC中，▵ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=6，则该棱锥的体积为

(

)A.1 B.3 C.2 D.【答案】A

【解析】【分析】本题考查三棱锥体积的求解，属于中档题．

利用题干给的相关边的关系，求出三棱锥的高，利用锥体体积公式即可进行求解．【解答】解：取AB中点为D，连结PD，CD，∵▵ABC是边长为2的等边三角形，可知CD⊥AB，又PA=PB=2，∴PD⊥AB，PD∩CD=D，故AB⊥面PCD，PD=CD=3，又PC=三棱锥P−ABC的体积为VP−ABC=132.【2022新高考Ⅰ卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到A.1.0×109m3 B.1.2×109【答案】C

【解析】【分析】本题考查了棱台的体积公式的应用，属于基础题．

读懂题意，结合棱台的体积公式即可求解．【解答】

解：依据棱台的体积公式

V=13⋅(S+S′+SS′)3.【2021新高考Ⅱ卷】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(

)A.20+123 B.282 C.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了棱台的结构特征与体积的求法．

由正四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解．【解答】

解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图所示，因为该正四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高ℎ=下底面面积S1=16，上底面面积所以该棱台的体积V=13ℎ(故选：D．4.【2021北京】定义：将24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度；其中小雨(0mm− 10mm)，中雨(10mm−25mm)，大雨(25mm−50mm)，暴雨(50mm−100mm)；小明用一个圆锥雉形容器接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级

(

)

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】B

【解析】【分析】本题考查圆锥的体积，属于基础题．

结合圆锥的体积公式分析求解即可．【解答】

解：设小圆锥的底面半径为r，则r100=150300，

小圆锥的底面半径r=2002=50mm，

故小圆锥的体积V=135.【2021全国甲卷】已知A，B，C是半径为1的球О的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O−ABC的体积为

(

)A.212 B.312 C.【答案】A

【解析】【分析】本题考查球的结构特征和三棱锥体积，属于中档题．

求出球心到平面的距离，即可求解．【解答】

解：记△ABC的外接圆的圆心为O1，

由于AC=BC=1，AC⊥  BC，则AB=2，O1C=22；

又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，

则OA2+OB2=AB2，OO1=22.

于是O6.【2020天津】若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(

)A.12π B.24π C.36π D.144π【答案】C

【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．

正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，

所以2R=(23)2+(23)27.【2020全国Ⅰ卷】已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球OA.64π B.48π C.36π D.32π【答案】A

【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属于中档题．

求出圆O1的半径，根据正弦定理求出AB=O【解答】解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径∵AB=BC=AC=OO1，则三角形由正弦定理：ABsin 60由R2=r2+OO12，得球故答案为A．8.【2023新高考Ⅰ卷】在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2【答案】76【解析】【分析】本题考查正四棱台的体积，属于中档题．可将正四棱台补成正四棱锥，然后分析求解即可．【解答】解：如图，

将正四棱台ABCD−A1B1SA=22，OO1V=19.【2021全国甲卷】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为

．【答案】39π

【解析】【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础题．

由题意，设圆锥的高为ℎ，根据圆锥的底面半径为6，其体积为30π求出ℎ，再求得母线的长度，然后确定圆锥的侧面积即可．【解答】

解：由圆锥的底面半径为6，其体积为30π，

设圆锥的高为ℎ，则13×(π×62)×ℎ=30π，解得ℎ=52，

所以圆锥的母线长l=(10.【2020新高考Ⅱ卷】已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB【答案】13【解析】【分析】本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．

由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥A−NMD【解答】

解：如图，∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，∴S∴V故答案为：1311.【2020江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3．

【答案】12【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】

解：六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=123，

圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π12.【2023全国乙卷】已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120∘，若▵PAB的面积等于93A.π B.6π C.3π 【答案】B

【解析】【分析】本题考查圆锥体积的求法，涉及到了余弦定理，属于中档题．利用余弦定理先求出|AB|，然后构造▵PCO求出圆锥的高，结合体积公式计算即可．【解答】

解：在▵AOB中，cos∠AOB=3+3−|AB|22×作OC⊥AB于点C，由|OA|=|OB|可知C是AB的中点，可得|OC|=又|PA|=|PB|，所以PC⊥AB，由S△PAB=12|AB|⋅|PC|=9所以圆锥的体积V=故选B．13.【2023天津】在三棱锥P−ABC中，线段PC上的点M满足PM=13PC，线段PB上的点N满足PN=23PB，则三棱锥P−AMN和三棱锥A.19 B.29 C.13【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查了三棱锥体积的求解，换顶点的应用是求解问题的关键，属于中档题．

分别过M,C作MM′⊥PA,CC′⊥PA，垂足分别为M′,C′.过B作BB′⊥平面PAC，垂足为B′，连接PB′，过N作NN′【解答】解：如图，分别过M,C作MM′⊥PA,CC′⊥PA，垂足分别为M′,C′.过B作BB′因为BB′⊥平面PAC，BB′⊂平面PBB′又因为平面PBB′∩平面PAC=PB′，NN′⊥PB′，在▵PCC′中，因为MM′⊥PA,CC′在▵PBB′中，因为BB′//N所以VP−AMN故选：B．14.【2022新高考Ⅱ卷】已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为33和43A.100π B.128π C.144π D.192π【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用，球体表面积公式的应用．【解答】解：由题意易得上底面所在平面截球面所得圆的半径为3，下底面所在平面截球面所得圆的半径为4，设该球的半径为R，当正三棱台的上、下底面在球心异侧时，有R2−32+15.【2022全国甲卷】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若SA.5 B.22 C.【答案】C

【解析】【分析】本题考查圆锥的结构特征，侧面积和体积的运算，利用公式代入计算即可．【解答】

解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r则S甲S乙又2πr1l+2π所以甲圆锥的高ℎ1乙圆锥的高ℎ2所以V甲16.【2022全国乙卷】已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为

(

)A.13 B.12 C.3【答案】C

【解析】【分析】本题考查圆锥体积，最值计算．【解答】

解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是

边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则r=22a，

所以该四棱锥的高ℎ=1−a22，所以体积

V=13a21−a22，设a2=t0<t<2，

V=17.【2022新高考Ⅰ卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是

(

)A.[18,814] B.[274,【答案】C

【解析】【分析】本题考查了球的切接问题，涉及棱锥的体积、球的体积、导数等知识，属较难题．有正四棱锥的外接球的性质，可得V=13a2ℎ=23(6ℎ−ℎ2)ℎ，利用求导求最值，即可解答．

【解答】解：方法(1):设正四棱锥P−ABCD的高为PO1=ℎ，底面边长为a，球心为O，由已知易得球半径为R=3，

所以(22a)2+(ℎ−3)2=9(22a)2+ℎ2=l2⇒6ℎ=l2a2=2(6ℎ−ℎ2)，

因为3≤l≤318.【2022天津】如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为(

)

A.23 B.24 C.26 D.27【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查棱柱的结构特征和体积公式，属于较易题．

作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积．【解答】

解：该几何体由直三棱柱AFD−BHC及直三棱柱DGC−AEB组成，作HM⊥CB于M，如图，

因为CH=BH=3，∠CHB=120°，

所以CM=BM=332，HM=32，

因为重叠后的底面为正方形，

所以AB=BC=33，

在直三棱柱AFD−BHC中，AB⊥平面BHC，HM⊂平面BHC，则AB⊥HM，

由AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABCD，可得HM⊥平面ADCB，

设重叠后的EG与FH交点为I，

则VI−BCDA=13×319.【2021新高考Ⅱ卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1−cos α)(单位：A.26% B.34% C.42% D.50%【答案】C

【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查直线与平面所成的角，属于中档题．

由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果．【解答】

解：如图所示：

由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

2πr2(1−cos α)4πr220.【2020全国Ⅱ卷】已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为16π，则球O到平面ABC的距离为(

)A.3 B.32 C.1 【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查点到平面的距离求法，属于中档题．

根据正三角形▵ABC是面积为934得到△ABC的外接圆半径r=3，根据球O【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为O1，设OO1=d，圆O1的半径为r△ABC的边长为a，则S△ABC=34a2=934，可得a=3，

由asinA=2r，于是r=a3=3，

由题意知，球O故选C．21.【2023新高考Ⅱ卷】已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120∘,PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45∘A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为43π

C.AC=22【答案】AC

【解析】【分析】本题考查求圆锥的体积与侧面积，及圆锥中的其他量，属于基础题．A，B选项，通过解ΔPAB，求出圆锥的高PO与底面直径AB，从而求出体积与侧面积；C，D选项，利用∠PDO为二面角P−AC−O的平面角，解三角形求出PD,AC的长，进一步求出ΔPAC的面积．【解答】解：对于A：在ΔPAB中，PA=PB=2,∠APB=120∘，则PO=1，故圆锥的体积V=13⋅PO⋅π⋅O对于B：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为2，弧长为2故圆锥的侧面积为S=12⋅2⋅2对于C：取AC中点D，连接PD,OD，则PD⊥AC,OD⊥AC，则∠PDO为二面角P−AC−O的平面角，即∠PDO=45在RtΔPDO中，PO=1，故DO=1,PD=在RtΔODA中，AD=OA2−O对于D：SΔPAC=1故选AC．22.【2022新高考Ⅱ卷】