3.2.1双曲线及其标准方程（重难点突破）原卷版

3.2.1双曲线及其标准方程考点一双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.(1)、当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；(2)、当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；(3)、当a＞c时，点P不存在．考点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长重难点题型突破一双曲线的定义及其轨迹方程的求法例1．（1）、（2023秋·高二课时练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．（2）、（2022·全国·高二课时练习）若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（

）A．双曲线的一支 B．圆C．抛物线 D．双曲线（3）、（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【变式训练11】、（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练12】、（2019·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（）A． B．C． D．【变式训练13】、（2023秋·高二课时练习）（多选题）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则重难点题型突破二双曲线的简单几何性质例2．（1）、（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知双曲线：（，）的离心率为2，则渐近线方程是（

）A． B．C． D．（2）、（2020·全国高二单元测试）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A． B．C． D．（3）、（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为．（4）、（2022·江西·高三开学考试（文））双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（

）A． B．C． D．【变式训练21】、（2023秋·高二课时练习）已知双曲线，则该双曲线的实轴长为【变式训练22】、（2021·全国高二课时练习）以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．【变式训练23】．（2021·全国高二课时练习）焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．【变式训练24】、（2023秋·全国·高二期中）以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．重难点题型突破三求双曲线的标准方程例3．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两焦点坐标为，，且；(2)两焦点坐标为，，且经过点；(3)焦点在y上，且经过点和．【变式训练31】．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点坐标为，且经过点；(2)焦点在坐标轴上，经过点.【变式训练32】．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；(2)焦点在轴上，经过点和点．(3)经过点和．(4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点【变式训练33】．（2022秋·浙江嘉兴·高二校考期中）已知方程（且）(1)若方程表示焦点在上的椭圆，且离心率为，求的值；(2)若方程表示等轴双曲线，求的值及双曲线的焦点坐标.重难点题型突破四双曲线的综合性质例4．（1）、（2022·全国·高二课时练习）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（

）A． B． C． D．（2）．（2021·江苏·高二专题练习）已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式训练41】．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）已知双曲线G的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P坐标为，双曲线G上点，满足，则．【变式训练42】、（2022秋·湖南怀化·高二怀化市第三中学校考期