广西专版2023-2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第3课时导数在解决实际问题中的应用训练提升新人教版选择性必修第二册

第3课时导数在解决实际问题中的应用课后·训练提升基础巩固1.一底面为正方形的箱子,其体积与底面边长x的关系为V(x)=x2·60-x2(0<x<60),则当箱子的体积最大时,箱子的底面边长为A.30 B.40 C.50 D.60答案:B解析:V'(x)=-32x2+60x=-32x(x-40)(0<x<60),当0<x<40时,V'(x)>0,此时V(x)单调递增;当40<x<60时,V'(x)<0,此时V(x)单调递减,所以在x=40处V(x)取得极大值,也是最大值,即当箱子的体积最大时,箱子的底面边长为2.做一个母线长为20cm的圆锥形漏斗,若要使其体积最大,则高为()A.33cm B.103C.1633cm D.答案:D解析:设圆锥的高为xcm,则底面半径为20体积为V=13πx(202-x2)(0<x<20),于是V'=13π(400-3x2令V'=0,解得x1=2033,x2=-2033当0<x<2033时,当2033<x<20时,V'<故当x=2033时,V3.若圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为()A.l63π B.C.l43π D.答案:A解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,∴h=l-4r2,V=πr2h=l2πr2-2则V'=lπr-6πr2,令V'=0,得r=0或r=l6又r>0,∴r=l6是其唯一的极值点,且为极大值点,也是最大值点∴当r=l6时,V取得最大值,且最大值为l64.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则当其表面积最小时底面边长为()A.3V B.3C.34V D.答案:C解析:设底面边长为x,则表面积S=32x2+43xV(x>0),S'=3x2(x3令S'=0,得x=34V,可判断当x=34V时,5.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料,若以每吨M元零售,则销售量N(单位:吨)与零售价M(单位:元)有如下关系:N=8300-170M-M2,则该批材料零售价定为元时利润最大,利润的最大值为元.

答案:3023000解析:设该商品的利润为y元,由题意知,y=N(M-20)=-M3-150M2+11700M-166000,则y'=-3M2-300M+11700,令y'=0,得M=30或M=-130(舍去),当M∈(0,30)时,y'>0,当M∈(30,+∞)时,y'<0,因此当M=30时,y有最大值,ymax=23000.6.如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体体积的最大值为.

答案:32解析:由题意,设小圆柱体的底面半径为cosθ,则高为1+sinθ,θ∈0,小圆柱体体积V=π·cos2θ·(1+sinθ),设sinθ=t,t∈(0,1),则V=π(1-t2)(1+t)=π(-t3-t2+t+1),V'=π(-3t2-2t+1)=π(-3t+1)(t+1),当t=13时,Vmax=327.已知矩形的两个顶点A,D位于x轴上,另两个顶点B,C位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则当这个矩形的面积最大时,它的长和宽分别为.

答案:8解析:由题意,设AD=2x,则AB=4-x2,于是矩形的面积S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2).∴S'=8-6x2.令S'=0,解得x1=233,x2=-233当0<x<233时,S'>0;当233<x<2时∴当x=233时,S取得最大值,且最大值为3239,即矩形的长和宽分别为88.一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比,已知当速度为10km/h时,燃料费是6元/h,而其他与速度无关的费用是96元/h,当行驶每千米的费用总和最小时,此轮船的航行速度为km/h.

答案:20解析:设轮船的速度为xkm/h时燃料费用为Q元,则Q=kx3(k≠0).因为6=k×103,所以k=3500所以Q=3500x3设行驶每千米的费用总和为y,则y=3500x3+96·1x=3所以y'=3250x-96令y'=0,解得x=20.因为当x∈(0,20)时,y'<0,此时函数单调递减;当x∈(20,+∞)时,y'>0,此时函数单调递增,所以当x=20时,y取得最小值,即当此轮船以20km/h的速度行驶时,行驶每千米的费用总和最小.9.某造船公司年造船量为20艘,已知造船x(x∈N*)艘的产值函数R(x)=3700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位:万元),在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).(1)求利润函数P(x)及其边际利润函数MP(x).(提示:利润=产值-成本)(2)年造船量为多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么.解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(x∈N*,且1≤x≤20).MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N*,且1≤x≤19).(2)P'(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9).令P'(x)=0,解得x=12或x=-9(舍去).所以当0<x<12时,P'(x)>0,当x>12时,P'(x)<0,所以当x=12时,P(x)有最大值,即年造船量为12艘时,可使公司造船的年利润最大.(3)MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305,所以当x≥1时,MP(x)单调递减,所以单调递减区间为[1,19],且x∈N*.单调递减的实际意义是:随着产量的增加,每艘船的利润与前一艘比较,利润在减少.能力提升1.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数:y1=17x2(x>0),生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,产量x的值为.

答案:6解析:设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),y'=-6x2+36x=-6x(x-6).令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,则当x∈(0,6)时,y'>0,函数单调递增;当x∈(6,+∞)时,y'<0,函数单调递减,于是x=6是函数的极大值点,也是函数的最大值点.故当产量x=6时,利润最大.2.已知Rt△ABC两直角边长之和为3,将△ABC绕其中一条直角边所在直线旋转一周,所形成旋转体体积的最大值为,此时该旋转体外接球的表面积为.

答案:4π3解析:设Rt△ABC的两直角边长分别为a,b,则a+b=3,以长度为b的直角边所在直线为轴旋转形成的旋转体的体积V=13πa2b=13πa2(3-a)(0V'=13π(6a-3a2),令V'=0,解得a=0或a=则当0<a<2时,V'>0;当2<a<3时,V'<0,故当a=2时,旋转体体积最大,最大值为4π3.此时圆锥的底面半径为2,设外接球的半径为R,则R2=(R-1)2+22,解得外接球的半径R=52,其表面积为25π3.为处理含有某种杂质的污水,要制造一宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长为a米,高为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a=,b=时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计).

答案:63解析:设y为流出的水中该杂质的质量分数,则y=kab,其中k(k>0)为比例系数根据题设,4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),得b=30-于是y=kab=k30y'=a2k+4ak-60k(30a-a2当a∈(0,6)时,y'<0,函数单调递减;当a∈(6,30)时,y'>0,函数单调递增.所以,a=6为函数的极小值点,也是唯一的极值点,所以函数在a=6处取得最小值.当a=6时,b=3,即当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.4.一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元,每生产1万件需要再投入2万元.设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完,每万件的销售收入为(4-x)万元,且每万件国家给予补助2e-2elnxx-1x(1)写出月利润f(x)(单位:万元)关于月产量x(单位:万件)的函数解析式;(2)当月生产量x∈[1,2e](单位:万件)时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(单位:万元)及此时的月生产量值(单位:万件).(注:月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本)解:(1)由月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本,可得f(x)=x4-x+2e-2elnxx-1x-2-1=-x(2)f(x)=-x2+2(e+1)x-2elnx-2的定义域为[1,2e],当x∈(1,2e)时,f'(x)=-2x+2(e+1)-2ex=-2(x-当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表.x(1,e)e(e,2e)f'(x)+0-f(x)单调递增极大值f(e)单调递减由上表得,f(x)=-x2+2(e+1)x-2elnx-2在区间[1,2e]上的最大值为f(e),且f(e)=e2-2.即月生产量x∈[1,2e](单位:万件)时,该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f(e)=e2-2,此时的月生产量为e.5.某商场从2023年1月份起的前x个月,顾客对某商品的需求总量p(x)(单位:件)与x的关系近似地满足p(x)=12x(x+1)(39-2x)(其中1≤x≤12,且x∈N*).该商品第x个月的进货单价q(x)(单位:元)与x的近似关系是q(x)=(1)写出2023年第x个月的需求量f(x)(单位:件)与x的函数关系式;(2)该商品每件的售价为185元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,试问该商场2023年第几个月销售该商品的月利润g(x)最大,最大月利润为多少元?解:(1)当x=1时,f(1)=p(1)=37,当2≤x≤12,且x∈N*时,f(x)=p(x)-p(x-1)=12x(x+1)(39-2x)-12(x-1)x(41-2x)=-3x2+40验证x=1时也符合上式,故f(x)=-3x2+40x(1≤x≤12,且x∈N*).(2)预计该商场第x个月销售该商品的月利润g(x)=(-即g(x)=6当x∈(1,6)时