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文档简介
高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省商洛市部分学校2024届高三上学期10月阶段性测试(一)数学试题(文)一、选择题1.()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选:B.2.设全集,集合,则()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,,则,又,则.故选:A.3.已知函数,若,则()A. B. C. D.10〖答案〗A〖解析〗因为函数,所以,所以,又,所以,故选:A4.若实数满足约束条件,则的最大值为()A.3 B.7 C.11 D.15〖答案〗C〖解析〗不等式组表示的平面区域如下图,目标函数化为,表示斜率为的一组平行线,当直线过点时,直线截距最大,即取得最大值,联立,得,即,所以.故选:C5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.20 B.32 C. D.〖答案〗D〖解析〗如图,根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥,该几何体的高为,且,所以该几何体的体积为,故选:D.6.设的内角的对边分别为,若,则()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为,所以,又因为,且由正弦定理可得,所以,解得.故选:C.7.对于任意实数,用表示不大于的最大整数,例如:,,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗对任意的,记,则,若,则,即,则,因为,,则,由不等式的基本性质可得,所以,,所以,,即,所以,“”“”;若,如取,,则,故“”“”.因此,“”是“”的充分不必要条件.故选:A.8.已知函数,若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称,则m的最小值为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗的图象向左平移m个单位长度后,得到的图象对应函数,因为的图象关于坐标原点对称,所以,即,因为,故当时,m取得最小值.故选:B.
9.执行如图的程序框图,输出的值是()A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据程序框图,转化为数列的求和问题,再利用周期性并项求和即可.【详析】由框图可知,循环结构直到满足条件终止,即时,不再累加,即退出循环输出,故输出的,又函数,,是以为周期的函数,其中,由,则.故选:D.10.如图所示,在棱长为2的正方体中,点在棱上,且,则点到平面的距离之和为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在棱长为2的正方体中,平面,平面,则,由,得,在中,,则,即点为中点,又平面,平面,因此平面,于是点到平面的距离等于点到平面的距离,同理点到平面的距离等于点到平面的距离,连接,过分作的垂线,垂足分别为,如图,由,得,解得,在中,,则,所以点到平面的距离之和为.故选:B11.已知函数的极小值点为,极大值点为,若,则曲线在坐标原点处的切线方程为()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意可知,令可得此方程两根分别为,当时,,此时恒成立,即为单调递减,此时函数无极值点,不合题意;当时,,所以在和上,;在上,;所以函数在和上单调递减,在单调递增;所以极小值点为,极大值点为,由可得,解得,显然不合题意;当时,,可知在和上;在上;则函数在和上单调递减,在单调递增;所以极小值点为,极大值点为,由可得,解得,经检验满足题意;此时,则切线斜率,所以在坐标原点处的切线方程为,即.故选:A12.已知双曲线右焦点为,以坐标原点为圆心,线段为半径作圆,与的右支的一个交点为A,若,则的离心率为()A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知,且为锐角,故,而,故,将代入中,得,结合整理得,即,解得或,由于双曲线离心率,故舍去,故,故选:D.二、填空题13.已知抛物线的焦点为F,直线与抛物线交于点M,且,则___________.〖答案〗4〖解析〗把代入抛物线方程(),得,得,根据抛物线的定义有,解得,故〖答案〗为:414.某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长,2019年销量为5万辆,2022年销量为22万辆,且这四年销量的中位数与平均数相等,则这四年的总销量为__________万辆.〖答案〗53〖解析〗设2020年的销量为,2021年的销量为,,由题意可知,中位数为,平均数为,由,得,所以这四年的总销量为万量.故〖答案〗为:5315.在中,,E是线段AD上动点,设,则___________.〖答案〗2〖解析〗如图所示,由题意知,因为A,E,D三点共线,所以,所以.故〖答案〗为:2.16.若为锐角,且,则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗因为为锐角,且,所以,所以,所以,因为,即,当且仅当,即时取等号,所以,因为,所以,所以,当且仅当时取等号,所以的最小值为,故〖答案〗为:三、解答题(一)必考题:共60分.17.某校组织全校800名学生进行校园安全相关知识的测试,从中随机抽取了100名学生的测试成绩(单位:分),按照分组,绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求的值,并估计全校学生测试成绩在内的人数;(2)学校想了解部分学生测试成绩较低的原因,从样本中测试成绩在内的学生中随机抽取2名学生座谈,已知这些待选的学生中包含和,求和至少有一人被抽到的概率.解:(1)由频率分布直方图知,解得.则测试成绩在内的频率为,所以估计全校学生测试成绩在内的人数为.(2)样本中测试成绩在内的学生人数为,记学生和之外的4人分别为,则所有可能的结果有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15种,其中学生和至少有一人被抽到的结果有,共9种.所以学生和至少有一人被抽到的概率.18.记递增的等差数列的前n项和为,已知,且.(1)求和;(2)设,求数列的前n项和.解:(1)设的公差为d().因为,所以,由得,解得,所以,得,所以,.(2)由(1)得,,所以.19.如图,在直三棱柱中,,D,E,F分别是棱,BC,AC的中点,.(1)证明:平面平面;(2)求点到平面的距离.(1)证明:在中,因为E,F分别是BC,AC的中点,所以.因为,,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面,同理平面,又因为,平面,所以平面平面(2)解:如图所示,连接.利用勾股定理计算得,所以的面积为.设点到平面的距离为,则三棱锥的体积为.又易知平面,所以三棱锥的体积为.所以,解得,即点到平面的距离为.20.已知椭圆C:过点,且C的右焦点为.(1)求C的离心率;(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M,N两点,P直线上的动点,记直线PM,PN,PF的斜率分别为,,,证明:.(1)解:由得C的半焦距为,所以,又C过点,所以,解得,所以,.故C的离心率为.(2)证明:由(1)可知C的方程为.设,,.由题意可得直线MN的方程为,联立,消去y可得,则,,则,又,因此.21.已知函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在使不等式成立,求的取值范围.解:(1)由已知得.若,则当时,恒成立,所以,故单调递增.由可得,若,则当时,恒成立,所以,故单调递增.若,令,可得,其中,当或时,单调递增,当时,单调递减.综上:若,则在上单调递增;若,则在和上单调递增,在上单调递减;(2)由不等式,得,则.设函数,因为存在,使,所以.求导得,令,解得舍去,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以.因为,且,所以,所以,即实数的取值范围是.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于两点,与轴交于点,求的值.解:(1)由曲线的参数方程消去参数,得普通方程为.因为,所以,将代入得.(2)由于直线与轴的交点坐标为,倾斜角为,所以直线的参数方程为(为参数),代入,得,设对应的参数分别为,则,所以.[选修4-5:不等式选
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