江西省红色十校2024届高三上学期9月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省红色十校2024届高三上学期9月联考数学试题一、选择题1.已知集合，，则的真子集的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.15〖答案〗B〖解析〗因为，又，所以，所以的真子集有个.故选：B2.一组数据5，5，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10的分位数是（）A.7 B.8 C.8.5 D.9〖答案〗D〖解析〗因为数据共有21个数，所以，故取第16个数，即9.故选：D.3.已知数列是等比数列，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设公比为，则，所以，解得，故.故选：B.4.若角始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为角始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，所以，，所以.故选：A5.已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，且，所以，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以，即与的夹角为.故选：D6.已知函数的极大值与极小值之差为2，且对恒成立，，在上单调递减，若将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论错误的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递增C.函数的图象关于直线对称D.函数图象的一个对称中心为〖答案〗B〖解析〗因为的极大值与极小值之差为2，所以；因为对恒成立，所以且，在上单调递减，所以，可得，即，所以；因为，所以，可得，即，又因为，所以；可得，又因为将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，所以.对于A，函数的最小正周期为，故正确；对于B，函数在上单调递减，故错误；对于C，函数的图象关于直线对称，故正确；对于D，函数图象的一个对称中心为，故正确.故选：B7.已知椭圆的焦距为，离心率为，过上一点分别作与和平行的直线，交直线于两点，则线段长度的最大值为（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗由题意知，，又离心率为，所以，，所以椭圆的方程为，设，，则，因为四边形为平行四边形，所以，即，又点在椭圆上，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以线段长度的最大值为4.故选：A.8.已知函数的图象在原点处的切线方程为，则的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗，，因为在原点处的切线方程为，，，，令，，令，则，在上单调递减，在上单调递增，而，又时，，同时，所以在和上各有1个零点，所以的零点个数为个2.故选：C.二、选择题9.已知复数(为虚数单位)，复数共轭复数为，则下列结论正确的是（）A.在复平面内复数所对应的点位于第一象限B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，故复数，而共轭复数对于选项A，复数，对应点坐标为，所以在复平面内复数所对应的点位于第一象限，故A正确；对于选项B，，故B错误；对于选项C，，故C正确；对于选项D，，故D错误.故选：AC10.下列命题正确的是（）A.若，则的最小值为7B.若随机变量，且，则C.“”是“”的充要条件D.已知命题，则是〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为，所以，当且仅当即，时，等号成立，即的最小值为，错误；对于B，因为随机变量，且，所以，所以，正确；对于C，若，则，反之若，则，所以“”是“”的充要条件，正确；对于D，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题的否定为，正确.故选：BCD.11.已知抛物线的焦点为,为上在第四象限内一点，且，直线与交于两点，则下列结论正确的是（）A.的准线方程为 B.点到直线的距离为C.是钝角三角形为坐标原点) D.〖答案〗ACD〖解析〗因为抛物线的焦点为，且，所以到准线的距离，所以，即，所以抛物线.对于选项A，抛物线的准线方程为，故A正确；对于选项B，抛物线的焦点坐标为，因为为上在第四象限内一点，代入抛物线可得，所以直线，计算点到直线的距离为，故B错误；对于选项C，设，联立抛物线和直线，可得，即，所以，，而，所以是钝角三角形，故C正确；对于选项D，，故D正确.故选：ACD12.如图，在多面体中，平面平面，侧面是正方形，平面，四边形与四边形是全等的直角梯形，，则下列结论正确的是（）A. B.异面直线与所成角的正弦值是C.直线与平面所成角的正弦值是 D.多面体的体积为〖答案〗AD〖解析〗对于A，由正方形，得，由平面，平面，得，又平面，则平面，而平面，所以，A正确；对于B，显然，则即为异面直线与所成的角（或其补角），过点作交于点，连接，又，则四边形为平行四边形，则，有，又，于是，显然平面，平面，则，，而平面，于是平面，又平面，从而，，所以，B错误；对于C，以点为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的法向量为，则，令，得，而，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值不是，C错误；对于D，由选项C知，，在中，，由余弦定理得，则，则的面积为，又，直线与平面所成角的正弦值是，因此点到平面的距离为，所以多面体的体积，D正确.故选：AD.三、填空题13.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则__________.〖答案〗〖解析〗因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，又当时，，所以，所以.

故〖答案〗为：14.展开式中，的系数为_________________.〖答案〗100.〖解析〗，展开式的通项为：，故的系数为：.故〖答案〗为：.15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点射出的两条光线与分别相切于点、，称两射线、上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域(含边界)为圆的“背面”.若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗如图设过点的切线方程为，所以，解得，所以直线的方程为，即，令，解得，直线的方程为，即，令，解得，因为圆处于圆的“背面”，所以，当圆与圆外切且圆与（或）相切时，取最大值，由圆与圆外切得，圆与相切时，又，所以，所以，即，解得或，结合，所以，所以的最大值为，同理圆与相切时的最大值为，综上可得的最大值为.故〖答案〗为：16.已知圆锥的体积为，若球在圆锥内部，则球体积的最大值为_______.此时圆锥的底面圆的半径为__________.〖答案〗〖解析〗设圆锥底面半径为，高为，当球为圆锥的内切球时，球的体积最大，作出圆锥的轴截面，内切圆圆心为，中点为，如图，设内切球的半径为，则，，球的体积，设，则，其中，于是，即有，，因此圆锥的体积，则，令，即，于是，，令，令，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，因此当时，，，所以球体积的最大值为，此时，则有，，所以圆锥的底面圆的半径为.故〖答案〗为：；四、解答题17.已知数列的首项为，且，，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，，求数列的前项和.解：（1）因为，所以，又，所以，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.（2）由（1）可得，所以，设数列的前项和为，则.18.在中，内角的对边分别为，且.（1）证明：是钝角三角形；（2）平分，且交于点，若，求的周长.（1）证明：在中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得.因为，所以，所以是钝角三角形.（2）解：因为，且，所以，由余弦定理得：，解得或（舍去），所以，所以周长为.19.冷饮大约起源于3000年前的商代，用于盛夏消暑.冷饮主要分为食用冰、冰淇淋、雪糕、汽水、果汁这五大类.小明为了解本区居民对冷饮的态度，随机调研了100人，并将调研结果整理如下:不喜欢冷饮喜欢冷饮45岁以上(含45岁)301545岁以下1540（1）是否有的把握认为本区居民喜欢冷饮与年龄有关?（2）从这100人中随机选取2人，在选取的2人中有人喜欢冷饮的条件下，求这2人中有45岁以下的人的概率.公式:，.0.100.050.0102.7063.8416.635解：（1）依题意补全列联表如下：不喜欢冷饮喜欢冷饮合计45岁以上(含45岁)30154545岁以下154055合计4555100所以，所以有的把握认为本区居民喜欢冷饮与年龄有关.（2）设选取的人中有人喜欢冷饮为事件，所以，设选取的人中有岁以下的人为事件，则选取的人中既有人喜欢冷饮，又有岁以下的人为事件，所以，所以，所以从这100人中随机选取2人，在选取的2人中有人喜欢冷饮的条件下，2人中有45岁以下的人的概率为.20.如图，在三棱柱中，侧面的面积为4，且四棱锥的体积为.（1）求点到平面的距离;（2）若平面平面，侧面是正方形，为的中点，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.解：（1）设点到平面的距离为，由三棱柱知，四边形是平行四边形，所以，所以，由三棱柱知四边形是平行四边形，所以，又，所以，解得，即点到平面的距离为2；（2）取中点为，连接，因为平面平面，且，所以，又平面平面，则平面，且是正方形，以为坐标原点，分别为轴，轴正方向，过点作轴平行，建立如图所示空间直角坐标系，因为平面平面，且是正方形，则平面，由（1）可知，，，则，，，，，且为的中点，则，所以，设平面法向量为，则，解得，取，则，所以平面的一个法向量为，又，设平面的法向量为，则，解得，取，则，所以平面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21.已知双曲线的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）已知点，过点作直线与双曲线相交于两点，若，求直线的方程.解：（1）由题知，双曲线的一条斩近线为，则，又，所以，所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，，，由题易知直线的斜率存在，当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时直线与双曲线的交点为和，满足，符合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，线段的中点为，联立，整理得，所以，即，所以，，，，因为，所以，所以，所以，又点在直线上，所以，所以，解得或，满足，所以直线的方程为或.综上，直线的方程为，或.22.已知，.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证