2021年浙江省杭州市中考数学真题含详解

2021年浙江省杭州市中考数学真题含详解

姓名：班级：考号：

一、选择题(共10题)

1、-(-23=()

11

A.-2021B.2021C.-2021D.2021

2、“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录，

数据10909用科学记数法可表示为()

A.0.10909X105B.1.0909xl04c.10.909X103D.109.09xl02

3、因式分解：I7/=()

A.(l-2y)(l+2y)B.(2-y)(2+用

C(1-2J)(2+7)D(2-ty)(l+2y)

4、如图，设点F是直线，外一点，PQ5垂足为点0,点7是直线/上的一个动点,

连接PT,则()

A.FT±2PQBPT<2PQC.PT>PQ^PT<PQ

5、下列计算正确的是（）

A,万=2B.=-2g..=±2口.=±2

6、某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月

到五月接待游客人次的增长率为x(x>0),则()

A60.5(1-X)=25B25(1-X)=60,5

c60.5(1+x)=25D25(l+x)=60,5

7、某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘

客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是()

1211

A.5B.4C.3D.2

8、在“探索函数y=a/+5x+c的系数。，白，c与图象的关系”活动中，老师给

出了直角坐标系中的四个点：掰°2),5(1,0),523,同学们探索了经过这

四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中”的

值最大为()

9、已知线段AB,按如下步骤作图：①作射线AC,使ACA.AB,②作/孙。的平

分线心；③以点A为圆心，A?长为半径作弧，交皿于点E；④过点总作

屈于点P,则AP,AB=()

A.1：有B.l：2c.1：4D,1：0

10、已知》和乃均是以x为自变量的函数，当X■求时，函数值分别为此和AG,若

存在实数活，使得M+a=0,则称函数乃和为具有性质P.以下函数必和乃具有

性质P的是()

A,必=/+2x和y2=-x-l

B.必=/+2工和乃=一1+1

__

C.乃=一1和g=一彳1

_1

D.乃一x和乃=一了+1

二、解答题(共7题)

1、以下是圆圆解不等式组

2(l+x)>-1①

-(1-x)>-2②

的解答过程.

解：由①，得2+x>-l,

所以工>一3.

由②，得1-芯>2,

所以-x>l,

所以x>-l.

所以原不等式组的解是x>-l.

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

2、为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数

的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每一组

不含前一个边界值，含后一个边界值).

某校某年级360名学生一分仲跷堤

次数的分数直方图

某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表

组别(次)频数

100^13048

130^16096

160~190a

190^22072

(1)求。的值.

(2)把频数直方图补充完整.

(3)求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比.

3、在①AD=AE,②ZABE=ZACD,③郎=EC这三个条件中选择其中一个，补

充在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在ASBC中，=44cB，点D在A5边上（不与点A,点B重合），

点后在5C边上（不与点A,点C重合），连接BE,CD,BE与8相交于点尸.若

,求证：BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

4、在直角坐标系中，设函数必x（占是常数，片x>0）与函数为=£'（总

是常数，月。°）的图象交于点/,点4关于丁轴的对称点为点B.

（1）若点&的坐标为（72）,

①求占，占的值.

②当当<乃时，直接写出x的取值范围.

（2）若点8在函数为=丁（月是常数，能。°）的图象上，求用+总的值.

5、如图，在“EC中，乙4RC的平分线BD交加边于点D,于点E.已

知ZA5C=60°,ZC=45°.

(1)求证：AB=BD.

(2)若AE=3,求的面积

6、在直角坐标系中，设函数丁=。/+左+1(*3是常数，.

(1)若该函数的图象经过U°i和(2/)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点

坐标.

(2)写出一组a,5的值，使函数V=a/+以+1的图象与x轴有两个不同的交点，并

说明理由.

(3)已知a=b=\,当x=p,q(P,<7是实数，…)时，该函数对应的函数值分

别为P,Q.若P"=2,求证F+O>6.

7、如图，锐角三角形3c内接于OO,/班。的平分线NG交OO于点G,交BC边

于点尸，连接BG.

⑴求证：“BGSAAFC.

⑵已知奶=a,AC=AF=b,求线段咫的长（用含a,8的代数式表示）.

（3）已知点后在线段〃1上（不与点A,点F重合），点。在线段AS上（不与点A,

点5重合），ZABD=ZCBE,求证：BGi=GEGD.

三、填空题（共6题）

1、sin30°的值为.

2、计算：2a+3a=.

3、如图，已知0。的半径为1,点P是0。外一点，且。产=2.若FT是O。的切

线，7为切点，连接0T,则PT=.

4、现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示.

1甲种糖果乙种糖果

单元（元/千克）3020

千克数23

将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确

定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为元/千克.

5、如图，在直角坐标系中，以点33,1）为端点的四条射线AB9AC>AD,4E分别

过点见1/），点⑶，点044）,点即5,2）,则㈤0______乙DAE（填

“>”«=”«<”中的一个），

6、如图是一张矩形纸片加8,点舷是对角线RC的中点，点£■在3C边上，把^DCE

沿直线改折叠，使点C落在对角线公上的点F处，连接DF,EF.若MF=AB,

则/DAF=度.

===========参考答案======

一、选择题

1、B

【分析】

由去括号法则，即可得到答案.

【详解】

解.-(-2021)=2021

故选：B.

【点睛】

本题考查了去括号法则，解题的关键是掌握去括号法则进行计算.

2、B

【分析】

用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如司＜1°速为正整数，据此解题.

【详解】

解：10909用科学记数法可表示为1.0909x104,

故选：B.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解

题关键.

3、A

【分析】

利用平方差公式因式分解即可.

【详解】

解：1-41y2=门-2丁)(1+2的，

故选：A.

【点睛】

本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

4、C

【分析】

根据垂线段距离最短可以判断得出答案.

【详解】

解：根据点F是直线/外一点，垂足为点Q,

•FQ是垂线段，即连接直线外的点p与直线上各点的所有线段中距离最短,

当点T与点。重合时有PQ=PT,

综上所述：PTNPQ,

故选：C.

【点睛】

本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义.

5、A

【分析】

由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解："="=2,故A正确，C错误；

庖故B、D错误；

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断.

6、D

【分析】

根据题意可直接列出方程进行排除选项即可.

【详解】

解：由题意得：

25(l+xi=60.5,

♦

故选D.

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.

7、C

【分析】

用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率.

【详解】

解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的

结果，

甲123

乙］23123123

共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，

3_1

即甲和乙从同一节车厢上车的概率是

故选：C.

【点睛】

本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

8、A

【分析】

分四种情况讨论，利用待定系数法，求过工(°，2),8(M>),C(3,l),£)(2,3)中的三个点

的二次函数解析式，继而解题.

【详解】

解：设过三个点山°，2],8(1,0),C(3,l)的抛物线解析式为：y=a/+"+c

分别代入40,21,5(1,0),C(3,l)得

c=2

<a+b+c=0

9a+3b+c=1

5

c=2

解得；

设过三个点掰°，2),见L0),92,3)的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

分别代入8(1叫02,3)得

c=2

<以+3+c=0

4a+26+c=3

r5

c=2

解得.

设过三个点山°，2),C(3,l),2(2,3)的抛物线解析式为：y=a/+3x+c

分别代入他2),C(3,l)>D(2,3)得

c=2

<9a+33+c=1

4a+2&+c=3

a=--

6

,13

b=—

6

c=2

解得

2

设过三个点冽助，C（3J）,0（23的抛物线解析式为：y=ax+bx+c

分别代入现刈,C（"）,以2,3）得

«+8+c=0

<9々+33+c=1

4a2b-he=3

5

a=—-

2

,21

o----

2

c=-8

解得

5555

—>->—>—

2662

5

a最大为2,

故选：A.

【点睛】

本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关

键.

9、D

【分析】

由题意易得ZBAD=45°,AB=AE,进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等

腰直角三角形的性质可求解.

【详解】

解：：ACLAB,

：.ZC45=90°,

AD平分^BAC,

：.ZBAD=45°,

EPLAB,

/.△4处是等腰直角三角形，

AP=PE,

：.AE=y/AP2+PE2=^2AP,

'：AB=AE,

：.AB=42AP,

:.AP:AB=1:y/2.

故选D.

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直

角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键.

10、A

【分析】

根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项.

【详解】

解：当X■求时，函数值分别为M和瑟2,若存在实数阴，使得M]+峪=0,

对于A选项则有演2+加一1=0,由一元二次方程根的判别式可得：4ac=l+4=5>0,

所以存在实数m,故符合题意；

对于B选项则有I1+也+1=0,由一元二次方程根的判别式可得：/_4第=1-4=-3<0,

所以不存在实数m,故不符合题意；

———羽一1=0

对于C选项则有阳，化简得：制20+冽+1=0,由一元二次方程根的判别式可得:

/-4.=1-4=-3<0,所以不存在实数加，故不符合题意；

对于D选项则有W,化简得：活2-活+1=0,由一元二次方程根的判别式可得:

/-4公=1-4=-3<0,所以不存在实数加，故不符合题意；

故选A.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次

方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键.

二、解答题

1、有错误，正确的过程见解析

【分析】

利用一元一次不等式的性质、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解题.

【详解】

解：圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

由①，得2+2x>-l,

所以2x>-3,

3

x>

所以2；

由②，得-l+x>-2,

所以l-x<2,

所以-x<l,

所以x>-l,

将不等式组的解集表示在数轴上：

-I—।—I—>1—।—LX

-4^3=23^10123<

2

所以原不等式组的解是了>-1.

【点睛】

本题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

2、(1)144；(2)见解析；(3)20%

【分析】

(1)根据各组频数之和等于总数求出a的值即可得出答案；

(2)根据频数分布表中的数据，即可将频数分布直方图补充完整;

(3)用总人数乘以样本中第4组频数和占总人数的比例即可.

【详解】

解：(1)a=360—48—96—72=144；

则。的值为144；

(2)补全频数直方图，如图.

某校某年级360名学生一分片趣缆

(3)因为72+360xlOO%=20%,

所以该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的20%.

【点睛】

本题考查了频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意,

利用数形结合的思想解答.

3、见解析

【分析】

根据全等三角形的判定方法解答即可.

【详解】

解：选择条件①的证明：

因为^ABC=ZACB,

所以AB=AC,

又因为AD=AE,乙4=4,

所以XABEg/\ACD,

所以BE=CD.

选择条件②的证明：

因为4ABe=&CB,

所以AB=AC,

又因为乙4=乙4,ZABE=AACD,

所以△刈£0^ACD,

所以BE=CD,

选择条件③的证明：

因为FB=FC,

所以AFBC=ZFCB,

又因为Z.ABC=£ACB,BC=CB,

所以△血丝△BCD,

所以BE=CD

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：SSS,A4S,SAS,

ASA,HL

4、（1）①片=2,抬=2；②x>l；（2）0

【分析】

（1）①根据点A关于丁轴的对称点为点可求得点A的坐标是（L2）,再将点A的

坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得占=2,占=2；②观察图

象可解题；

=殳

（2）将点3代入为一二，解得用的值即可解题.

【详解】

解（1）①由题意得，点A的坐标是（L2）,

_用

必=—

因为函数X的图象过点力，

所以用=2,

同理上2=2.

②由图象可知，当与<%时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，

即当必<为时，X>1.

（2）设点力的坐标是5J。），则点方的坐标是（一而，为1,

所以占=xo&,/=一而必），

所以互+&=°.

【点睛】

本题考查关于y轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识,

是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

9+3出

5、(1)见解析；(2)2

【分析】

(1)根据题意证明443=乙438即可；

(2)根据特殊角的锐角三角函数求得BE、比的长，用三角形面积公式计算即可.

【详解】

解：(1)因为用0平分ZABC,

ZDBC=-ZABC=30°

所以2

所以^ADB=ADBC+Z.C=15°,

又因为ABAC=180O-ZABC-AC=15°,

所以ABAC=AADB,

所以AB=BD.

BE=———=“EC=-AE=3

(2)由题意，得tanZABC,tanZC

所以BC=3+》,

-BCAE=9+3y^-

所以的面积22

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三

角函数值是解题关键.

6、（1）丁=/-21+1,顶点坐标是（1，叫（2）。=1,5=3,理由见解析；（3）

见解析.

【分析】

（1）把点3°，和（2』代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求

解顶点坐标；

（2）根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；

（3）由题意，得尸=/+「+1，0=/+q+l,则有尸+。=2（"记+6,进而问题可

求解.

【详解】

4+3+1=0

解：（1）把点（1期和（2J）代入得：〔加+25+1=1,

d=1

《

解得9=-2,

...y='-21+1,则化为顶点式为y=（x-记，

该函数图象的顶点坐标是U°i；

（2）例如"1,b=3,此时丁=/+3x+l；

因为b2—Aac=5>0,

所以函数V=/+3x+l图象与x轴有两个不同的交点；

（3）由题意，得尸=/+「+1,。=/+9+1,

,/p+q=2

...P+e=p2+p+l+^2+<7+l

=p2+<72+4

=(2--+/+4

2

=2(^-1)+6>6J

由题意，知4W1,

所以尸+Q>6.

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

7、(1)见解析；(2)FG=a-b.(3)见解析

【分析】

(1)由题目已知角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三角

形相似；

(2)由(1)中的相似可以得到线段成比例,再由FG=/G-肃即可求得；

(3)要证BG2=G£GZ)即证2GBSXBGE,已知条件有一对角相等，利用外角关系可以

证明ZBDG=ZEBG,从而得证.

【详解】

(1)因为水?平分/BAC,

所以ABAG=AFAC,

又因为/G=NC,

所以^ABG^AAFC.

AB_AG

(2)由(1),知AFAC,

因为AC=AF,

所以AG=AB,

所以FG=AG-AF=a-b,

(3)因为ACAG=ZCBG,

又因为/BAG=/CAG,

所以^BAG=ZCBG,

因为ZABD=ZCBE,

所以Z.BDG=ABAG+AABD=ACBG+/LCBE=AEBG,

又因为ZDG5=Z5G®,

所以ADGBS^BGE,

GD_BG

所以BG=GE,

所以BG2=GEGD,

【点睛】

本题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解题

关键是要根据已知条件找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似・

三、填空题

1

1、2

【详解】

1_

试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=2.

2、5a

【分析】

根据同类项运算的加法法则进行计算即可.

【详解】

原式=(2+3)a

=5a.

【点睛】

本题主要考查的是同类项运算的加法法则，熟练掌握法则是本题的解题关键•

3、出

【分析】

根据圆的切线的性质，得/。螫=90。,根据圆的性质，得5=1,再通过勾股定理计算,

即可得到答案.

【详解】

FT是。。的切线，丁为切点

NO7P=90°

PT=y/OP2-OT2

'：的半径为1

0T=\

：,PT=&）尸-O72=/-1=6

故答