2021年新初三数学北师大开学考模拟试卷2

2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷2

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•金水区校级月考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.一个锐角和斜边对应相等

B.两条直角边对应相等

C.两个锐角对应相等

D.斜边和一条直角边对应相等

2.（2020秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，ZC=90°,4C=8,3,DC=AD,BD平分

NABC,则点。到48的距离等于（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2021春•杏花岭区校级月考）下列式子：（1）4>0；（2）2x+3y<0；（3）x=3；（4）x

Wy；（5）x+y：（6）x+3W7中，不等式的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.（2020春•碑林区校级月考）比较a+3与〃-〃的大小，叙述正确的是（）

A.a+h^a-hB.a+h>a-b

C.由a的大小确定D.由b的大小确定

5.（2021春•天河区校级月考）汉字“王、人、木、水、口、立”中能通过单独平移组成一

个新的汉字的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2021•济南模拟）如图，△A8C沿8c所在直线向右平移得到△OEF,已知EC=2,BF

7.（2019春•漳州期中）若多项式x1-ax-1可分解为（x-2）（x+b）,则a+b的值为（）

A.2B.1C.-2D.-1

8.（2021春•沙坪坝区校级月考）多项式x3+6?y+W与丹-9xy3的公因式是（)

A.x(x+3y)2B.x(x+3y)C.xy(x+3y)D.x(.x-3y)

9.(2010春•吉安期中)下列各式中，分式的个数是()

2a+2ba+ba+1(x-1)(x+2)、瓜

7,2，~7^'~T'/'"b'

A.2B.3C.4D.5

10.（2021春•莆田期末）如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM_LBQ于点M,AN

_LCE于点N.ZVIBC的周长为30,8c=12.则例N的长是（

D.3

二.填空题（共5小题）

II.（2020春•齐齐哈尔期末）已知x-y=3,且x>2,），<1,则x+y的取值范围是.

23

12.（2020秋•莱州市期中）在式子上、组、①上£、工、三+工、9x+也中，分式有

a兀46+x78y

个.

13.（2016秋•德惠市期末）给出六个多项式：①/+y；②-7+y2；③④*4-1；

⑤x（x+l）-2（x+1）；-mn+—n2.其中，能够分解因式的是（填上序

4

号）.

14.（2020春•涟源市期末）如图，ZC=ZD=90°,添加一个条件：（写出一

个条件即可），可使RtZ\ABC与RtAABD全等.

15.（2018春•吉州区期末）某小区有一块长方形的草地（如图），长18米，宽10米，空白

部分为两条宽度相等的小路，则草地的实际面积/M2.

三.解答题(共10小题)

16.(2020秋•铜官区期末)分解因式：2m(〃?--)2-Sm2(n-/n)

17.(2021春•浦东新区校级期中)已知不等式(a+b)x+(2〃-36)<0的解集是

3

求关于x的不等式(a-3b)x>2a-b的解集.

18.(2021春•江北区校级期中)按要求完成下列各题：

22

(1)若(%-3)(%+/77)=/+〃x-15,求n的值.

8n+5

(2)已知(〃-2020)2+(2021-〃)2=3,求(«-2020)(2021-n)的值.

(3)已知多项式2/-3x3+a?+7x+6含有因式/+x-2,求星的值.

b

19.(2013秋•合浦县期末)如图，已知NA=/Q=90°,E、F在线段BC上，DE与AF

交于点O,且A8=C£>,BE=CF.求证：RtAABF^RtADCE.

20.(2021春•盐田区校级期中)已知：如图，OC是/AOB的平分线，P是OC上的一点,

PDLOA,PELOB,垂足分别为。、E,点尸是OC上的另一点，连接。F,EF.求证:

21.(2020春•漉河区月考)如图所示，一块长为18〃?，宽为12,”的草地上有一条宽为2m

的曲折的小路，求这块草地的绿地面积.

22.(2020春•谍阳市期末)知识阅读：我们知道，当a>2时，代数式a-2>0；当a<2

时，代数式a-2<0；当a=2时，代数式a-2=0.

基本应用：当。>2时，用“>,<,="填空.

(1)a+50；

(2)(a+7)(a-2)0；

理解应用：

当。>1时，求代数式J+2”-15的值的大小；

灵活应用：

当a>2时，比较代数式a+2与a2+5a-19的大小关系.

23.(2019秋•连山区期末)仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2-4x+〃?有一个因式是(x+3),求另一个因式以及根的值.

解：设另一个因式为(x+〃)，得

x2-4x+m—(x+3)(x+〃)

贝!]x2-4x+m=x2'+(n+3)x+3n

.fn+3=-4

lm=3n

解得：”=-7,m=-21

••.另一个因式为(x-7),m的值为-21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2?+3x-A有一个因式是(2%-5),求另一个因式以及％的值.

24.(2021春•莆田期末)如图，已知四边形ABC。的对角线AC与BO相交于点O,且AC

=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与

OF的大小关系并加以证明吗？

25.(2020春•巩义市期末)如图，长方形0ABe中，。为平面直角坐标系的原点，点A、C

的坐标分别为A(3,0)、C(0,2),点B在第一象限.

(1)写出点8的坐标；

(2)若过点C的直线交长方形的OA边于点£>,且把长方形OA8C的周长分成2：3的

两部分，求点。的坐标；

(3)如果将(2)中的线段CQ向下平移3个单位长度，得到对应线段C'D',在平面

宜角坐标系中画出C,并求出它的面积.

2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷2

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•金水区校级月考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.一个锐角和斜边对应相等

B.两条直角边对应相等

C.两个锐角对应相等

D.斜边和一条直角边对应相等

【考点】直角三角形全等的判定.

【专题】图形的全等.

【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案.

【解答】解：4、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合A4S,

B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS；

C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；

D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定应.

故选：C.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA.AAS.HL.

注意：44A、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

2.（2020秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=8,3DC=AD,BD平分

ZABC,则点。到AB的距离等于（）

CDA

A.4B.3C.2D.1

【考点】角平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力.

【分析】过。作。于E,根据角平分线的性质得出。E=CD,求出CO的长，再

根据点到直线的距离的定义得出即可.

【解答】解：过。作。ELAB于E,

VZC=90°,8。平分NABC,

：.DE=CD,

；AC=8,3DC=AD,

:.CD=2,

：.DE=2,

即点力到AB的距离是2,

故选：C.

【点评】本题考查了角平分线的性质和点到直线的距离，注意：角平分线上的点到角两

边的距离相等.

3.(2021春•杏花岭区校级月考)下列式子：(1)4>0；(2)2x+3y<0；(3)x=3；(4)x

#y；(5)x+y；(6)x+3<7中，不等式的个数有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【考点】不等式的定义.

【分析】主要依据不等式的定义---------用“>”、“力"、“<”、"W”、“W”等不等

号表示不相等关系的式子是不等式来判断.

【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，

所以(1),(2),(4),(6)为不等式，共有4个.

故选：C.

【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解

答此类题关键是要识别常见不等号：

4.(2020春•碑林区校级月考)比较。+人与的大小，叙述正确的是()

A.a+b^a-bB.a+b>a-b

C.由。的大小确定D.由人的大小确定

【考点】不等式的性质.

【专题】探究型.

【分析】由于本题是两个式子比较大小，故可用作差法求出两式的差，再根据〃、〃的符

号进行讨论.

【解答】解：a+b~（a-b）—a+b-a+b—2b>

...当b20时，2b20,a+b^a-b,

当匕<0时，2b<0,a+b<a-h.

故选：D.

【点评】本题考查的是不等式的基本性质，先求出两式的差，再根据不等式的基本性质

讨论两式的大小是解答此题的关键.

5.（2021春•天河区校级月考）汉字“王、人、木、水、口、立”中能通过单独平移组成一

个新的汉字的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】生活中的平移现象.

【分析】根据平移是沿某一直线移动，且不改变图形的形状和大小，结合题意进行判断.

【解答】解：“人”平移得到“从”，“木”平移得到“林”，“水”平移得到“淼”，“口”

平移得到“品”，所以通过平移组成一个新的汉字的有4个.

故选：D.

【点评】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形

的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移.注意平移是图形整体沿某一直线方

向移动.

6.（2021•济南模拟）如图，ZXABC沿BC所在直线向右平移得到△£>£/,已知EC=2,BF

【考点】平移的性质.

【专题】平移、旋转与对称；应用意识.

【分析】利用平移的性质解决问题即可.

【解答】解：由平移的性质可知，BE=CF,

；BF=8,EC=2,

:.BE+CF=8-2=6,

；.BE=CF=3,

平移的距离为3,

故选：A.

【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考

题型.

7.(2019春•漳州期中)若多项式f-ov-1可分解为(x-2)(x+6),则“+%的值为()

A.2B.1C.-2D.-1

【考点】因式分解的意义.

【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把(x-2)(x+b)利用多项式乘法法

则展开即可求解.

【解答】解：：(x-2)(.x+h)=j?+bx-2x-2Z>=X2+(/>-2)x-2b=W-ax-L

:.b-2=-a,-2b=-1,

AZ?=0.5,Q=1.5,

:♦a+b=2.

故选:A.

【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算.是中考中的常见题型.

8.(2021春•沙坪坝区校级月考)多项式尸+6/)，+9冲2与丹-9孙3的公因式是()

A.x(x+3y)2B.x(x+3y)C.xy(x+3y)D.x(x-3y)

【考点】公因式.

【专题】整式；运算能力.

【分析】分别将多项式f+6/)，+32与多项式丹-9孙3进行因式分解，再寻找他们的公

因式.

【解答】解：*.*xi+6x1y+9xy2=x(/+6x)，+9y2)=x(x+3y)2,

x3y-9xyi=xy(x2-9y2)=xy(x+3y)(x-3y),

多项式/+6?)>+9到2与多项式x3y-9xy3的公因式是x(x+3y).

故选：B.

【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确

定公共因式.

9.(2010春•吉安期中)下列各式中，分式的个数是()

2a+2ba+ba+1(x-1)(x+2)

7'2'~T~x+2

A.2B.3C.4D.5

【考点】分式的定义.

【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，

如果不含有字母则不是分式.

【解答】解：a+2b,生也的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；

2兀

“+YE的分子不是整式，因此不是分式.

b

2,a+lt（x-1）（x+2）的分母中含有字母,因此是分式.

xax+2

故选：B.

【点评】本题考查了分式的定义：如果A、8表示两个整式，并且8中含有字母，那么

式子区叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.注意ir不是字母，是常数，

B

所以纪且不是分式，是整式.

兀

10.（2021春•莆田期末）如图，在△A8C中，BD、CE是角平分线，于点M,AN

_LCE于点N.ZVIBC的周长为30,BC=12.则MN的长是（）

【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【分析】延长AM、AN分别交8c于点F、G,根据为/A8C的角平分线，AMLBM

得出故△A8G为等腰三角形，所以也为等腰三角形的中线，即AM=

GM.同理AN=NF,根据三角形中位线定理即可得出结论.

【解答】证明：:△ABC的周长为30,BC=12.

.•.A8+AC=30-8C=18.

延长AM4M分别交BC于点尸、G.如图所示:

,/BM为ZABC的角平分线，

：.ZCBM=ZABM,

'：BM±AG,

：.ZABM+ZBAM=90°,/G+NC8M=90°,

：.ZBAM=ZAGB,

:.AB=BG,

：.AM=FM,

同理AC=CF,AN=NG,

:.MN为/\AFG的中位线，GF=BG+CF-BC,

.-.M7V=A(AB+AC-BC)=A(18-12)=3.

22

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟知三角形的中位

线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2020春•齐齐哈尔期末）已知x->=3,且x>2,y<l,则x+y的取值范围是l<x+y

<5.

【考点】不等式的性质.

【专题】常规题型.

【分析】利用不等式的性质解答即可.

【解答】解：7=3,

**»x=y+3,

又・・”>2,

・力+3>2,

-1.

又・・・yVl,

J-l<y<l,…①

同理得：2cx<4,…②

由①+②得-l+2Vy+x<l+4

的取值范围是l<x+y<5；

故答案为：l<x+y<5.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如y取

表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确

定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围.

12.(2020秋•莱州市期中)在式子』、&上、3abc、§、三+工、法+西中，分式有

a兀46+x78y

1_个・

【考点】分式的定义.

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含

有字母则不是分式.

【解答】解：式子工、一§_、9x+四的分母中含有字母，属于分式，其他的分母中不含

a6+xy

有字母，不是分式.

故答案是：3.

【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知

数.

13.(2016秋•德惠市期末)给出六个多项式：①，+)2；②-/+/；③/+2x)，+),2；④_?-1：

⑤x(x+l)-2(x+1)；©m2-mn+ln2.其中，能够分解因式的是②③④⑤⑥(填

4

上序号).

【考点】因式分解的意义.

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.

【解答】解：①不能因式分解，故①错误；

②-7+尸利用平方差公式，故②正确；

③/+2冲+/完全平方公式，故③正确；

④x4-1平方差公式，故④正确；

⑤x(x+1)-2(x+1)提公因式，故⑤正确；

©m2-mn+^-tr完全平方公式，故⑥正确；

4

故答案为：②③④⑤⑥.

【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形

式，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，注意分解要

彻底.

14.（2020春•涟源市期末）如图，ZC=Z£>=90°,添加一个条件：AC=A。（写出

一个条件即可），可使RtZ\A8C与RtZ\AB£>全等.

【考点】直角三角形全等的判定.

【专题】几何图形.

【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角

形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即或AC=AD

【解答】解：条件是AC=AO（答案不唯一），

VZC=Z£）=90o,

在RtAABC和RtAABD中

[AB=AB,

1AC=AD，

ARtAAfiC^RtAAfiD（HL）,

故答案为：AC=AD（答案不唯一）.

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意:

直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.

15.（2018春•吉州区期末）某小区有一块长方形的草地（如图），长18米，宽10米，空白

部分为两条宽度相等的小路，则草地的实际面积128加2.

【考点】生活中的平移现象.

【分析】将小路两旁部分向中间平移，直到小路消失，发现草地是一个长为(18-2)米、

宽为(10-2)米的长方形，根据长方形面积=长义宽列式计算即可.

【解答】解：由题意，得草地的实际面积为：

(18-2)X(10-2)=16X8=128Cm2').

故答案为128.

【点评】此题考查生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键思路.

三.解答题(共10小题)

16.(2020秋•铜官区期末)分解因式：2m(.tn-n)2-8ZM2(n-m)

【考点】因式分解-提公因式法.

【分析】直接找出公因式，进而提取公因式得出答案.

【解答】解：2m(m-n)2-8m2(n-m)

=2m(机-〃)[(tn-n)+4/川

=2m(机-〃)(5〃?-〃).

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

17.(2021春•浦东新区校级期中)已知不等式(a+b)x+(2a-3b)<0的解集是x<二，

3

求关于x的不等式(.a-3b)x>2a-b的解集.

【考点】不等式的解集.

【分析】根据已知条件，判断出a+b>0,a=2b,再求得不等式(”-36)的解

集.

【解答】解：•••不等式(a+b)x+(2a-3/7)<0的解集是

3

.\x<-2a-3b,

a+b

....2a-3b=.JL)解得a=2b；

a+b3

把a=2b代入(a-3/?)x>2a-b得,-bx>3b,

•・・a+Q0,a=2b,

：.a>0,/?>0,

・・・xV-3.

【点评】解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号的

方向不变.

18.(2021春•江北区校级期中)按要求完成下列各题：

22

(1)若(%-3)(x+m)=x2+nx-15,求2二5!_的值.

8n+5

(2)已知(zi-2020)2+(2021-n)2=3,求(»-2020)(2021-n)的值.

(3)已知多项式2/-3丁+0?+7*+8含有因式7+x-2,求且的值.

b

【考点】多项式乘多项式；因式分解的意义；因式分解-分组分解法：因式分解-十字

相乘法等；分式的值.

【专题】整式；分式；运算能力.

【分析】(1)利用整式乘法求出加，”的值，再代入求值即可；

(2)利用完全平方公式和整体代入，用多项式乘多项式法则求解即可：

(3)由于f+x-2=(JC+2)(x-1),而多项式Z?1-能被/+x-2整除，

则2/-3『+—+7》+。能被(x+2)(x-1)整除.运用待定系数法，可设商是4,则2/

-3xi+ax1+lx+b=A(x+2)(x-1),贝Ux=-2和x=1时，2x4-3/+”/+7犬+%=0,分另U

代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到里的

b

值.

【解答】解：(1)；(X-3)(x+m)=/+(w-3)x-3m=^+nx-15,

:.n=m-3,-3in--15,

♦・m=5,〃=2,

22

把m=5,〃=2代入11.111—得,

8n+5

22

原式=2-5=-21=-1.

8X2+5~2F

(2)令"-2020=a,2021-n^b,

根据题意得：

J+〃2=3,a+b=1,

原式=M=(a+b)2-Q2+b2)=上3=_1

22

(3)2=(x+2)(x-1),

A2x4-3x3+tix2+7x+/?能被(x+2)(x-1)整除，

设商是A.

贝lj2/-3x^+ax2+lx+h=A(x+2)(x-1),

则x=-2或x=l时，右边都等于0,所以左边也等于0.

当x=-2时，2x4-34+0?+7/6=32+24+4。-14+匕=4。+6+42=0①，

当x=1时，2/-3/+a?+7x+〃=2-3+a+7+b=a+6+6=0②，

①-②，得

3a+36=0,

-12,

:・b=-6-a=6.

.•.旦=-12=-2.

b6

【点评】此题考查的是分式的值，熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基

础，注意因式的特点，灵活解决问题.

19.（2013秋•合浦县期末）如图，已知NA=NQ=90°,E、F在线段8c上，QE与A尸

交于点O,且AB=C£>,BE=CF.求证：RtAABF^RtADCE.

【考点】直角三角形全等的判定.

【专题】证明题.

【分析】由于aABF与aOCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证

明.

【解答】证明：

：.BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

VZA=ZD=90°,

/XABF与ADCE都为直角三角形，

在RtZVIBF和中，JBF=CE,

|AB=CD

：.Rt/\ABF^Rt/\DCE（HL）.

【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=C尸通过等量代换得到

BF=CE.

20.（2021春•盐田区校级期中）已知：如图，OC是/AO8的平分线，P是OC上的一点，

PDLOA,PELOB,垂足分别为。、E,点尸是OC上的另一点，连接。尸，EF.求证：

DF=EF.

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.

【专题】证明题.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得利用证明Rta

OP。和RtZ\OPE全等，根据全等三角形对应边相等可得。。=。£再利用“边角边”证

明△。〃尸和△0E5全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可.

【解答】证明：；OC是NAOB的平分线，PDLOA,PELOB,

：.PD=PE,

在RtAOPD和RtAOPE中，J0P=0P,

|PD=PE

：.Rt/\OPD^Rt^\OPE(HL),

：.OD=OE,

,：OC是/AOB的平分线，

NDOF=AEOF,

rOD=OE

在△OOF和△OEF中，.ZDOF=ZEOF>

OF=OF

：.AODF^/\OEF(SAS),

：.DF=EF.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与

性质，难点在于二次证明三角形全等.

21.(2020春•漉河区月考)如图所示，一块长为18〃?，宽为12巾的草地上有一条宽为2根

的曲折的小路，求这块草地的绿地面积.

【考点】生活中的平移现象.

【分析】根据平移的性质，表示出去掉小路宽后的长与宽可得答案.

【解答】解：绿地的面积为：(18-2)X(12-2)=160

答：这块草地的绿地面积是160层.

【点评】本题考查了生活中的平移现象，平移使路变直进而表示出是解题关键.

22.(2020春•漂阳市期末)知识阅读：我们知道，当〃>2时，代数式”-2>0；当“<2

时，代数式“-2V0；当〃=2时，代数式〃-2=0.

基本应用：当。>2时，用“>,V,="填空.

(1)a+5>0；

(2)(a+7)(a-2)>0；

理解应用：

当a>1时，求代数式(^+1a-15的值的大小；

灵活应用：

当。>2时，比较代数式。+2与J+5”-19的大小关系.

【考点】不等式的性质.

【专题】常规题型；运算能力.

【分析】本题主要考查不等式的基本逻辑计算.

【解答】解：⑴'：a>2,

：.a+5>0；

(2)Va>2,

：.a-2>0.«+7>0,

(a+7)(a-2)>0.

理解应用：

a2+2a-15=(«+l)2-16,当a=1时，^+2。-15=-12,^«>1a2+2a-15>-

12.

灵活运用：

先对代数式作差，(/+5。-19)-(a+2)=a2+4a-21=(a+2)2-25,

当(a+2)2-25>0时，。<-7或a>3.因此，当a23时，a2+5a-19^«+2；

当2<“<3时，a2+5a-\9<a+2.

【点评】本题主要考查不等式的基本逻辑计算.在比较大小时，注意给定范围内进行不

等式的相减运算.

23.（2019秋•连山区期末）仔细阅读下面例题，解答问题:

例题：己知二次三项式W-4x+m有一个因式是（x+3）,求另一个因式以及，〃的值.

解：设另一个因式为（%+«）,得

x2-4x+m=（x+3）（x+n）

则，-4工+〃?=）+（n+3）x+3n

,fn+3=-4

lm=3n

解得：n=-7,m=-21

・・・另一个因式为（x-7）,小的值为-21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式27+3X-Z有一个因式是（2x-5）,求另一个因式以及z的值.

【考点】因式分解的意义.

【专题】阅读型.

【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式/-4x+m的二次项系

数是1,因式是（x+3）的一次项系数也是1,利用待定系数法求出另一个因式.所求的

式子2?+3x-%的二次项系数是2,因式是（2x-5）的一次项系数是2,则另一个因式的

一次项系数一定是1,利用待定系数法，就可以求出另一个因式.

【解答】解：设另一个因式为（X+4）,得（1分）

Ix^+hx-k=（2x-5）（x+a）（2分）

贝ij2X2+3X-k=2，+（2a-5）x-5a（4分）

...（2a-5=3（6分）

I-5a=-k

解得：a—4,k—20（8分）

故另一个因式为（x+4）,女的值为20（9分）

【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键.

24.（2021春•莆田期末）如图，已知四边形A8CO的对角线AC与8。相交于点O,且AC

=BD,M、N分别是A&CD的中点，MN分别交80、AC于点E、F.你能说出OE与

OF的大小关系并加以证明吗？

【考点】三角形中位线定理.

【专题】证明题；探究型.

【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明.

【解答】解：相等.理由如下：

取AO的中点G,连接MG,NG,

；G、N分别为A。、C。的中点，

：.GN是△AC。的中位线，

：.GN=^AC,

2

同理可得，GM=LBD,

2

；AC=BD,

GN=GM=1AC=ABD.

22

NGMN=/GNM,

又•：MG〃OE,NG//OF,

：.NOEF=NGMN=NGNM=ZOFE,

：.OE=OF.

【点评】注意此题中的辅助线：构造三角形的中位线.运用三角形的中位线的数量关系

和位置关系进行分析证明.

25.(2020春•巩义市期末)如图，长方形。ABC中，。为平面直角坐标系的原点，点4、C

的坐标分别为4(3,0)、C(0,2),点B在第一象限.

(1)写出点8的坐标；

(2)若过点C的直线交长方形的0A边于点O,且把长方形0A8C的周长分成2：3的

两部分，求点。的坐标：

（3）如果将（2）中的线段CO向下平移3个单位长度，得到对应线段C'D',在平面

直角坐标系中画出△CD'C,并求出它的面积.

【考点】坐标与图形性质；平移的性质.

【分析】（1）通过作x轴和），轴的垂线来确定B点的坐标.

（2）先算出长方形0ABe的周长为10,故两部分的周长分别为4和6,XOA+OC<6,

即OC+O£）=4.便可解得D点坐标.

（3）向下平移即横坐标不变，纵坐标减小3.

【解答】解：（1）B点的坐标为（3,2）；

（2）长方形0ABe的周长为10,

点。在04边上，把长方形OA8C的周长分成2：3两部分,

：OC+O4=5<6,二只能OC+O£>=4,

又；0C=2,

（90=4-2=2,

故。点坐标为（2,0）；

（3）△CD,C如图；

CC'=3,D'的坐标为（2,-3）.

可得三角形c»C'的面积为：1X3X2=3-

【点评】本题考查了点的坐标问题，平面图形的周长问题及线段的平移问题.

考点卡片

1.多项式乘多项式

（1）多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积

相加.

（2）运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，

在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.

2.因式分解的意义

1、分解因式的定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解

因式.

2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因

式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.例如：

x2-1,e6x+i）（x-i；

1~~1蔚K乘法

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

3.公因式

1、定义：多项式加。+/油+，"。中，各项都含有一个公共的因式相，因式叫做这个多项式各

项的公因式.

2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：

①定系数，即确定各项系数的最大公约数；

②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；

③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次塞.

4.因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项

式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具体方法：

（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的

相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的.

(2)如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为

正数.

提出“-”号时，多项式的各项都要变号.

3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

4、提公因式法基本步骤：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因

式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，

求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.

5.因式分解-分组分解法

1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组

后能出现公因式，二是分组后能应用公式.

2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①奴

—x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

@2xy--y2

--(A2-Ixy+y1')+1

=1-(x-y)2

=(1+x-y)(1-x+y)

6.因式分解-十字相乘法等

借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的

方法，通常叫做十字相乘法.

①/+(p+q)x+pq型的式子的因式分解.

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1;常数项是两个数的积；

可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

/+(p+q)x+pq=(x+p)Cx+q)

②o?+陵+c(〃N0)型的式子的因式分解

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数m,ai的积m・及，

把常数项C分解成两个因数Cl,C2的积C1，C2,并使〃IC2+〃2C1正好是一

次项b,那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(6/u+ci)(c3+c2).

7.分式的定义

(1)分式的概念：一般地，如果A,8表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子a叫

B

做分式.

(2)因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0.

(3)分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除

号，还兼有括号的作用.

(4)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是直

B

的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简.

(5)分式是一种表达形式，如"2+2是分式，如果形式都不是A的形式，那就不能算是分

xB

式了，如：(x+1)4-(x+2),它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数

次累表示的某些代数式如(“+b)-2,yT,则为分式，因为>一1=上仅是一种数学上的规定，

y

而非一种运算形式.

8.分式的值

分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解