微专题05 将军饮马模型通关专练解析版

微专题05将军饮马模型通关专练一、单选题1．（2023·福建厦门·校考二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为BC、CD的中点，点P是对角线BD上的动点，则四边形PECF周长的最小值为（）A．4 B．4+22 C．8 D．【答案】C【分析】作E关于BD的对称点E'，连接E'F交BD于点O，根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四边形PECF【详解】解：如图，作E关于BD的对称点E'，连接E'F交BD故点P与点O重合时，四边形PECF的周长最小，即OE+OF最小，∵E和E'关于BD则OE=O连接E'P，同样E而E'F=所以当P与O重合时，四边形PECF周长最小，即为4+2+2=8，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB与点D，∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（

）A．4cm B．2cm C．3cm D．1cm【答案】C【详解】∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.故选C.3．（2023·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AP+BP故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．4．（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′．【详解】解：如上图，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm，∴AB=AC=2AD=70，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，∴QD=DQ′=15（cm），∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm)∵BP=20（cm），∴AP=AB-BP=70-20=50（cm）∴AP=AQ′=50（cm），∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′=PA=50（cm），∴PE+QE的最小值为50cm．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．5．（2023春·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，下列线段最短的是（）A．PA B．PC C．PB D．PD【答案】C【分析】根据点到直线的距离可直接进行排除选项．【详解】解：∵点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，∴PB<PC<PA<PD，∴线段最短的是PB；故选C．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是解题的关键．6．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（

）A．（-2，0） B．（0，0） C．（2，0） D．（4，0）【答案】C【分析】作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐标代入求出解析式是y=x-2，把y=0代入求出x即可．【详解】如图：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小，∵A（-2，4），∴C（-2，-4），设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐标代入得：{2＝解得：k=1，b=-2，∴y=x-2，把y=0代入得：0=x-2，x=2，即P的坐标是（2，0），故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．7．（2023·福建·校联考零模）如图，等腰Rt△ABC中，AB⊥AC于A，AB=CA=DC=2，M为△ABC内一点，当MA+MB+MC最短时，在直线BM上有一点E，连接CE．12BE+CEA．π B．263 C．63【答案】D【分析】由M为△ABC内一点，当MA+MB+MC最短时，得M为△ABC的费马点，以AC为边向外作正三角形ACF，据费马点的特征，直线BM和直线BF为同一条直线，由题意容易求得∠MBC=30°，以BF为边，B为顶点向∠MBC的外侧作∠FBG，使∠FBG=30°，过E作BG的垂线，垂足为H，显然12BE+CE=CE+EH；再过点C作BG的垂线，垂足为H'，由垂线段最短，知12BE+CE=CE+EH≥C【详解】解：如下图以AC为边向外作正三角形ACF，以BF为边，B为顶点向∠MBC的外侧作∠FBG，使∠FBG=30°，过E作BG的垂线，垂足为H，过点C作BG的垂线，垂足为H由∠FBG=30°，HE⊥BG知HE=1∴1下面计算C∵AB=AC=2且AB⊥AC∴BC=22∵M为△ABC内一点，当MA+MB+MC最短时∴M为△ABC的费马点由费马点的特点知BM与BF为同一条直线∵正三角形ACF∴∠CAF=60°又AB⊥AC∴∠BAF=150°又AB=AC=AF∴∠ABF=15°又∠ABC=45°∴∠FBC=30°∴∠GBC=60°在RT△BCHC∴12BE+CE的最小值为故选：D．【点睛】此题是几何最值问题——费马点和胡不归的综合．确定最短长度时，要据30°角所对直角边是斜边的一半把问题转化为“垂线段最短”来解决；计算最短值时要熟悉费马点的性质．8．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠C=α°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（

）A．α B．2α C．180-α D．180-2α【答案】D【分析】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A″，即可得出【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于E∴AF=A″F∴∠EA'A=∠EA则A'A″∵∠C=α，∠ABC=∠ADC=90°∴∠DAB=180°-α，∴∠AA∵∠EA'A=∠EA∴∠EAA∴∠EAF=180°-α-α=180°-2α，故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．9．（2023秋·八年级单元测试）如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：要得到满足题意的点，首先要作A点（或B点）关于直线l的对称点，然后将此对称点与B(A)点连接，所得连线与直线l的交点即为所求点，观察选项，只有C符合.故选：C．10．（2023·福建·九年级专题练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan∠ABC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC，利用正切的定义解得ADBD＝4，再由垂直平分线的性质得到点C关于直线EF的对称点为点A，根据轴对称—【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵BC＝4，∴BD＝2，∴tan∠ABC＝ADBD＝4解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝故选：C．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题11．（2023春·福建福州·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，点B，P，Q的坐标分别为5,0，a,2，a+2,2，则△BPQ周长的最小值为．【答案】2【分析】由题意，PB=(a-5)2+22，PQ=2，BQ=(a-3)2+22，推出当PB+BQ=(a-5)2+22【详解】解：∵B5,0，Pa,2，∴PB=(a-5)2+22∴当PB+BQ=(a-5)2+欲求PB+BQ的最小值，相当于在x轴上找一点Ea,0，使得点E到F5,2，如图，作点G关于x轴的对称点L，连接FL交x轴于点E，此时EG+FE的值最小，∵L3,-2，EG+EF的最小值=FL=∴△BPQ的周长的最小值为25故答案为：25【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12．（2023秋·福建南平·八年级统考期末）如图，∠AOB=22°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OA，OB上的动点，记∠MQP=α，∠OPN=β，当MQ+QP+PN最小时，则α与β的数量关系为．【答案】β-α=44°【分析】作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于P，交OB于Q，则MQ+QP+PN【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于P，交OB∴∠OQM=∠OQM'=∠NQP∴∠PQN=1∴β-α=44°，故答案为：β-α=44°．【点睛】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．（2023秋·福建莆田·八年级统考期中）如图，在锐角△ABC中，∠ACB=50°，边AB上有一定点P,M,N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是．【答案】80°【分析】根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案；【详解】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，∴∠C+∠EPF=180°，∵∠C=50°，∵∠D+∠G+∠EPF=180°，∴∠D+∠G=50°，由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，L∴∠GPN+∠DPM=50°，∴∠MPN=130°-50°=80°，故答案为：80°．【点睛】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用．14．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，S△ABC=3cm2，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，则△【答案】4【分析】连接BD，由于AB=BC，点D是AC边的中点，故BD⊥AC，再根据三角形的面积公式求出BD的长，再根据直线l是线段BC的垂直平分线可知，点C关于直线l的对称点为点B，故BD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接BD，∵AB=BC，点D是BC边的中点，∴BD⊥AC，∴S△ABC=12AC•BD=12×2×BD解得BD=3，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴点C关于直线l的对称点为点B，∴AB的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短=（CP+PD）+CD=BD+12AC=3+1=4故答案为：4．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．15．（2023秋·八年级课时练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为.【答案】9.【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.【详解】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD≅△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.16．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线MN上，∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为【答案】15【分析】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称易证∠CBP=∠CDP，结合∠BCN=30°证得△BCD是等边三角形，可得AC=CD，结合已知根据等腰三角形性质可求出∠CDP，即可解决问题．【详解】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，∵AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称可知：CB=CD，PB=PD，∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,∴∠CBP=∠CDP，∵∠BCN=30°，∴∠BCD=2∠BCN=60°，∴△BCD是等边三角形，∵AC=BC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠CAD=∠CDA=1∴∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15．【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键．三、解答题17．（2023秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如下图所示，点A(1,1)，点B(4,2)，点C(3,4)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B(2)y轴上是否存在一点P，使得PA+PB的和最小．若存在，请你找出点P的位置．（保留作图痕迹）(3)求出△A【答案】(1)画图见解析，A1-1,1，B(2)见解析(3)7【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，进而得点（2）连接AB1或A1B，与（3）根据网格利用割补法计算即可．【详解】（1）解：如图，△AA1-1,1，B1（2）如图，点P即为所求；（3）S△【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．18．（2023春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC（三个顶点均在格点上）．(1)作△ABC关于直线HG的轴对称图形△A(2)画出△ABC中BC边上的高AD；(3)在HG上画出点P，使PB+PC最小．【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；（2）根据三角形的高的概念过点A作AD垂直于线段CB的延长线，垂足为D即可；（3）连接CB1，交HG于点P，点P即为所求．【详解】（1）解：如图1，△A（2）解：如图2，过点A作AD垂直于线段CB的延长线，垂足为D，则线段AD就是△ABC中BC边上的高；（3）解：如图3，根据两点之间，线段最短，连接CB1，交HG于点P，点P即为所求．【点睛】本题考查作轴对称图形，作高、以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．19．（2023春·福建泉州·七年级福建省永春第一中学校考期末）（1）如图1，在△ABC中∠A＝60º，BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.①填空：∠BOC＝度；②求证：BC＝BE+CD．(写出求证过程)（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n，CE平分∠ACB．①若△ABC的面积为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是．(直接写出答案)；②若∠A=20°，则△BCE的周长等于．(直接写出答案)．【答案】（1）①120；②证明见解析；（2）①2sn(或m2-【详解】试题分析：（1）①根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+12∠A，由∠A＝60º即可得∠BOC②采用截长法在BC上截取BF＝BE，连接OF，由边角边证得△EBO≌△FBO，再由角边角证得△DCO≌△FCO，即可得证；（2）①当AM⊥BC时，AM+MN的值最小；②在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，通过构造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性质即可求解.试题解析：（1）①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，∵BD、CE均为△ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，∴∠BOC=90°+12∠A∵∠A＝60º，∴∠BOC=90°+12×60º=120°故答案为120°；②证明：由（1）①∠BOC＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝180°－120°＝60°，在BC上截取BF＝BE，连接OF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO，又∵BO＝BO(公共边相等)∴△EBO≌△FBO(SAS)∴∠BOF＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝∠BOC－∠BOF＝120°－60°＝60°＝∠COD，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO＝∠FCO，又∵CO＝CO(公共边相等)∴△DCO≌△FCO(ASA)∴CD＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+CD；（2）①如图：当AM⊥BC时，与BC交于点D，过M作MN⊥AC交AC与点D，∵CE平分∠ACB，∴DM=DN，∴AD=AM+MD=AM+MN,此时，AM+MN的值最小，由S△ABC=12BC·AD，BC=n，△ABC的面积为S得AD=2s或∵AB=AC,AD⊥BC,AB=AC=m，BC=n，∴BD=CD=n2在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=m2故答案为2sn(或m②如图：在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，∵AB=AC=m，∠A=20°，∴∠B=∠C=80°,∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠DCE=40°,∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE,∴∠CDE=∠B=80°,∠DEC=∠BEC=60°,BE=DE,∴∠CDE=40°,∵EC=EF,∴∠EFC=∠ECF=40°,∴∠DEF=∠CDE-∠DFE=40°,∴DE=DF,∠AEF=∠DFE-∠A=40°-20°=20°,∴EF=AF,∴BE=DF,CE=AF,∴△BCE的周长=BC+CE+BE=CD+AF+DF=AC=m.点睛：此题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，最短路径问题等知识.解题的关键是添加正确的辅助线构造出全等三角形，对线段进行转化.20．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,2，(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A(2)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并简要说明理由.【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）先根据轴对称性质找到A、B、C的对应点A1、B1、（2）作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'交x轴于点P，连接AP【详解】（1）解：如图，△A（2）解：作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'交x轴于点P，连接AP则AP+BP=AP+B根据两点之间，线段最短，此时△PAB的周长最小，△PAB如图所示．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、最短路径问题，能根据对称性质正确作出对称图形是解答的关键．21．（2023春·福建三明·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）

(1)在图中画出△ABC关于直线l对称的△A(2)在直线l上找出点P，使得△PBC周长最小，在图中标出点P的位置；(3)已知点D在格点上，且△BCD和△BCA全等，请画出所有满足条件的△BCD（点D与点A不重合）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）找到△ABC关于直线l对称的点，再依次连接即可；（2）连接B1C，与直线l交于点（3）根据全等三角形的判定画图即可．【详解】（1）解：如图，△A

（2）如图，点P即为所求；（3）如图，△BCD即为所求，共有3个．

【点睛】此题主要考查了作图—轴对称变换，全等三角形的判定，最短路径，解题的关键是掌握相应的画图方法．22．（2023秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC．(1)写出△ABC各顶点的坐标；(2)画出△ABC关于y轴对称的△A(3)在y轴上作出点P，使得AP+BP的值最小．【答案】(1)A(－4，5)，B(－3，1)，C(－1，3)(2)见解析(3)见解析【分析】（1）按要求写出横纵坐标即可；（2）关于y轴对称的时候，x值变成相反数，其余不变；（3）连接B和A的对称点A1，该直线与y轴的交点就是AP+BP值的最小【详解】（1）A（－4，5），B（－3，1），C（－1，3）；（2）如图△A1B1C1就是所求的图形；（3）如图所作的点P即为所求．【点睛】本题考查图形的对称，平面直角坐标系，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．23．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在网格中画出△ABC向下平移4个单位得到的△A(2)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A(3)在直线m上画一点P，使得△ACP的周长最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据平移的性质分别作出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得△A（2）根据轴对称的性质分别作出点A、B、C关于直线m的对称点A2、B2、C2，再顺次连接即可得△A（3）连接A2C交直线m于点P即可．（1）解：如图，△A1（2）解：如图，△A2（3）解：如图，点P即为所求