第二十一章 一元二次方程（知识归纳+题型突破）（四大题型81题）（原卷版）-（人教版）

第二十一章一元二次方程（知识归纳+题型突破）1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．3、了解--元二次方程的根与系数的关系．4、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．1.一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.(2)因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）.配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．3.根的判别式(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．4.列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.题型一一元二次方程的解【例1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（）A． B． C． D．巩固训练：1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（）A． B． C． D．或2．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（

）A．0 B．2 C． D．43．（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20234．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程，若，则此方程必有一个根为（

）A．0 B．1 C．-1 D．±15．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（

）A． B． C． D．6．（2023春·山东泰安·八年级统考期中）若的一个解为，则的值为（）A． B． C． D．7．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）若是方程的一个根，则m的值为．8．（2023·全国·九年级专题练习）（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关于x的方程的解，则的值为．9．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根为0，则．10．（2023·四川·九年级专题练习）先化简，再求值，其中x的值是方程的根．题型二一元二次方程的解法【例2】（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．．解：二次项系数化为1，得，第一步

移项，得，第二步配方，得，第三步变形，得，第四步开方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．【例3】（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）阅读材料，并回答问题：小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程无解问题：(1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；(2)发生错误的原因是：；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【例4】（2023·全国·九年级专题练习）按要求解方程(1)（直接开平方法）；(2)（配方法）；(3)（公式法）(4)（因式分解法）(5)（换元法）【例5】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．【阅读】例题：求多项式的最小值．解：，∵，∴∴多项式的最小值是4(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；(2)求多项式的最大值．巩固训练1．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）解方程，下列用配方法进行变形正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程时，在方程两边应同时加上（）A． B． C． D．3．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程，配方后得到的方程（

）A． B．C． D．4．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）用配方法解一元二次方程配方后可变形为（

）A． B． C． D．5．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（

）A． B．10 C． D．96．（2022秋·山西太原·九年级校考阶段练习）在解方程时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（

）A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确7．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程时，变形正确的是（

）A． B． C． D．8．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）若，则的值是（

）A．2 B．3 C．或3 D．2或9．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）一元二次方程配方后可化为．10．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x满足，则代数式的值为．11．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程：12．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）用配方法解方程：．13．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）解方程：14．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）选取最恰当的方法解方程：(1)(2)15．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）用指定的方法解下列方程(1)（配方法）(2)（公式法）16．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）解方程：(1)（用公式法）(2)（用配方法）17．（2022秋·湖北荆州·九年级校考期中）请用指定方法解下列方程：(1)公式法：；(2)因式分解法：．18．（2023春·山东威海·八年级统考期末）按指定方法解方程：(1)；（因式分解法）(2)．（配方法）题型三一元二次方程根的判别式【例6】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知关于的方程．(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰的底边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．巩固训练1．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（

）A．33 B．23 C．17 D．2．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）关于x的方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定4．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且6．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）方程有两个实数根，则m的取值范围（

）A．且 B．且 C． D．且7．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（

）A．①② B．②③ C．①③ D．③④8．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a，b，定义新运算：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是（

）A．4 B． C． D．9．（湖北省荆州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）对于实数u、v定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为．10．（2023·贵州·统考中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是．11．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）已知关于的一元二次方程．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求的取值范围．12．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于的方程(1)当取什么值时，方程只有一个根？(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．题型四一元二次方程的实际应用【例7】（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）某工厂由于采用新技术，生产量逐月增加，原来月产量为2000件，两个月后增至月产量为3000件．若设月平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（

）A． B．C． D．【例8】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是72，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【例9】（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．动点，同时从，两点出发，当的面积为时，动点，的运动时间为．【例10】（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？巩固训练1．（2023·全国·九年级专题练习）广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（

）A． B． C． D．2．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）有一人感染了某种病毒，若不及时控制就会传染其他人，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，经过两轮传染后共有64人感染，则的值是（）A．8 B．7 C．6 D．53．（重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）李师傅去年开了一家商店，今年月份开始盈利，月份盈利元，月份盈利达到元，若设月到月每月盈利的平均增长率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．4．（2023春·河北沧州·九年级校考阶段练习）国家卫健委临床检验中心数据，因疫情防控需求，全国新冠病毒核酸检测实验室数量从2020年的2081家，增长至2022年的万家，如果这两年核酸检测实验室的年平均增长率为，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（

）

A． B． C．或 D．6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（

）

A． B．C． D．7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．8．（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为元．9．（2023春·八年级单元测试）在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使的面积为，则点P运动的时间是．10．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是．11．（2023春·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考期末）今年春季是甲流病毒的高发期．为了遏制甲流病毒的传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有个人患了甲流．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)某药房最近售出了盒口罩．已知售出的医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒医用口罩的单价为元，每盒普通医用口罩的价格为元，则售出医用口罩和普通医用各多少盒时，总销售额最多？请说明理由．12．（2023·广东阳江·统考一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流．(1)每轮感染中平均一个人传染几人？(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？13．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？14．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，矩形草地中，m，m，点为边中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（，），若草地总面积（两部分阴影之和）为，求甬路的宽．15．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，正方形分割成两个小正方形和两个长方形．(1)若正方形边长为，正方形的面积是正方形的一半，求正方形的边的长．(2)若正方形面积为，设，四边形的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域．(3)四边形的面积是否能够等于正方形面积的一半，如果能，请求出长，如果不能请说明理由．16．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围AB，AD两边）．

(1)若花园的面积为，求AB的长；(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．17．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．18．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）某公园中有一块长为32米，宽为20米的矩形花坛，现在要在花坛中间修建一条如图所示的文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相交成直角，若要使花坛的种植面积为540平方米，问长廊的宽度应为多少米？

19．（辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）今年元旦期间，某网络经销商进购了一批节日彩灯，彩灯的进价为每条元，当销售单价定为元时，每天可售出条，为了扩大销售，决定采取适当的降价措施，经调查：销售单价每降低元，则每天可多售出条．若设这批节日彩灯的销售单价为(元)，每天的销售量为(条)．(1)求每天的销售量(条)与销售单价(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为元？20．（2023春·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．(1)求樱桃的进价是每千克多少元？(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？21．（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元／件）3025销售价（元／件）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？22．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？23．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？(2)该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．24．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包．(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；(2)若B种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，当B种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元?25．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．(1)填空：______，______；用含的代数式表示；(2)当为几秒时，的长度等于；(3)是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．26．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，．点、同时由、两点出发，分别以和的速度沿线段、匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动．

(1)设经过秒，用含t的代数式表示、．______、______．(2)几秒后，的面积是面积的？27．（2020秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与