切线性质与判定练习题

1/3《切线性质及判定》练习题一．选择题（共12小题）1．如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（）A．80° B．60° C．40° D．20°2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线及OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40°第1题图第2题图第3题图3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°4．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（）A．80° B．50°或130° C．100° D．40°第4题图第5题图第6题图5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P及x轴相切于点Q，及y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）6．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（）A．5 B．4 C．3 D．27．如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（）A．8 B．16 C．16π D．8π8．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（）A．50°B．60° C．70° D．75°9．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（）A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=ATC．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B第7题图第8题图第9题图11．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个第10题图第11题图第12题图12．如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC=DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP=2∠A，其中正确的结论有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二．填空题（共6小题）13．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO及⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为．14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，C是劣弧AB上的一点，∠P=50°，∠C=．第13题图第14题图第15题图15．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，如果PA=10，那么△PDE的周长是．若∠P=5O°，那么∠DOE=．16．如图，⊙O的直径AB及弦AC的夹角为30°，切线CD及AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为3，则AD的长为．17．已知：如图，在△ABC中，CB=3，AB=4，AC=5，以点B为圆心的圆及AC相切于点D，则⊙B的半径为．第16题图第17题图第18题图18．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OH⊥AC于H．若OH=3，AB=12，BO=13．则弦AC的长为．三．解答题19．．如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC，AD平分∠EAC。求证：BC是圆O的切线．20．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点F，交BC于点D，且BD=CD，DF⊥AC于点F．求证：DF是⊙O的切线；21．如图，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交PO于C点，求证：PC=CD．22．如图，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，点C是OB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，点D是切点，连接AD交OB于点E．求证：CD=CE．23．如图，PA切⊙O于点P，AB交⊙O于C，B两点，求证：∠APC=∠B．24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作⊙O的切线交AC于E，求证：DE⊥AC．25．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于点D，CD交AB于点E，判断△PDE的形状，并说明理由．26．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线；27．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，⊙P及OA相切于D，求证：OB及⊙P相切．28．如图，△OAB为等腰三角形，OA=OB=2，AB=2，以O为圆心的⊙O半径为1，求证：AB及⊙O相切．29．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙O的直径交底边BC于D，DE⊥AC于E．求证：（1）DB=DC；（2）DE为⊙O的切线．《切线的性质及判定》典型例题1．如图，AB是⊙0的直径，AE是弦，EF是⊙0的切线，E是切点，AF⊥EF，垂足为F，求证：AE平分∠FAB2．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，=．求证：（1）AD∥OC；（2）CD是⊙O的切线．3、如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O及腰AB相切于点D，求证：AC及⊙O相切．

3．如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的☉O恰及AC相切于点D．若AE=2，AD=4．求⊙O的直径BE和线段BC的长。4．如图，⊙O及△ABC的三边分别相切于点D、E、F，连接OB、OC．求证：∠BOC=90°﹣∠A．2016年11月12日切线性质及判定学组卷参考答案及试题解析一．选择题（共13小题）1．（2013•保定校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P及x轴相切于点Q，及y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）【解答】解：作PH⊥MN于H，连结PQ，PM，∵M（2，0），N（0，8），∴OM=2，ON=8，∴MN=6，∵PH⊥MN，∴HM=HN=MN=3，∴OH=OM+MH=2+3=5，∵⊙P及x轴相切于点Q，∴PQ⊥x轴，∴四边形OQPH为矩形，∴PQ=OH=5，∴PM=PQ=5，在Rt△PMH中，PH==4，∴P（4，5）．故选D．2．（2012•合川区模拟）如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：连接AC，BC，如图所示：∵PC为圆O的切线，∴∠ACP=∠B，又∠P=∠P，∴△ACP∽△CBP，∴=，又∵PC=2，PA=1，∴BP==4．故选B3．（2012•温州模拟）如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（）A．80° B．60° C．40° D．20°【解答】解：∵PA为圆O的切线，∴PA⊥AO，∴∠PAO=90°，又∠PAB=40°，∴∠BAO=90°﹣40°=50°，又∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=50°，则∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°．故选A4．（2011•集美区校级一模）如图，已知AB为⊙O的直径，PC切⊙O于C交AB的延长线于点P，∠CAP=35°，那么∠CPO的度数等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；又∠CAP=35°，∴∠OCA=35°，∠POC=70°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵PC切⊙O于C，∴OC⊥BC，∴∠PCO=90°；在Rt△POC中，∠CPO=90°﹣∠POC（直角三角形的两个锐角互余），∴∠CPO=20°；故选B．5．（2011•樊城区模拟）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线及OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40°【解答】解：连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=35°，∴∠COD=2∠A=70°，∴∠D=90°﹣70°=20°．故选A．6．（2002•呼和浩特）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（）A．80° B．50°或130° C．100° D．40°【解答】解：连接AB，由切线长定理知AP=BP，∠PAB=∠PBA=（180°﹣∠P）÷2=50°，由弦切角定理知，∠C=∠PAB=50°，若C点在劣弧AB上，则根据圆内接四边形的性质知，∠C=180°﹣50°=130°，由选项，知只有B符合．故选B．7．（2012•金塔县校级二模）如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（）A．8 B．16 C．16π D．8π【解答】解：连接OA，OC，∵大圆中长为8的弦AB及小圆相切，∴OC⊥AB，AC=4，∴OA2﹣OC2=16，∴πOA2﹣πOC2=（OA2﹣OC2）π，∴圆环的面积=16π．故选C．8．（2011•兰州）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°【解答】解：如右图所示，连接BC，∵AB是直径，∴∠BCA=90°，又∵∠A=25°，∴∠CBA=90°﹣25°=65°，∵DC是切线，∴∠BCD=∠A=25°，∴∠D=∠CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°．故选C．9．（2015秋•承德县期末）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（）A．50° B．60° C．70° D．75°【解答】解：连接AO，BO，OE，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB=60°，∴∠AOB=360°﹣2×90°﹣60°=120°，∵PA、PB、CD是⊙O的切线，∴∠ACO=∠ECO，∠DBO=∠DEO，∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=∠COE+∠EOD=∠AOB=60°．故选B．10．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（）A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=ATC．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B【解答】解：A、∵AB=4，AT=3，BT=5，∴AB2+AT2=BT2，∴△BAT是直角三角形，∴∠BAT=90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；B、∵∠B=45°，AB=AT，∴∠T=45°，∴∠BAT=90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；C、∵AB为直径，∴∠BAC=90°，∵∠B=55°，∴∠BAC=35°，∵∠TAC=55°，∴∠CAT=90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；D、∠ATC=∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确．故选：D．11．（2009•伊春）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，故①正确；连接DO，∵点D是BC的中点，∴CD=BD，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴AC=AB，∠C=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，∴ED是圆O的切线，故④正确；由弦切角定理知，∠EDA=∠B，故②正确；∵点O是AB的中点，故③正确，故选D．12．（2013秋•赣榆县校级月考）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解答】解：连接OD，AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴AD⊥BC；而在△ABC中，AB=AC，∴AD是边BC上的中线，∴BD=DC（正确）；∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴DB=DC，∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，即：OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切线（正确）；∵DF⊥AC，AD⊥BC，∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠FDC=∠CAD，又AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠A=2∠CAD=2∠FDC（正确）；∵DF是⊙O的切线，∴∠FDE=∠CAD=∠FDC，∴∠C=∠DEC，∴DC=DE，又DF⊥AC，∴CF=EF（正确）；当∠EAD=∠EDA时，=，此时△ABC为等边三角形，当△ABC不是等边三角形时，∠EAD≠∠EDA，则≠，∴=（不正确）；综上，正确结论的序号是①②④⑤，故选：B．13．（2006•贺州）如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC=DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP=2∠A，其中正确的结论有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：∵DC=DP，∴∠DPC=∠DCP，∵∠DPC=∠APE，∴∠DCP=∠APE，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA；∵∠OAC+∠APE=90°，∴∠OCA+∠DCP=90°，∴CD为⊙O的切线（①正确）；②不一定；连接CO，∵CD是⊙O的切线，∴∠DCP=∠AOC．∵∠DCP=（180°﹣2∠A），又∵∠DCP=（180°﹣∠CDP），∴180°﹣2∠A=180°﹣∠CDP，∴∠CDP=2∠A，③正确．故选B．二．填空题（共9小题）14．（2014•乌海模拟）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO及⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为65°．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBA=90°，∵∠BAO=40°，∴∠O=50°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=180°﹣∠O）=65°，故答案为：65°．15．（2012秋•重庆校级期末）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，C是劣弧AB上的一点，∠P=50°，∠C=115°．【解答】解：连结OA、OB，在优弧AB上取点D，连结DA、DB，如图，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣50°=130°，∴∠D=∠AOB=65°，∴∠C=180°﹣∠D=115°．故答案为115°．16．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，如果PA=10，那么△PDE的周长是20．若∠P=5O°，那么∠DOE=65°．【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，∴DA=DC，EB=EC，PA=PB=10，∴△PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+PE+CE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10+10=20；连结OA、OB、OC，如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣50°=130°，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，而DA=DC，EC=EB，∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，∴∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=×130°=65°，即∠DOE=65°．故答案为20，65°．17．（2013•怀集县二模）如图，⊙O的直径AB及弦AC的夹角为30°，切线CD及AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为3，则AD的长为9．【解答】解：连接OC，∵CD为圆O的切线，∴CD⊥OC，即∠OCD=90°，∵OA=OC=3，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∴OD=2OC=6，则AD=OA+OD=3+6=9．故答案为：9．18．（2016•建昌县二模）已知：如图，在△ABC中，CB=3，AB=4，AC=5，以点B为圆心的圆及AC相切于点D，则⊙B的半径为2.4．【解答】解：连接BD，在△ABC中，∵CB=3，AB=4，AC=5，∴AB2+BC2=32+42=52=AC2，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，∵AC是⊙C的切线，∴BD⊥AC，∵S△ABC=AB•BC=AC•BD，∴AB•BC=AC•BD，即BD==2.4，故答案为：2.4．19．（2016•海南模拟）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OH⊥AC于H．若OH=3，AB=12，BO=13．则弦AC的长为8．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴∠OAB=90°，∵AB=12，BO=13，∴AO===5，∵OH⊥AC，∴AC=2AH，∵OH=3，∴AH==4，∴AC=8，故答案为：8．20．如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的☉O恰及AC相切于点D．若AE=2，AD=4．则☉O的直径BE=6；△ABC的面积为24．【解答】解：如图，连接OD，∵AC及⊙O相切，∴OD⊥AC，设⊙O的半径为x，则OE=OB=OD=x，∴AO=AE+OE=2+x，在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2=OD2+AD2，即（2+x）2=x2+42，解得x=3，∴BE=2x=6，∴AB=AE+BE=2+6=8，∵∠ABC=∠ADO=90°，∠OAD=∠CAB，∴△AOD∽△ACB，∴=，即=，解得BC=6，∴S△ABC=AB•BC=×8×6=24，故答案为：6；24．21．（2016春•德惠市校级月考）如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，及AC的延长线相交于E，及AB的延长线相交于点F．求证：EF及圆O相切．【解答】证明：连接OD，如右图所示，∵∠FOD=2∠BAD，AD平分∠CAB，∴∠EAF=2∠BAD，∴∠EAF=∠FOD，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∴∠EAF+∠EFA=90°，∴∠DFO+∠DOF=90°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥EF，即EF及圆O相切．22．（2014秋•和县月考）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点F，交BC于点D，且BDCD，DF⊥AC于点F．给出以下四个结论：①DF是⊙O的切线；②CF=EF；③=；④∠A=2∠FDC．其中正确结论的序号是①②④．【解答】解：连接OD、DE、AD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB，∵DB=DC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切线，①正确；∵DF是⊙O的切线，∴∠CED=∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵BD=CD，∴AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠CED=∠C，∴DC=DE，又∵DF⊥AC，∴CF=EF，②正确；当∠EAD=∠EDA时，，此时△ABC为等边三角形，当△ABC不是等边三角形时，∠EAD≠∠EDA，则≠，∴=不正确；∵DF⊥AC，AD⊥BC，∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠FDC=∠CAD，又AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠A=2∠CAD=2∠FDC，④正确；故答案为：①②④．三．解答题（共18小题）23．如图，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交PO于C点，求证：PC=CD．【解答】证明：∵CD为⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∴∠ADO+∠PDC=90°，而OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠A+∠PDC=90°，∵OA⊥OB，∴∠A+∠P=90°，∴∠PDC=∠P，∴PC=CD．24．如图，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，点C是OB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，点D是切点，连接AD交OB于点E．求证：CD=CE．【解答】证明：连接OD，∵OA⊥OB，CD切⊙O于D，∴∠AOE=∠ODC=90°，∴∠A+∠AEO=90°，∠ODA+∠CDE=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠AEO=∠EDC，∵∠AEO=∠CED，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE．25．如图，PA切⊙O于点P，AB交⊙O于C，B两点，求证：∠APC=∠B．【解答】解：连接PO并延长交⊙O于点D，连接OC，DC，∵PA切⊙O于点P，∴OP⊥AP，∴∠APD=90°，∴∠APC+∠CPO=90°，∵PD为直径，∴∠PCD=90°，∴∠PCO+∠DCO=90°，∵OP=OC，∴∠OPC=∠OCP，∴∠APC=∠OCD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠APC=∠PDC，∵∠B=∠D，∴∠APC=∠B．26．如图，P为⊙O外一点，PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：（1）∠APB=2∠ABC；（2）AC∥OP．【解答】证明：（1）连接AO，∵PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，∴∠APO=∠BPO，OA⊥AP，PA=PB，∴∠APB=2∠APO，∠OAP=90°，PO⊥AB，∴∠OAB+∠BAP=90°，∠BAP+∠APB=90°，∴∠OAB=∠APB，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OBA=∠APO，∴∠APB=2∠ABC；（2）设AB交OP于F，∵PA，PB是圆的切线，∴PA=PB，∵OA=OB∴PO垂直平分AB．∴∠OFB=90°．∵BC是直径，∴∠CAB=90°．∴∠CAB=∠OFB．∴AC∥OP．27．如图，已知AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE交AC的延长线于点F．求证：AB=BF．【解答】证明：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，又∵BE⊥CE，∴OC∥BF，∴∠ACO=∠F，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，∴∠OAC=∠F，∴AB=BF．28．如图所示，BC是⊙O的直径，P为⊙O外的一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B．试证明：AC∥OP．【解答】证明：连接AB交OP于F，连接AO．∵PA，PB是圆的切线，∴PA=PB，∵OA=OB∴PO垂直平分AB．∴∠OFB=90°．∵BC是直径，∴∠CAB=90°．∴∠CAB=∠OFB．∴AC∥OP．29．如图，⊙O及△ABC的三边分别相切于点D、E、F，连接OB、OC．求证：∠BOC=90°﹣∠A．【解答】解：连结OD、OE、OF，如图，∵⊙O及△ABC的三边分别相切于点D、E、F，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BF=BD，CE=CD，∴OB平分∠DOF，OC平分∠DOE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠BOC=∠EOF，∵∠OEA=∠OFA=90°，∴∠A+∠EOF=180°，∴∠EOF=180°﹣∠A，∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．30．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作⊙O的切线交AC于E，求证：DE⊥AC．【解答】证明：连接AD、OD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠ADO+∠ODB=90°．∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE．∴∠EDA+∠ADO=90°．∴∠EDA=∠ODB．∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD．∴∠EDA=∠OBD．∵AC=AB，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD．∵∠DBA+∠DAB=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°．∴∠DEA=90°．∴DE⊥AC．31．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于点D，CD交AB于点E，判断△PDE的形状，并说明理由．【解答】解：△PDE是等腰三角形．理由是：连接OD，∵OC⊥AB，∴∠CEO+∠OCE=90°，∵OC=OD，∴∠OCE=∠ODE，∵PD切⊙O，∴∠ODE+∠PDE=90°，∵∠OEC=∠PED，∴∠PDE=∠PED，∴PD=PE，∴△PDE是等腰三角形．32．如图，AB是⊙0的直径，AE是弦，EF是⊙0的切线，E是切点，AF⊥EF，垂足为F，AE平分∠FAB吗？为什么？【解答】解：AE平分∠FAB，理由如下：连接BE，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°．∴∠AEB=∠AFE．∵EF是圆O的切线，∴∠FEO=90°，∵∠BEO+∠OEA=90°，∠OEA+∠AEF=90°，∴∠FEA=∠BEO，∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∴∠FEA=∠EBO，∴△AFE∽AEB，∴∠FAE=∠EAB，∴AE平分∠FAB的平分线．33．（2013秋•大兴区期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C=30°，CD=12，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴OD∥AC，∴∠CED=∠ODE，∵DE⊥AC，∴∠CED=∠ODE=90°，∴OD⊥DE，OD是圆的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵CD=12，∠C=30°，∴AD=CD×tan30°=12×=4，∵OD∥AC，∴∠ODB=∠C=30°，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB=30°，∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=4，∴AB=2AD=8，即⊙O的直径是8．34．（2013秋•滨湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的直径为13，BC=10，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵BD=DC，∴AB=AC；（2）证明：连接OD，∵AO=BO，BD=DC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为半径，∴DE为⊙O的切线；（3）解：过D作DF⊥AB于F，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠CAB，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，BD=BC=×10=5，AB=13，由勾股定理得：AD=