2021年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国甲卷） 解板版

2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

文科数学

一、选择题

1.设集合〃={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则McN=()

A.{759}

B.{5,7,9)

C.{3,5,7,9)

D.{1,3,5,7,9)

答案：

B

解析：

依题意可知N={x|x>3.5}，所以McN={5,7,9}.

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调

查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是()

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

答案：

c

解析：

A.低于4.5万元的比率估计为0.02x1+0.04x1=0.06=6%,正确.

B.不低于10.5万元的比率估计为(0.04+0.02X3)X1=0.1=10%,正确.

C.平均值为(3x().()2+4x().()4+5x().l+6x0.14+7x().2+8x0.2+9x().l+l()x0.1+

11x().04+12x0.02+13x0.02+14x().02)x1=7.68万元，不正确.

D.4.5万到&5万的比率为0.1x1+0.14x1+0.2x1+0.2x1=0.64,正确.

3.已知(1-i>z=3+2i,贝Uz=()

-l--z

2

答案：

B

解析：

3+2/3+2，-2+3/,3.

(1)2-万22

4.下列函数中是增函数的是()

A./(x)=-X

B./u)=(|r

c.f(x)=x2

D.f(x)=\/~x

答案：

D

解析：

2

Vf(x)=-x,f(x)=(-)r,在尺上单调递减，/(为=/在(一8,0)上单调递减，故A,

B,C错误；/(x)=也在H上单调递增，故D正确.

22

5•点(3,0)到双曲线二一匕=1的一条渐近线的距离为()

169

答案：

A

解析：

fv232v2

双曲线1=1的渐近线为y=±jx,则点(3,0)到双曲线%竟一方=1的一条渐近线的

3x3+0_9

距离为

V32+42=5

6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小

数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已

知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为

('Vio«1.259)()

A.1.5

B.1.2

c.0.8

D.0.6

答案:

c

解析:

代入L=5+lgV,知lgV=4.9—5=-O.l,故V=1(T°」

厢

7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G,该正方体截去三棱锥

A—EFG后,所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()

正视图

C.

D.

答案：

D

解析：

由题可得直观图，如下图.故选D.

8.在AABC中，已知3=120°,AC=M,AB=2,则3C=()

A.1

B.y/2

C.V5

D.3

答案：

D

解析：

由余弦定理可得AC?=他2+BC2-2AB-BCcosZABCBC2+2BC-15=0,解得

BC=3.

9.记S,为等比数列｛%｝的前/项和.若S?=4,S4=6,则S6=()

A.7

B.8

C.9

D.10

答案：

A

解析：

由等比数列的性质可知：S2，S4_S2，S6—S4成等比数列，即4,2,成等比数列，所以

$6-6=1,即$6=7,故选A

10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个。不相邻的概率为（）

A.0.3

B.0.5

C.0.6

D.0.8

答案：

C

解析：

求出所有的排列数，先将3个1排成一排，有4个空位，当每个空位排一个0,即从4个空

位中选2个，有6种排法，此时2个0不相邻：当两个0相邻时，即从4个空位中选出一个

来排两个0,有4种选法，从而总的排法数有10个，再根据古典概型概率公式可得概率

—=0.6，故选C.

10

TTCOS(1

11.若。£(0,々)，tan2a=,则tana=()

22-sina

V15

昱

5

苴

3

D.巫

3

答案：

A

解析：

cosa

tan2a=

2-sin(7

2tana_2sinacosa_cosa

tan2a二

1-tan12acos2a-sin2a2—sina

/.2sina(2-sina)=cos2a-sin2a

4sin6Z-2sin2a=cos2a-sin2a=1-2sin2a

sina=一

4

又「aG(0,—).如图，tana=」==」^

2,V1515

12.设/(x)是定义域为R的奇函数，且/(l+x)=/(—x).若/(—?=；,则/(£=()

答案：

C

解析：

v/(X)是定义在尺上的奇函数,

/(l+x)=/(-x)=-/(x)

/./(l+x)=-/(x),

/(2+x)=-/(l+x)=/(x)

.••/(x)周期为2的周期函数.

•心得2)T4

二、填空题

13.若向量满足|a|=3,|。一万|=5,=贝”B|=.

答案：

372

解析：

|«-S|=5,：.a2-2ab+h2=25,A|a|2-2a&+1|2=25,，9-2+而=25,

••.历『=18,：.\h\=372.

14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30%,则该圆锥的侧面积为

答案:

解析:

圆锥底面半径r=6,体积丫=,仃2/?=30万，则圆锥的高/?=*,则母线长

I=yj/r+r2=—,则圆锥的侧面积S=,x2万〃=39万.

n

15.已知函数/(X)=2COS(GX+0)的部分图像如图所示，则/(7)=.

2,r--------------八

13乃

~VL

答案:

-V3

解析：

由图可知-T=—K--=-7r^T=7r=—^a）=2,由

41234

/（—乃）=2n2cos（^—+夕）=2n+*=2〃n夕=—,

所以/(1)=2cos(2x|-^)=-V3.

16.已知耳，F?为椭圆C:荒+千=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两

点，且1尸。1=1耳61，则四边形尸耳。鸟的面积为.

答案：

解析：

答案：

8

解析：

如图，由|PQR耳玛|及椭圆对称性可知，四边形P4QE为矩形.

设|尸耳|=机，|PF,|=〃，贝IJ[”:"二0工上①得2,加=16.所以，四边形

■=”外『=48②2'

面积为run=8.

17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产

品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表:

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

n(ad-be)2

附：K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K22k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

答案:

见解析

解析：

(1)由表格数据得：

甲机床生产的产品中一级品的频率为空=3；

2004

乙机床生产的产品中一级品的频率为9=3；

2005

400x(150x80-120x50)2

(2)»10.256>6.635.

由题意心而缁潦扁200x200x270x30

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

18.记5„为数列｛为｝的前几项和，已知〉0,%=3q，且数歹U｛疯｝是等差数列，证明：

｛为｝是等差数列.

答案：

见解析

解析：

；｛1｝为等差数列，设公差为d.：.国-JS=d,即国一向=△•

••Jq—cl—JS],♦♦JS“—JS]+(〃-l)d—nd.

S“=//，.../=S„-S吁i=n2d2-(«-l)2d2=(2〃-1)d2(n>2),

即a,,=2d?•〃-4/2(〃22),又同样满足通项公式，所以｛q｝是等差数列.

19.已知直三棱柱4BC-481C1中，侧面44出8为正方形.4B=BC=2,E,F分别为4C和

CG的中点，BFJ.4B1.

⑴求三棱锥F-EBC的体积；

(2)已知。为棱为当上的点，证明：BF1DE.

答案：

见解析；

解析；

(1)BF±-则=A/7?=5R2+AB2=%

又A/2=代2+AC2nAe2=8则.J_BC.

AC=2后，匕Tsc=；/_A8c=；x；x；x2x2xl=g.

(2)连Ag,取BC中点M连旦M,EM,

由石M为AC,8c的中点，则EM//45,

又ABIIA、B\,%BJIEM,则人用腔共面，故OEu面AqME.

又在侧面BCCE中^FCB=AMBB,,则BF1MB,

BFLA.B,

又MgnA4=81面4MME，则3b，z)£.

u面4旦ME

20.设函数/(x)=a2x2+℃-31nx+1,其中a>0.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若y=/(x)的图象与x轴没有公共点，求。的取值范围.

答案：

见解析

解析：

-232a2x2+ar-3(2ax+3}(ax-l)

(1)f(x)=2a'x+a——=------------=--------------

XXX

,：a>0,x>0,2"+3>0,...当无€(0,')时/'(x)<0函数单调递减，

a

当xe(',+8)时，/'(幻>(),函数单调递增.

a

.../(对在(0,工)上递减，在(，,+8)上递增，

aa

(2)当Xf。时/(X)>0,结合函数单调性可知若/(%)与X无交点时/(X)min>0

即/(—)=«2x^-+«x—-31n—+1>0.

aa~aa

化简可得ln,<l即L<en1<a.所以参数a的取值范围为d,+oo)

aaee

21.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/:x=l交。于P,。两点，且

OPLOQ,已知点M(2,0),且0M与/相切.

(1)求C,0M的方程；

(2)设4,A,4是c上的三个点，直线AA?,4A3均与0M相切，判断直线与

0M的位置关系，并说明理由.

答案：

见解析

解析：

(1)C'.y2=x,0M:(x-2)2+y2=\.

2

(2)设A(/,a),A2sI/?),A3(C,C).

I,

l:y-a--------(x—a)=>x-(Q+/7)y+ah=O,所以

A々A2a+b

J2+"l=]①

Jl+(a+Z?)2

19

------(X-Q)=>x-(Q+c)y+ac=O,所以

a+c

.12+ac|

d=—T---------U==]②.

Jl+(a+c『

\2+ax\

所以6,c是方程=1n(/_I)/+2改一。2+3=0的两根

Jl+(a+xf

又/4为：入一S+c)y+A=O，所以

in.3~^2I

,12+尻|।/片|/+“

a———=————=———].

J]+S+c)-J]।(2a,Ja*+2cr+1

所以。=r,即直线A2A3与0M相切.

22.在直角坐标系xO)，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的

极坐标方程为夕=2&cos6.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；