2021年兰州市诊断-文科数学（文科）（市内）

2021年兰州市高三诊断考试

数学(文科)

注意事项：

1.本试卷分第i卷(选择题)和第ii卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、考号填写在答题纸上。

2.本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无

效。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

I.已知集合M={x[0Wx<l}，N={x[y=lg(l-x)},则

A.[0,1)B.(0,1]c.(-8,1)D.[0,1]

2.己知复数z满足1=上吆(z

’为虚数单位)，则z的虚部为

3.已知向量。,b满足a=(4,0),b=(m,l),且⑷则〃，力的夹角大小为

7171-713兀

A.—B.—C.—D.—

4324

4.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图,第2分别表示甲、乙两组数据的方差,

则s:，与2大小关系正确的是

频率/组距频率/组距

组距组距

甲组数据频率分布折线图乙组数据频率分布折线四

222

A.S；<52B.sjf/C.51>52D.无法确定

22

5.点尸为双曲线5•-三=1(。>0)右支上一点，K、居分别是双曲线的左、右焦点.若

\PFy|=7,|Pg|=3,则双曲线的一条渐近线方程是

A.2x+3y=0B.4x+9y=0C.3x-2y=0D.9x-4y=0

6.函数/(x)=xlnx的图象如图所示，则函数/(l—x)的图象为

7.《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈”，

意思是：今将粟放在平地，谷堆下周长12丈，高4丈.将该谷堆模型看作一个圆锥，》

取近似值3,则该圆锥外接球的表面积约为

A.55平方丈B.75平方丈C.110平方丈D.150平方丈

7T\717T

8.已知cos(——<z)=-,——<a<—,贝Isin2a的值是

4344

9.己知命题p："a,b是两条不同的直线，a是一个平面，若b_La,a±b,则a〃a”,

ix£1

命题q：“函数/(x)=I''为R上的增函数下列说法正确的是

j2x-3,x>1,

A.“力八4”为真命题B.“〃八77”为真命题

为真命题D.为真命题

10.英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初

始温度是/°C，环境温度是外℃,那么经过，小时后物体的温度q°C将满足

q=%+（%-4o）?a".通过实验观察发现，在2O°C的室温下，一块从冰箱中取出的

-20?C的冻肉经过0.5小时后温度升至0。。，在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算:

温度为100℃的水，冷却到40℃,大约经过的时间为（忽略体积等其它因素的影响）

A.2.5小时B.2小时C.1.5小时D.1小时

11.已知函数/（幻=1一》,31--以,2_法3>00>0）的一个极值点为1,则出，的最大值为

12.已知尸（4,-5）是椭圆$+==1（。>3）外一点，经过点P的光线被y轴反射后，所有

a~9

反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则椭圆的离心率为

第n卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须

作答。第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

|x-y?L

13.若满足约束条件i2x+y?4,则2=%-2y的最小值为______________

|V0，

14.从1,3,9,27,81中任取两个数，它们均小于这五个数的平均数的概率

是

已知八43。中，。为BC的中点，AB=2,AD=6,且——叱——=一上乂,

15.

2sinB+sinCcosC

则AC=_______________

16.如图，正方体AC的棱长为1,点M是棱AR的中点，

过M的平面a与平面ABG平行，且与正方体各面相交得

到截面多边形，则该截面多边形的周长为

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知S“为等差数列｛4｝的前“项和，9包=9,卬=21.

§21

(I)求数列｛%｝的通项公式；

1

(II)若bn=―一，求数列｛瓦｝的前〃项和T„.

-.4+1

18.(本小题满分12分)

在三棱锥产一6CD中，A是C。的中点，AB=AC,

BC=6,PB=BD=6y[3,PC=\2.

(I)证明：BC_L平面PBO；

(II)若尸O=6JJ,求点A到平面PBC的距离.

19.(本小题满分12分)

某校高二生物研究性学习小组的同学们为了研究当地某种昆虫的产卵数与温度的变化

关系，他们收集了一只该种昆虫在温度x°C时相对应产卵数个数为y的8组数据，为了对

数据进行分析，他们绘制了如卜散点图：

（I）根据散点图，甲、乙两位同学分别用y=Zzx+a和z=dc+c,（其中z=lny）

两种模型进行回归分析，试判断这两位同学得到的回归方程中，哪一个的相关指数笈更接

近1；（给出判断即可，不必说明理由）

（II）根据（I）的结论选定上述两个模型中更适宜作为对昆虫产卵数与温度变化关

系进行回归分析的模型，并利用下表中数据,计算该模型的回归方程;（方程表示为y=

的形式，数据计算结果保留两位小数）

888

XyZoo2

aa杉az

i=\Z=1/=!

26723.3118717575722

（IH）据测算，若一只此种昆虫的产卵数超过e“，则会发生虫害.研究性学习小组的

同学通过查阅气象资料得知近期当地温度维持在25℃左右，试利用（II）中的回归方程预

测近期当地是否会发生虫害。

附：对于一组数据（%,匕）,（w2,v2）,...,（H„,vn）,其回归直线v=的斜率和

n___

Auivi-nuv

截距的最小二乘估计分别为0=咛------—,&=v-bu.

o2-2

&%-nu

/=i

20.(本小题满分12分)

已知抛物线y2=4x及点P(4,0).

(I)以抛物线焦点厂为圆心，|EP|为半径作圆，求圆尸与抛物线交点的横坐标；

(II)A、3是抛物线上不同的两点，且直线AB与x轴不垂直，弦A3的垂直平分

线恰好经过点P,求E4•尸月的范围.

21.(本小题满分12分)

己知函数/(x)=y%2-(a2-a+2)x-(a3-2a2)Inx(a?0).

(I)当a=l时，求函数图象在点(1,7(D)处的切线方程；

(II)若标1,当函数/(X)有且只有一个极值/(x°)时，g(%)=7f+21na,

(a-2)x0

求g(x°)的最大值.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分)