阜阳市颍州区第三中学高二上学期期末考试数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精阜阳三中2019—2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）时间：120分钟总分：150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1。设集合,，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次方程化简集合,再对集合进行交集运算。【详解】因为，，所以.故选：D。【点睛】本题考查一元二次方程求解、集合交运算，考查基本运算求解能力,属于基础题。2.为虚数单位，则（）A。2 B. C。3 D。【答案】B【解析】【分析】先对复数进行除法运算，再计算模长即可得到答案。【详解】因为，所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算、模的求解，考查基本运算求解能力,属于基础题.3。命题“对任意"的否定是（）A。不存在 B.存在C。存在 D。对任意的【答案】C【解析】分析】利用全称命题的否定为特称命题，直接进行求解.【详解】全称命命题“对任意的”，命题的否定为：存在.故选:C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，求解时注意全称命题的否定为特称命题，任意要改成存在，同时对结论进行否定.4。若函数，则()A. B.2 C。 D.4【答案】C【解析】【分析】利用分段函数的解析式，先计算,再计算的值.【详解】因，所以。故选:C。【点睛】本题考查分段函数函数值的求解、分段函数的解析式,考查基本运算求解能力,属于基础题。5.方程表示椭圆的必要不充分条件是（)A. B。C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得，所选择的“正确选项”是方程表示椭圆的必要不充分条件；再把方程表示椭圆的充要条件求出，再根据集合间的关系，即可得到答案.【详解】方程表示椭圆的充要分条件是,解得：，，，所以，，是正确选项的真子集，对照四个选项，只有符合。故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件的定义，属于中档题．6.以下四个命题中正确的是（）A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底C。为直角三角形的充要条件是D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基底定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析，，可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断的真假。【详解】对A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示,中忽略三个基底不共面的限制，故A错误；对B，若为空间向量的一组基底，则三个向量互不共面；则,也互不共面，故可又构成空间向量的一组基底，故正确;对C，的为直角为直角三角形，但为直角三角形时,可能为锐角，此时，故C错误；对D，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D错误;故选:B．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查空间向量的基底概念、向量垂直的充要条件,考查对概念的理解与应用,属基础题．7。某班有60名学生,一次考试的成绩服从正态分布，若,估计该班数学成绩在100分以上的人数为（）A.12 B。20 C.30 D。40【答案】A【解析】【分析】利用正态分布曲线关于对称,从而求得的值，进而求得的概率值，即可得到答案。【详解】因为服从正态分布,所以，所以，所以该班数学成绩在100分以上的人数为（人）。故选：A。【点睛】本题考查正态分布曲线的应用,求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点值不影响概率值,考查逻辑推理能力和运算求解能力.8。点到抛物线准线的距离为1，则的值为（）A。或 B.或 C.或 D。或【答案】C【解析】因为抛物线的标准方程为，若，则准线方程为，由题设可得，则，不合题意,舍去；若,则准线方程为,由题设可得，解之得或，应选答案C．9。某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：x4681012y12356由表中数据求得关于的回归方程为,则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为(）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出样本点的中心,求出的值,得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有，，共2个，求出概率即可．【详解】，，故，解得：，则，故5个点中落在回归直线下方的有，，共2个，故所求概率是,故选:A．【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．10。安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（）A。100种 B。60种 C。42种 D。25种【答案】C【解析】【分析】给三个社区编号分别为1,2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数,从而求得所有安排方式的总数。【详解】甲可有3种安排方法,若甲先安排第1社区,则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共；第2社区2个、第3社区安排2个，共；第2社区3个，第3社区安排1个，共；故所有安排总数为.故选：C。【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。11.我国古代典籍《周易》用“卦"描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是()A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】分别计算所有“重卦”和恰有个阳爻的“重卦"种数,根据古典概型概率计算公式求得结果。【详解】所有“重卦”共有：种;恰有个阳爻的情况有:种恰有个阳爻的概率为：本题正确选项:【点睛】本题考查古典概型中的概率求解问题,属于基础题.12.设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为A. B。 C。 D.【答案】B【解析】令g（x）=f(x)−x2,则，函数是奇函数，且，在上，,函数单调递减,由题意可得g(x)在R递减,∴f(4−m)−f（m)=g(4−m)+（4−m)2−g(m）−m2=g（4−m)−g(m)+8−4m⩾8−4m,∴g(4−m）⩾g（m），∴4−m⩽m，解得:m⩾2，故选B.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式（组)的问题,若f(x）为偶函数，则f(－x）＝f(x）＝f(|x|)．二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分,第16题第一空2分,第二空3分。13。=______．【答案】【解析】【分析】利用积分运算得,计算可得答案。【详解】因为.故答案为：.【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.14。的展开式中,的系数为______．【答案】【解析】【分析】利用二项式定理的展开式，当时,可求得的系数.【详解】因为，所以时，，所以的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理指定项的系数，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意计算的准确性.15.已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的倍，点在线段上，则的周长为________.【答案】44【解析】【详解】由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5,0),所以P，Q都在双曲线的右支上,则有，两式相加，利用双曲线的定义得,所以△PQF的周长为=28＋16＝44.故答案为44。16。“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为:即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则（1）__________；(2)若，则__________．（用表示）【答案】（1）.。（2）.【解析】【分析】（1)写出前项,进行求和,即可得出结论;（2）迭代法可得，可得，将代入计算可得答案.【详解】（1).（2),所以。故答案为：；。【点睛】本题以“斐波那契"数列为背景,考查数列的递推关系、前项和与通项的关系，考查方程思想的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解的关键是灵活运用递推关系。三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答过程写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.设P：函数在上单调递增，Q：关于x不等式的解集为R。（1）如果“P且Q”为真，求a的取值范围．（2）如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．【答案】(1）；(2)或。【解析】【分析】（1）对，分别为真时,求出的范围，再取交集即可；（2）当和有且仅有一个正确时,即真假或假真,再利用集合的运算即可.【详解】当为真时，在恒成立，所以；当为真时，;（1）当“且”为真时，即为真，为真，所以;(2)当和有且仅有一个正确时，即真假或假真,所以或解得：或.【点睛】本题考查导数的运用、一元二次函数与简易逻辑问题的交会,考查函数与方程思想、分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意端点的取值。18.设函数，（1）求函数在上的值域（2）设,若方程有两个不相等的实数根,求实数的取值范围。【答案】(1）；（2）或。【解析】【分析】（1)对函数进行求导得，再根据导数不等式求得单调区间和极值，并与区间端点函数值比较，从而得到函数在闭区间的最值，从而得到函数的值域；（2)由知：,显然是其一个根,所以方程有两个不相等的实数根等价于方程有且仅有一个根且不为0，再利用导数研究的最值和单调性,从而得到参数的取值范围.【详解】（1),令，则当时,,所以在上递增当时，，所以在上递减因为，所以函数的最小值为，最大值为0，所以函数的值域是.(2）由知：,显然是其一个根，所以方程有两个不相等的实数根等价于方程有且仅有一个根且不为0；令.，易知在递增,在递减，当时，，且，若方程有且仅有一个根且不为0，所以或.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、根据方程根的个数求参数的值,考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将方程根的问题转化为图象交点问题。19.如图,在四棱锥中，平面平面，．（1)证明：平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到到线面垂直；（2）以为原点，分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图所示，可得平面的法向量，平面的法向量，求出法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的大小。【详解】(1）在直角梯形中，由得，,由，则，即，因为平面平面,平面平面，平面，所以平面。（2)以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示,由题意可知各点坐标如下：，设平面的法向量为，平面的法向量为，可算得,由得,,可取，由得,，可取，于是，由题意可知，所求二面角是锐角,故二面角的大小是．【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直的转化、向量法求二面角的大小，考查转化与化归思想的应用，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系要符合右手法则.20.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下:品牌

甲

乙

首次出现故

障时间x(年)

0〈x≤1

1<x≤2

x〉2

0<x≤2

x>2

轿车数量(辆）

2

3

45

5

45

每辆利润

(万元)

1

2

3

1。8

2.9

将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．【答案】（1）（2）X1的分布列为X1

1

2

3

P

X2的分布列为X2

1.8

2.9

P

(3)甲品牌轿车【解析】（1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A）＝＝。(2）依题意得，X1的分布列为X1

1

2

3

P

X2的分布列为X2

1.8

2。9

P

(3)由(2）得E（X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2．86(万元），E(X2)＝1.8×＋2。9×＝2。79(万元）．因为E（X1)〉E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．21.如图，椭圆经过点，且离心率为。(I）求椭圆的方程；(II)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点)，问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值;若否，说明理由．【答案】（1）(2）2【解析】【详解】(Ⅰ)由题意知，综合，解得,所以，椭圆的方程为.（Ⅱ)由题设知，直线的方程为，代入，得,由已知,设，则,从而直线与的斜率之和。考点：1.椭圆的标准方程；2。圆锥曲线的定值问题。22.已知函数,曲线在处的切线方程为.(1）求（2）证明：（3）证明：当时，【答案】(1);(2）证明见解析；（3）证明见解析。【解析】【分析】（1）对函数进行求导得切线的