专题3.3 平面直角坐标系（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题3.3平面直角坐标系（知识讲解）【学习目标】1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系；2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点的位置求出坐标；3.掌握点位置与其坐标的符号特征；3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．特别说明：：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是8排9号，可以写成(8，9)的形式，而(9，8)则表示9排8号．要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).特别说明：：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2.点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.特别说明：：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1.象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．特别说明：：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律特别说明：：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点五、两点之间距离公式及中点坐标公式两点之间距离公式2.中点坐标公式【典型例题】类型一、建立平面直角坐标系并求点的坐标（建系）1．如图，正三角形ABC的边长为4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．

【答案】A（0，2），B（－2，0），C（2，0）解：如图，以边BC所在的直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴建立直角坐标系．由正三角形的性质可知AO＝2，正三角形ABC各个顶点A，B，C的坐标分别为A（0，2），B（－2，0），C（2，0）．举一反三：【变式1】如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，试建立恰当的直角坐标系，写出点C的坐标．【答案】图见分析，【分析】根据点的坐标建立坐标系，再确定坐标．解：如图所示建立直角坐标系：∴点C的坐标为（2，1）．【点拨】本题考查了坐标系及其点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．【变式2】如图，建立平面直角坐标系，正方形和正方形中，使点B、C的坐标分别为和(1)请直接写出A，D，E，F的坐标；(2)求正方形的面积．【答案】(1)A（﹣6，3），D（2，1），E（1，3），F（﹣1，2）(2)5【分析】（1）先利用点B和点C的坐标画出平面直角坐标系，然后根据点的坐标的意义即可得到点A、D、E、F的坐标；（2）利用正方形的面积公式和勾股定理解答即可．（1）解：如图所示：∴A（﹣6，3），D（2，1），E（1，3），F（﹣1，2）．（2）解：∵，∴正方形CDEF的面积＝5．【点拨】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求线段长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住坐标系中坐标特征是解题的关键．类型二、点到坐标轴的距离2．已知点在第一象限，且点到轴和轴的距离相等，求点的坐标．【答案】（11，11）【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点，横纵坐标的符号关系，结合点到轴和轴的距离相等，得出横纵坐标相等，进而得出答案．解：点在第一象限，点到轴和轴的距离相等，，解得：，故，，则点的坐标为：．【点拨】本题主要考查了第一象限内点的坐标特点，解题的关键是结合点到轴和轴的距离相等，得出横纵坐标相等，进而得出答案．举一反三：【变式1】已知平面直角坐标系中有一点.（1）当点M到y轴的距离为1时，求点M的坐标；（2）当点M到x轴的距离为2时，求点M的坐标.【答案】（1）点M的坐标是或；（2）点M的坐标是或【分析】根据点到坐标轴的距离为其横坐标或纵坐标的绝对值求解即可．解：（1），或，解得或，点M的坐标是或.（2），或，解得或，点M的坐标是或.【点拨】本题考查的知识点是根据点到坐标轴的距离求点的坐标，需注意多解问题，不要漏解．【变式2】已知平面直角坐标系中有一点M(m－1，2m＋3)．当m为何值时，点M到x轴的距离为1?当m为何值时，点M到y轴的距离为2?【答案】（1）m＝－1或m＝－2.（2）m＝3或m＝－1.试题分析：（1）让纵坐标的绝对值为1列式求值即可；（2）让横坐标的绝对值为2列式求值即可．解：（1）∵|2m+3|=12m+3=1或2m+3=-1∴m=-1或m=-2；（2）∵|m-1|=2m-1=2或m-1=-2∴m=3或m=-1．考点：点的坐标．类型三、判断点所在的象限3.已知点，以点A为坐标原点建立直角坐标系．求a，b的值；判断点、点所在的位置．【答案】(1)a＝3，b＝−1(2)B（2，−4）在第四象限；C（0，−1）在y轴的负半轴上且到x轴的距离为1．【分析】（1）根据点A为原点，则点A的横纵坐标都为0，解答即可；（2）把a＝3，b＝−1分别代入B，C即可求解．(1)解：∵点A为原点，∴a−3＝0，2b＋2＝0，解得：a＝3，b＝−1；(2)解：把a＝3，b＝−1代入点B得：2a−4＝2×3−4＝2，3b−1＝3×（−1）−1＝−4，∴B（2，−4）在第四象限；把a＝3，b＝−1代入点C得：−a＋3＝−3＋3＝0，b＝−1，∴C（0，−1）在y轴的负半轴上且到x轴的距离为1．【点拨】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握x轴，y轴上点的坐标特征．举一反三：【变式1】已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b＋5，则称点P为“新奇点”．判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；若点M（m－1，3m＋2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．【答案】(1)点A（3，2）是“新奇点”，理由见分析，(2)点M在第三象限，理由见分析．【分析】（1）根据题目中“新奇点”的判断方法，将，，代入判断，即可证明；（2）根据点是“新奇点”，可得，求解代入得出，即可确定点的坐标，然后判断在哪个象限即可．(1)解：点是“新奇点”，理由如下：当A(3，2)时，，，∴，，∴．∴点是“新奇点”；点M在第三象限，理由如下：∵点是“新奇点”，∴，，∴，解得：，∴，，∴点在第三象限．【点拨】题目主要考查求代数式的值及解一元一次方程，判定点所在象限，理解题中新的定义是解题关键．【变式2】在图中建立适当的平面直角坐标系，使A、B两点的坐标分别为(-4，1)和(-1，4)，写出点C、D的坐标，并指出它们所在的象限．【分析】首先根据点A、B的坐标确定坐标原点和x、y轴的正方向，进而建立平面直角坐标系，再结合图形得出C、D两点的坐标，进而判断这两个点所在的象限.解：建立平面直角坐标系如图：得C(-1，-2)、D(2，1)．由图可知，点C在第三象限，点D在第一象限.【点拨】本题考查了已知两点确定直角坐标系的知识，根据两点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键.类型四、已知点的象限求参数4．在平面直角坐标系中，有一点M(a－2，2a+6)，试求满足下列条件的a值或取值范围．点M在y轴上；点M在第二象限；M到x轴的距离为2．【答案】(1)a=2(2)－3<a<2(3)a=–2或–4【分析】（1）点在y轴上，该点的横坐标为0即可求解；（2）根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0即可求解；（3）根据点到x轴的距离为2，则该点的纵坐标的绝对值为2，据此计算即可．(1)解：由题意得，a﹣2＝0，解得a＝2；(2)解：由，解得，﹣3＜a＜2；(3)解：由|2a+6|＝2，解得a＝–2或–4．【点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限内点的坐标的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．举一反三：【变式1】已知点，分别根据下列条件解决问题：点A在x轴上，求m的值；点A在第四象限，且m为整数，求点A的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；（2）根据第四象限点的符号特征，列出不等式组求出的值，求出点A坐标；(1)解：由，得；(2)∵点在第四象限，∴，解不等式①得，解不等式②得，所以，m的取值范围是，∵m为整数，∴，∴．【点拨】本题考查平面直角坐标中点的坐标，x轴上的点的纵坐标等于零，各象限点的特征，解题关键是熟记点的特征．【变式2】已知平面直角坐标系中一点，分别求出满足下列条件的点A的坐标．点A在过点且平行于x轴的直线上；点A在第一、三象限的角平分线上；点A在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为10．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，即可求解；（2）根据在第一、三象限的角平分线上的点横纵坐标相同，即可求解；（3）根据点A在第二象限，可得，再由点A到两坐标轴的距离之和为10，可得，即可求解．(1)解：∵点A在过点且平行于x轴的直线上，∴，解得：，∴，∴点A的坐标为；(2)解：∵点A在第一、三象限的角平分线上，∴，解得：，∴，∴点A的坐标为；(3)解：∵点A在第二象限，∴，解得：，∵点A到两坐标轴的距离之和为10，，∴，解得：，∴，∴点A的坐标为．【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的特征及点到坐标轴的距离的应用，点在第一、三象限的角平分线上的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键．类型五、坐标系中描点5．在平面直角坐标系中，把以下各组点描出来，并顺次连接各点．(0，－4)，(3，－5)，(6，0)，(0，－1)，(－6，0)，(－3，－5)，(0，－4)．解：如图：举一反三：【变式1】如图，点A、B在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为(1)请在图中建立平面直角坐标系．(2)若C、D两点的坐标分别为、，请描出C、D两点．C、D两点的坐标有什么异同？直线与x轴有什么关系？(3)若点为直线上的一点，则___________，点E的坐标为___________．【答案】(1)答案见分析(2)答案见分析(3)；【分析】（1）根据、两点的坐标即可建立坐标系；（2）直接描出、两点坐标即可，根据横、纵坐标即可找到规律；（3）根据直线上点的坐标规律即可求出．(1)解：如图所示，(2)解：、两点如图所示，由图可知、两点横坐标不同，纵坐标相同；直线与轴平行；(3)解：由（2）可知轴，点为直线上的一点，，，，．【点拨】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系等知识，解题的关键是正确作出平面直角坐标系．【变式2】已知平面直角坐标系内有4个点：A(0，2)，B(-2，0)，C(1，-1)，D(3，1)．(1)在平面直角坐标系中描出这4个点；(2)顺次连接A、B、C、D组成四边形ABCD，请用两种方法求出四边形ABCD的面积．【答案】(1)见分析(2)8【分析】（1）根据平面直角坐标系描出点的坐标；（2）根据，求面积即可求解．(1)解：如图所示：点A、B、C、D为所描的点．(2)方法一：如图所示，作长方形EFGH：则有方法二：如图所示，将四边形ABCD分割为△ABP、△BCQ、△CMD、△AND和正方形PQMN，则有．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．类型六、坐标与图形6．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(0,b)，且a、b满足+|b-12|=0,点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动．点B的坐标为________;当点P移动5秒时，点P的坐标为在移动过程中，当点P移动11秒时，求△OPB的面积．在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点Q，使△OPQ与△OPB的面积相等．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（8，12），（8，2）；(2)当点P移动11秒时，△OPB的面积为12；(3)（0，4）、（0，-4）、（2，0）、（-2，0）．【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，可得B点坐标，再求出点P移动5秒的路程，可得P点坐标；（2）求出点P的坐标，可得PB＝2，然后根据三角形面积公式计算即可；（3）分情况讨论：①当点Q在y轴上时，②当点Q在x轴上时，分别根据S△OPQ＝S△OPB列式求出OQ，即可得到对应的点Q的坐标．（1）解：∵，∴，，∴，，∴A（8，0），B（0，12），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝12，∴B（8，12），∵点P移动5秒时，移动的路程为5×2＝10，∴P（8，2），故答案为：（8，12），（8，2）；（2）当点P移动11秒时，移动的路程为：11×2＝22，∴P（6，12），∴PB＝8－6＝2，∴S△OPB＝；（3）分情况讨论：①当点Q在y轴上时，∵点P移动11秒时，P点坐标为（6，12），S△OPB＝，∴由S△OPQ＝S△OPB得：，∴，∴点Q的坐标为：（0，4）或（0，－4）；②当点Q在x轴上时，∵点P移动11秒时，P点坐标为（6，12），S△OPB＝，∴由S△OPQ＝S△OPB得：，∴，∴点Q的坐标为：（2，0）或（－2，0），综上，点Q坐标为：（0，4）或（0，－4）或（2，0）或（－2，0）．【点拨】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，坐标与图形，三角形面积计算等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，点和点分别在轴和轴的正半轴上，点的坐标为，且．求点的坐标；点是线段的中点，求的面积；【答案】(1)(2)【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性质得，即可得出结论；（2）由矩形的性质得到，，再求出的长，即可解决问题．（1）解：∵，∴

解得，∴；解：，四边形是矩形，，，，∵点是线段的中点，∴，∴．【点拨】本题主要考查矩形的性质，绝对值和算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．【变式2】有一张图纸被损坏，但上面有如图的两个标志点A（-3,1），B（-3，-3）可认，而主要建筑C（3,2）破损．建立直角坐标系；标出图中C点的位置；求出线段AC的长．【答案】(1)作图见分析；(2)作图见分析；(3)．【分析】（1）以点A向右3个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系；（2）根据C（3，2）确定出点C的位置即可；（3）利用勾股定理即可求得线段AC的长．（1）解：建立直角坐标系如下图所示，（2）解：图中C点的位置如下图所示，（3）解：如下图，∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，CF=1，FA=6，∴，【点拨】考查了确定坐标系中点的位置及勾股定理，根据已知点的坐标准确确定出坐标原点的位置是解题的关键．类型七、点坐标的规律7．如图，每个小方格边长为1，已知点，，，，，，，，…(1)将图中的平面直角坐标系补画完整；(2)按此规律，请直接写出点的坐标：，；(3)按此规律，则点的坐标为．【答案】(1)见分析(2)，(3)【分析】（1）根据点的坐标确定坐标轴即可；（2）根据图示及坐标系各象限横纵坐标符号特点即可得出结果；（3）观察图象及各点的坐标特点得出A4n+2（n+1，n+1），再由2022=4×505+2，即可确定点的坐标．（1）解：根据题意补画得平面直角坐标系如图所示：（2）根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点可得：A9（3，-2），A10（3，3）；（3）观察图形发现，下标为4n+2的点落在第一象限的对角线上，∵A2(1,1)，A6(2,2)，∴A4n+2（n+1，n+1），∵2022=4×505+2，∴A2022（506，506），故答案为：（506，506）．【点拨】题目主要考查坐标系中点的特点，确定坐标系等，理解题意，确定坐标系中点的坐标变化规律是解题关键．举一反三：【变式1】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．(1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）；(2)写出点的坐标（是正整数）（______，______）；(3)求出的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）观察图形，即可求解；（2）观察图形，由（1）发现规律，即可求解；（