沪教版七年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)

PAGE沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平方根和开平方（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为＝5，所以本说法正确；B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算术平方根．（）【答案】√；×；√；×，提示：（2）；（4）是的算术平方根．2、填空：（1）是的负平方根．（2）表示的算术平方根，．（3）的算术平方根为．（4）若，则，若，则．【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2)(3)(4)9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（）：①3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；提示：①④是正确的.【变式2】（2015•凉山州）的平方根是．【答案】±3.解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.3、使代数式有意义的的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.举一反三：【变式】代数式＝有意义，则的取值范围是．【答案】.类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，x，x=，x=.（2）（x﹣2）2﹣36=0，（x﹣2）2=36，x﹣2=，x﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3，由题意得，·3＝13233＝1323＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.16的平方根是（）A.－4B.4C.±4D.2562．下列各数中没有平方根的是（）A． B．0C．D．3．下列说法正确的是（）A．169的平方根是13 B．1.69的平方根是±1.3C．的平方根是－13 D．－（－13）没有平方根4.要使代数式有意义，则的取值范围是()A．B．C．D．5.（2015•江西校级模拟）下列各等式中，正确的是（） A．﹣=﹣3 B．±=3 C．（）2=﹣3 D．=±36.一个数的算术平方根是，则比这个数大8数是（）A．＋8 B．－4 C．－8 D．＋8二.填空题7．计算：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______；（6）______．8.的算术平方根的相反数是________.9.的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______．10．的算术平方根是______：的算术平方根的相反数是______．11．（2015春•丹江口市期末）若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a=，这个正数是．12．表示3的______；表示3的______．三.解答题13．求下列各式中的．（1）；（2）；（3）．14．（2015春•福清市期中）福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．15.思考题：估计与最接近的整数．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.2.【答案】D；【解析】负数没有平方根.3.【答案】B；【解析】169的平方根是，的平方根是.4.【答案】B；【解析】被开方数为非负数.5.【答案】A；【解析】解：A、﹣=﹣3，故A正确；B、3，故B错误；C、被开方数是非负数，故C错误；D、=3，故D错误；故选：A．6.【答案】D；【解析】一个数的算术平方根是，则这个数是.二.填空题7.【答案】11；－16；；9；3；.8.【答案】；9.【答案】；0.01；0.10.【答案】2；－3；【解析】＝4，＝9，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.11.【答案】﹣1，9；【解析】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）=0，解得：a=﹣1．则这个数是（2a﹣1）2=（﹣3）2=9．故答案为：﹣1，9.12.【答案】算术平方根；平方根.三.解答题13.【解析】解：（1）（2）（3）14.【解析】解：原绿化带的面积：102=100（m2），后绿化带的面积：4×100=400（m2），则扩大后绿化带的边长是=20（m），答：扩大后绿化带的边长为20m．15.【解析】解：∵25＜35＜36∴即5＜＜6∵35比较接近36，∴最接近的整数是6.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习立方根和开立方【学习目标】1.了解立方根的含义；2.会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】【：立方根、实数，知识要点】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.要点五、次方根如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根.求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数.要点诠释：实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的次方根等于零，表示为.【典型例题】类型一、立方根的概念【：立方根实数，例1】 1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1 D．【答案】D；【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；.举一反三：【变式】（2015春•滑县期末）我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求1﹣的值．【答案】解：（1）∵2+（﹣2）=0，而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0，∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5=0，∴x=4，∴1﹣=1﹣2=﹣1．类型二、立方根的计算【：立方根实数，例2】 2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.类型三、利用立方根解方程3、（2015春•罗平县期末）求下列各式中x的值：（1）3（x﹣1）3=24．（2）（x+1）3=﹣64．【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可．【答案与解析】解：（1）3（x﹣1）3=24，（x﹣1）3=8，x﹣1=2，x=3．（2）开立方得：x+1=﹣4，解得：x=﹣5．【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便．举一反三：【变式】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.【答案与解析】解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为，可列方程解得设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长4.【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。(不计损耗)【答案】；类型五、次方根的运算5、（1）求的5次方根；（2）求的6次方根.【答案与解析】解：（1）；（2），还有.【总结升华】正数的偶次方根有两个，它们互为相反数沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1．下列结论正确的是（）A．的立方根是 B．没有立方根C．有理数一定有立方根 D．的立方根是－12．如果－是的立方根，则下列结论正确的是（）A．－＝ B．－＝ C．＝ D．＝3.下列说法中正确的有（）个.①负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是③如果，那么＝－2．④算术平方根等于立方根的数只有1．A．1B．2C．3D．44.（2015•衡南县自主招生）﹣64的立方根与的平方根之和是（）A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣13或5 D．55.下列各式中，正确的是（）A.B.C.D.6.有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④二.填空题7．中的的取值范围是______，中的的取值范围是______．8.（2015春•霸州市期末）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是．9．若则与的关系是______．10．若则＝______．11.如果那么的值是______．12.＝____________；＝___________.三.解答题13.若和互为相反数，求的值.14.（2015春•桃园县校级期末）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．15.已知实数，满足求｜－1|＋｜＋1｜的值．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】的立方根是；的立方根是1.一个非零数与它的立方根符号相同.2.【答案】A；【解析】由题意.3.【答案】A；【解析】只有①正确.算术平方根等于立方根的数有0和1．4.【答案】B；5.【答案】D；【解析】A.结果应为4；B.结果应为5；C.无意义.6.【答案】B；【解析】①负数有立方根；②一个实数的立方根是正数、0、负数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0．二.填空题7.【答案】任意实数；＝1;【解析】开立方时被开方数可以为任意实数，第二题需1－≥0，－1≥0，解得＝1.8.【答案】±1，0．9.【答案】；【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数.10.【答案】－1；【解析】2－1＝4＋1，解得＝－1.11.【答案】－343；【解析】＋4＝64，＝60，－67＝－7，.12.【答案】5；；【解析】.三.解答题13.【解析】解：∵和互为相反数∴＋＝0，∴＝－，∴＝，∴2－1＝3－1,2＝3，∴＝.14.【解析】解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，∴x﹣2=22，2x+y+7=27，解得x=6，y=8，∴x2+y2=62+82=100，∴x2+y2的平方根是±10．15.【解析】解：∵∴当≥0时，原式＝＋＋＝0，解得＝0,｜－1|＋｜＋1｜＝1＋1＝2.当＜0时，原式＝－＋＝0，解得＝0，｜－1|＋｜＋1｜＝1＋1＝2.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习实数的概念和运算（基础）【学习目标】1.了解无理数和实数的意义；2.了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较正实数大于0，负实数小于0.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.要点五、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．【典型例题】类型一、实数概念 1、指出下列各数中的有理数和无理数：【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有无理数有【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.举一反三：【变式】（2015春•聊城校级月考）在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④【答案】C；解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数不可能式有理数，故本选项正确；②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；④无限循环小数是有理数，故本选项正确．类型二、实数大小的比较2、比较和0.5的大小．【答案与解析】解：作商，得．因为，即，所以．【总结升华】根据若，均为正数，则由“，，”分别得到结论“，，，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.3、（2015•枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c【答案】D；【解析】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，∴A、ac＜bc，故A选项错误；B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|=b﹣a，故B选项错误；C、∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．故选：D．【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．类型三、实数的运算4、化简：(1)(2)(3)【答案与解析】解：.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若，则________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：，即，∴．【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0.举一反三：【变式】已知，求的值．【答案】解：由已知得，解得．∴＝.类型四、近似数和有效数字6、下列各数有几个有效数字，分别是什么？（1）；（2）万；（3）；（4）【答案与解析】解：由有效数字的定义可得：（1）有4个有效数字，分别为：1，0，2，0；（2）万有3个有效数字，分别为：1，5，0；（3）有5个有效数字，分别为：1，5，0，0，0；（4）有3个有效数字，分别是：2，3，0【总结升华】带有文字单位或用科学记数法表示的数，有效数字的个数与文字单位或没有关系.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.（2015•通辽）实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A．4 B．2 C．1 D．32.下列说法正确的是（）A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数3.估计的大小应在（）A．7～8之间 B．8.0～8.5之间C．8.5～9.0之间 D．9～10之间4.如图，数轴上点表示的数可能是（）.A．B．C．D．5.实数和的大小关系是（）A． B．C． D．6.精确到百分位，约等于（）A.0.39B.0.40C.0.4D.0.400二.填空题7.在，，，，这五个实数中，无理数是_________________．8.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______．9.｜3.14－π｜＝______；______．10.的整数部分是________，小数部分是________．11.已知为整数，且满足，则________．12.（2015春•仙桃校级期末）﹣的相反数是，﹣2的绝对值是________，的立方根是．三.解答题13．（2014春•西城区校级期中）化简：|﹣|﹣|3﹣|．14.天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到）15.已知求的值．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B．【解析】在实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：﹣π，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共2个.2.【答案】A；【解析】根据无理数的定义作答.3.【答案】C；【解析】，因为76比较接近81，所以在8.5～9.0之间.4.【答案】B；【解析】2＜＜35.【答案】C；【解析】.6.【答案】B；【解析】0.40中末尾的“0”不能去掉，近似数“0.40”与“0.4”的意义不同.二.填空题7．【答案】，；8.【答案】；【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是、.9.【答案】π－3.14；.【解析】负数的绝对值等于它的相反数.10.【答案】2；；【解析】，故整数部分为2，－2为小数部分.11.【答案】－1,0,1；12.【答案】；2﹣；2．三.解答题13.【解析】解：|﹣|﹣|3﹣|=﹣（3﹣）=2﹣﹣3．14.【解析】解：设广场的边长为，由题意得：440000＝≈663.15.【解析】解：∵∴－2＝0且＝0解得＝2，＝－3，∴＝2－3＝－1.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习分数指数幂掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.2.会用计算器计算分数指数幂.【要点梳理】要点一、分数指数幂把指数的取值扩大到分数，我们规定，，其中为正整数，.上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.要点诠释：（1）当与互素时，如果为奇数，那么分数指数幂中的底数可为负数.（2）指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.要点二、有理数指数幂的运算性质设为有理数，那么（1）.（2）.（3）. 【典型例题】类型一、分数指数幂的运算 1、把下列方根化为幂的形式：（1）；（2）；（3）；（4）.【思路点拨】根据分数指数幂的定义解题.【答案与解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.【总结升华】，其中为正整数，.举一反三：【变式】(2015.三台期末)根式（，为正整数，＞1）用分数指数幂可表示为（）A.B.C.D.【答案】D； 解：∵，∴.2、口算：（1）；（2）；（3）；（4）.【思路点拨】可将分数指数幂表示成方根的形式再求值.【答案与解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.【总结升华】求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分数指数幂的值是一个正数.举一反三：【变式】口算：（1）；（2）；（3）.【答案】解：（1）；（2）；（3）.3、(2015.黄石模拟)用计算器计算,结果保留三位小数：（1）；（2）；（3）.【答案与解析】解：（1）；（2）；（3）.【总结升华】利用计算器，可直接求出一个分数指数幂的值，要熟悉求分数指数幂的值与相应的乘方、开方运算之间的关系.4、计算：（1）；（2）；（3）；（4）【答案与解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.【总结升华】利用有理数指数幂的运算性质解题.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.(2015.绵竹期中)下列运算正确的是（）A.B.C.D.2.根式（，为正整数，＞1）用分数指数幂可表示为（）A.B.C.D.3.把写成幂的形式是（）A.B.C.D. 4.计算：的值为（）A.100B.10C.D.二.填空题5.计算：=_________.6.(2015.彭州期末)把改写成指数幂的形式是_______.7.计算：=_________.8.计算：=________.9.计算：=________.10.计算：=________.11.计算：=_________.12.计算：=_________.三.解答题13.计算（结果表示为含幂的式子）：（1）；（2）；（3）；（4）.14.用计算器计算（保留三位小数）：（1）；（2）；（3）；（4）.15.(2015.泰州模拟)计算（结果表示为含幂的形式）：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】.2.【答案】D； 【解析】∵，∴.3.【答案】A；4.【答案】A；【解析】.二.填空题5.【答案】2；【解析】.6.【答案】；7.【答案】-2；【解析】.8.【答案】；【解析】.9.【答案】；【解析】.10.【答案】；【解析】.11.【答案】；【解析】 .12.【答案】1；【解析】.三.解答题13.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.14.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.15.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《实数》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二、次方根如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根.求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数.实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的次方根等于零.要点三、实数有理数和无理数统称为实数．1.实数的分类要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.要点四、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．要点五、分数指数幂，，其中为正整数，.上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.要点诠释：设为有理数，那么（1）.（2）.（3）.【典型例题】类型一、有关方根的问题 1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B；【解析】①负数有立方根；②0的平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1.【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.举一反三：【变式1】下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C；【变式2】的5次方根是＝_________.【答案】；2、若，则±＝若，，则【答案】±1.01；7.16；【解析】102.01向左移动2位变成1.0201，它的平方根向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670向右移动3位变成367，它的立方根向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数向左移动2位，它的平方根向左移动1位；一个数向右移动3位，它的立方根向右移动1位.类型二、与实数有关的问题3、把下列各数填入相应的集合：－1、、π、－3.14、、、、．（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）正实数集合｛｝；（4）负实数集合｛｝．【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.【答案与解析】（1）有理数集合｛－1、－3.14、、｝；（2）无理数集合｛、π、、｝；（3）正实数集合｛、π、、、｝；（4）负实数集合｛－1、－3.14、｝．【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.举一反三：【变式】（2015•绥化）在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个【答案】B；4、计算（1） （2）（3）【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.【答案与解析】解：（1）＝（2）＝（3）＝.【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.举一反三：【变式】计算(1)(2)【答案】解：(1)(2).5、（2015•资阳）已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为．【答案】12．【解析】解：∵（a+6）2+=0，∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，可得2b2﹣4b=6，则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，故答案为：12．【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．举一反三：【变式1】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简＋∣－∣＝.【答案】解：∵＜0＜,∴－＜0∴＋∣－∣＝－－(－)＝－2.【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是：；【答案】；6、用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.(1)0.0198(精确到0.001)；(2)0.34082(精确到千分位)；(3)64.49(精确到个位)；【答案与解析】解：（1）0.0198≈0.020；（2）(2)0.34082≈0.341；（3）64.49≈64.【总结升华】从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字.近似数末位的0不能随便去掉，去掉了就会改变它的精确度.7、把下列方根化为幂的形式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案与解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.【总结升华】，其中为正整数，.类型三、实数综合应用8、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，它的边长为（米）．由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，所以扩建后鱼池的面积为≈333.0（平方米）．答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长．【答案】解：设水池的底边长为，由题意得答：这个水池的底边长为18.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.下列说法正确的是（）A．数轴上任一点表示唯一的有理数B．数轴上任一点表示唯一的无理数C．两个无理数之和一定是无理数D．数轴上任意两点之间都有无数个点2.（2015•日照）的算术平方根是（）A．2 B．±2 C． D．±3．已知、是实数，下列命题结论正确的是（）A．若＞，则＞ B．若＞｜｜，则＞C．若｜｜＞，则＞ D．若＞，则＞4.，则的值是（）A.B.C.D.5.若式子有意义,则的取值范围是().A.B.C.D.以上答案都不对.6.下列说法中错误的是（）A.中的可以是正数、负数或零.B.中的不可能是负数.C.数的平方根有两个.D.数的立方根有一个.7.数轴上A，B两点表示实数，，则下列选择正确的是（）A.B.C.D.8.估算的值在（）A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间二.填空题9.若的整数部分是，则其小数部分用表示为．10．当时，有意义.11..12.若是225的算术平方根，则的立方根是.13.＝_________.14.（2015春•罗山县期末）﹣64的立方根与的平方根之和是．15.比较大小：，，16.数轴上离原点距离是的点表示的数是.三.解答题17.一个正数的平方根是与，则是多少？18.（2015春•桃园县校级期末）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．19.已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简20.阅读题：阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10＋＝，其中是整数，且,求的相反数.【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数.2.【答案】C3.【答案】B；【解析】B答案表明，故＞.4.【答案】B；【解析】.5.【答案】A；6.【答案】C；【解析】数不确定正负，负数没有平方根.7.【答案】C；8.【答案】B；【解析】，.二.填空题9.【答案】；10.【答案】为任意实数；【解析】任何实数都有奇次方根.11.【答案】；【解析】.12.【答案】3；【解析】－12＝15,＝27,.13.【答案】；【解析】.14.【答案】﹣2或﹣6．【解析】∵﹣64的立方根是﹣4，=4，∵4的平方根是±2，∵﹣4+2=﹣2，﹣4+（﹣2）=﹣6，∴﹣64的立方根与的平方根之和是﹣2或﹣6．15.【答案】＞；＜；＞；16.【答案】；【解析】数轴上离原点距离是的点有两个，分别在原点的左右两边.三.解答题17.【解析】解：∵一个正数的平方根是与，∴与互为相反数，即＋＝0，解得.18.【解析】解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，∴x﹣2=22，2x+y+7=27，解得x=6，y=8，∴x2+y2=62+82=100，∴x2+y2的平方根是±10．19.【解析】解：∵＜＜0∴20.【解析】解：∵11＜10＋＜12∴＝11，＝10＋－11＝∴.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3.邻补角与对顶角对比：角的名称特征性质相同点不同点对顶角①两条直线相交形成的角；②有一个公共顶点；③没有公共边.对顶角相等.①都是两条直线相交而成的角；②都有一个公共顶点；③都是成对出现的.①有无公共边；②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.邻补角①两条直线相交而成；②有一个公共顶点；③有一条公共边.邻补角互补.【：相交线403101两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：(1)记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗?∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角.（）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角.（）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补.（）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】(1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3.任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有()①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线外有一点P，则点P到直线的距离是().A．点P到直线的垂线的长度.B．点P到直线的垂线段.C．点P到直线的垂线段的长度.D．点P到直线的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（） A．35° B． 45° C． 55° D． 65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图,直线AB和CD交于O点,OD平分∠BOF,OE⊥CD于点O,∠AOC=40°,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．以下四个叙述中，正确的有()①相等的角是对顶角；②互补的角是邻补角；③两条直线相交，可构成2对对顶角；④对顶角、邻补角都有一个共同特点：两个角有公共的顶点．A．4个B．3个C．2个D．1个3．（2014春•琼海期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（） A．相交或垂直 B． 垂直或平行 C．平行或相交 D． 平行或相交或重合4．如图所示，点A到BD的距离是指()A．线段AB的长度B．线段AD的长度C．线段AED．线段AE的长度5．在平面上，过直线上一点可以画这条直线的垂线的条数为()A．1B．2C．3D．46.如图，AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（）A．26°B．64°C．54°D．以上答案都不对二、填空题7．（2014秋•新泰市月考）四条直线两两相交，至多会有个交点．8．如图，直线a，b相交，∠1＝60°，则∠2＝________，∠3＝________，∠4＝________．9．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，若∠COE＝30°，则∠AOE＝_____，∠AOF＝______．10．如图，直线AB与CD的位置关系是________，记作________于点________，此时∠AOD＝______＝______＝______＝90°．11.如图，∠AOB＝90°，则ABBO；若OA＝3cm，OB＝2cm，则A点到OB的距离是________cm，点B到OA的距离是________cm；O点到AB上各点连接的所有线段中________最短．12．如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是．三、解答题13.（2015春•怀集县期末）如图，OC⊥AB于点O，OD平分∠BOC，求∠COD的度数．14．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．(1)∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由；(2)若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．15．如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业?【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】只有（3）中的∠1与∠2是对顶角．2．【答案】C【解析】③④正确．3.【答案】C．4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】B【解析】∠BOE＝90°－∠1＝64°，又∠AOF＝∠BOE＝64°．二、填空题7.【答案】6．【解析】如图，可看出四条直线两两相交，至多有6个交点．8.【答案】120°，60°，120°．9.【答案】60°，120°【解析】∠AOE＝90°－∠COE＝60°，∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°＋∠EOC＝90°+30°=120°．10.【答案】垂直，AB⊥CD，O，∠BOD，∠BOC，∠AOC．【解析】垂直的定义．11.【答案】＞，3，2，垂线段．【解析】点到直线的距离的定义12.【答案】50°【解析】由题意知：∠BOD＝∠AOC=∠EOC＝50°．三、解答题13.【解析】解：∵OC⊥AB于点O，∴∠BOC=90°，∵OD平分∠BOC，∴∠COD=45°．14.【解析】解：(1)∠AOC＝∠BOD．理由：∵OA⊥OB，OC⊥OD(已知)．∴∠AOB＝90°，∠COD＝90°．即∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOD+∠BOC＝90°，∴∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)．(2)∵∠AOB＝90°，∠BOD＝32°，∴∠AOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－90°－32°＝58°．15.【解析】解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习同位角、内错角、同旁内角知识讲解【学习目标】1.了解“三线八角”模型特征；2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．【要点梳理】要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念1.“三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.要点诠释：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2.同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．【：平行线及其判定403102三线八角】要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．【典型例题】类型一、“三线八角”模型1.(1)图3中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】(1)EF，CD；AB．（2）不是．【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．【总结升华】判断“三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别2.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？(3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?【答案与解析】解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角.【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.举一反三：【变式】（2015•江干区一模）下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（）A． B． C． D．【答案】C解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．3.（2014秋•太康县期末）如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．【答案与解析】解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.举一反三：【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？【答案】解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.【：平行线及其判定403102三线八角练习（2）】4.分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.【答案与解析】解：同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．举一反三：【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．【答案】解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系5.如图直线DE、BC被直线AB所截，(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？【答案与解析】解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角．每组中两角的大小均不确定．(2)∠1与∠2相等，∠1和∠3互补.理由如下：①∵∠1=∠4（已知）∠4＝∠2（对顶角相等）∴∠1＝∠2.②∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)∠1＝∠4(已知)∴∠1＋∠3＝180°即∠1和∠3互补.综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．举一反三：【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是()．A．∠1＝∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2【答案】D【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（）．A．4B．3C．2D．1【答案】C（提示：②④正确）．沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如图，直线AD、BC被直线AC所截，则∠1和∠2是().A．内错角B．同位角C．同旁内角D．对顶角2．如图，能与构成同位角的有().A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，下列说法错误的是().①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁内角；④∠1和∠4是内错角.A．①②B．②③C．②④D．③④4．若∠1与∠2是同位角，则它们之间的关系是().A．∠1＝∠2；B．∠1＞∠2；C．∠1＜∠2；D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2.5．（2015•宿迁）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角6.已知图（1）—（4）：在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（）.A．（1）（2）（3）（4）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）D．（1）7.如图，下列结论正确的是（）.A．∠5与∠2是对顶角；B．∠1与∠3是同位角；C．∠2与∠3是同旁内角；D．∠1与∠2是同旁内角.8.在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是（）.二、填空题9．（2015•鞍山二模）如图，当直线BC、DC被直线AB所截时，∠1的同位角是_______，同旁内角是_______；当直线AB、AC被直线BC所截时，∠1的同位角是________；当直线AB、BC被直线CD所截时，∠2的内错角是________．10．如图，(1)∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角；(2)∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；(3)∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；(4)∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线所截得的________角；(5)∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线所截得的________角．11．如图，若∠1＝95°，∠2＝60°，则∠3的同位角等于________，∠3的内错角等于________，∠3的同旁内角等于________．12．如图，在图中的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5和∠B中，同位角是________，内错角是________，同旁内角是________．13．如图，直线a、b、c分别与直线d、e相交，与∠1构成同位角的角共有________个，和∠l构成内错角的角共有________个，与∠1构成同旁内角的角共有________个．14.如图，三条直线两两相交，其中同旁内角共有对，同位角共有对，内错角共有对.三、解答题15．如图，∠1和哪些角是内错角?∠1和哪些角是同旁内角?∠2和哪些角是内错角?∠2和哪些角是同旁内角?它们分别是由哪两条直线被哪一条线截成的?16．指出图中的同位角、内错角、同旁内角．17.（2015春•惠城区期中）指出图中各对角的位置关系：（1）∠C和∠D是角；（2）∠B和∠GEF是角；（3）∠A和∠D是角；（4）∠AGE和∠BGE是角；（5）∠CFD和∠AFB是角．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A【解析】∠1与∠2是直线AD、BC被直线AC所截而成，且这两角都在被截线AD、BC之间，在截线AC两侧，所以为内错角．2．【答案】B【解析】如图，与能构成同位角的有：∠1，∠2，∠3．3.【答案】C【解析】②错因：∠1与∠5没有公共边，不是“三线八角”中的角；④错因：∠4没在截线的内侧，所以∠1与∠4不是内错角．4.【答案】D【解析】由两角是同位角，内错角或同旁内角得不出它们大小之间的关系．5.【答案】A．6.【答案】C【解析】图（2）或图（4）中的∠1与∠2没有公共边，不属于“三线八角”中的角．7.【答案】D8.